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[摘 要]一位马老师写了题为“怎能从‘确定性’推知‘可能性’”的文章，文章对人教版教材六年级下册第六单元中的一道复习题进行了深度解析，提出了很多有见地的观点。然而对于马老师的结论，我认为有些地方还有待商榷。
[关键词]思考；概率；教学；解题思路
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0073-01
复习题：甲、乙两球支队第一赛季的5场赛事比分如下表。如果两队再进行一场比赛，请预测哪支球队获胜的概率大？为什么？
一、复习题的解题思路及其答案展示
配套的《教师教学用书》上给出了分析提示，笔者将书中的两种思路简称思路1和思路2。
思路1：从两队的历史成绩来看，可知两队取胜机会相等，均为。
思路2：最近的两场赛事中乙队连连取胜，应战状态较好，据此推断接下来乙队获胜的概率更大。
马老师提出了另外两种可能，简称思路3和思路4。
思路3：从第一赛季整体水平来看，双方均是胜两场平一场负两场，因此，两队赢得比赛的场次占总数的，和局占总数的，可得两队取胜的概率相等，均为。
思路4：对抗赛中赛果只有三种可能：战胜、战败、战平，故每种赛果出现的可能性为，于是两队战胜对手的概率都是，战平的概率也是。
马老师认为，只有思路4是正确的，即两队取胜的概率都是。马老师并未在文中明确指出错因，笔者认为，思路4的准确性依然有待商榷。
二、对各种解题思路及答案的探讨
思路1中，以两队的战绩持平为论据，断言下场赛事两队的胜负概率为，明显有误。错误原因在于遗漏了平局的结果，我们用字母表示三种赛果：A表示“甲胜（乙负）”，B表示“甲负（乙胜）”，C表示“不分胜负”，显然，三种赛果构成一个完整事件，因此有P（A） P（B） P（C）=1，而解答时默认P（A）=，P（B）=，从而迫使P（C）=0，这与完整事件的概率定义不符。每场比赛是一个相对独立事件，其结果是无法相互影响的，所以根据前5场比赛的结果来推测第6场比赛的结果是不合理的。
思路2中，如果科学地考虑前5场比赛的总比分，甲队险胜于乙队，可以推断甲队获胜的可能性大。因此，仅依据最近两场比赛的结果来推测第6场比赛的结果也是不合理的。
只有思路3最接近正确答案，以5场比赛为样本总量，推断两队获胜的概率都是，这种做法具有合理性。但是樣本容量过小，不足以逼近真实值，只有比赛场次（n）足够多时，各事件发生的频次无限趋近于某个固定值A，我们才能确定这个概率为P（A）。
思路4中，根据赛果的种类为三种，就简单地将每种赛果出现的概率定为，这是毫无根据的。某随机事件出现的概率是在大量重复实验后，用该事件出现的频次总量除以所有基本事件出现的总频次。但是这种求概率的方法必须满足“基本事件总数是有限、可数的，而且各个基本事件发生的概率是相等的。”对于足球比赛而言，三个基本事件A、B、C 发生的概率并不相等，故两队打败对手的概率都是的结论值得进一步探讨。
三、两点思考
类似于上述习题不宜出现在小学阶段的教材中。现实中，影响比赛结果的因素很多，如球队实战能力、战略战术调整、球员的调换等，即使同一球队在同一地点的两次比赛，也不能认为实验环境条件不变。以上探讨的题目中提供的数据，从不同的角度分析，判断结果也会不同。这种高难度的习题出现在小学课本中不但不能拓宽学生思维，反而会削弱学生的学习兴趣。
部分教师可能并没有察觉到教参中存在的纰漏。当然，《教师教学用书》的编者在该书改版前应重新审订，及时订正错漏之处，不断完善内容，为广大教师提供更多、更好的帮助。
