浅议平均数、中位数和众数

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  平均数、中位数和众数是同属于“统计与概率”领域的三个统计量。在实际教学中,由于对这三个统计量认识模糊,导致教学目标含糊不清,学生也因此学得模棱两可。为