教学是一项长期的“工程”，在“工程”的实施过程中，可能会遇到许多存在疑惑或有争议的地方，教师应合理利用资源提升自己，善于提出问题，并借助众力解决问题。
（责编 韦 迪）
[关键词]思考；概率；教学；解题思路
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0073-01
复习题：甲、乙两球支队第一赛季的5场赛事比分如下表。如果两队再进行一场比赛，请预测哪支球队获胜的概率大？为什么？
一、复习题的解题思路及其答案展示
配套的《教师教学用书》上给出了分析提示，笔者将书中的两种思路简称思路1和思路2。
思路1：从两队的历史成绩来看，可知两队取胜机会相等，均为。
思路2：最近的两场赛事中乙队连连取胜，应战状态较好，据此推断接下来乙队获胜的概率更大。
马老师提出了另外两种可能，简称思路3和思路4。
思路3：从第一赛季整体水平来看，双方均是胜两场平一场负两场，因此，两队赢得比赛的场次占总数的，和局占总数的，可得两队取胜的概率相等，均为。
思路4：对抗赛中赛果只有三种可能：战胜、战败、战平，故每种赛果出现的可能性为，于是两队战胜对手的概率都是，战平的概率也是。
马老师认为，只有思路4是正确的，即两队取胜的概率都是。马老师并未在文中明确指出错因，笔者认为，思路4的准确性依然有待商榷。
二、对各种解题思路及答案的探讨
思路1中，以两队的战绩持平为论据，断言下场赛事两队的胜负概率为，明显有误。错误原因在于遗漏了平局的结果，我们用字母表示三种赛果：A表示“甲胜（乙负）”，B表示“甲负（乙胜）”，C表示“不分胜负”，显然，三种赛果构成一个完整事件，因此有P（A） P（B） P（C）=1，而解答时默认P（A）=，P（B）=，从而迫使P（C）=0，这与完整事件的概率定义不符。每场比赛是一个相对独立事件，其结果是无法相互影响的，所以根据前5场比赛的结果来推测第6场比赛的结果是不合理的。
思路2中，如果科学地考虑前5场比赛的总比分，甲队险胜于乙队，可以推断甲队获胜的可能性大。因此，仅依据最近两场比赛的结果来推测第6场比赛的结果也是不合理的。
只有思路3最接近正确答案，以5场比赛为样本总量，推断两队获胜的概率都是，这种做法具有合理性。但是樣本容量过小，不足以逼近真实值，只有比赛场次（n）足够多时，各事件发生的频次无限趋近于某个固定值A，我们才能确定这个概率为P（A）。
思路4中，根据赛果的种类为三种，就简单地将每种赛果出现的概率定为，这是毫无根据的。某随机事件出现的概率是在大量重复实验后，用该事件出现的频次总量除以所有基本事件出现的总频次。但是这种求概率的方法必须满足“基本事件总数是有限、可数的，而且各个基本事件发生的概率是相等的。”对于足球比赛而言，三个基本事件A、B、C 发生的概率并不相等，故两队打败对手的概率都是的结论值得进一步探讨。
三、两点思考
类似于上述习题不宜出现在小学阶段的教材中。现实中，影响比赛结果的因素很多，如球队实战能力、战略战术调整、球员的调换等，即使同一球队在同一地点的两次比赛，也不能认为实验环境条件不变。以上探讨的题目中提供的数据，从不同的角度分析，判断结果也会不同。这种高难度的习题出现在小学课本中不但不能拓宽学生思维，反而会削弱学生的学习兴趣。
部分教师可能并没有察觉到教参中存在的纰漏。当然，《教师教学用书》的编者在该书改版前应重新审订，及时订正错漏之处，不断完善内容，为广大教师提供更多、更好的帮助。
教学是一项长期的“工程”，在“工程”的实施过程中，可能会遇到许多存在疑惑或有争议的地方，教师应合理利用资源提升自己，善于提出问题，并借助众力解决问题。
（责编 韦 迪）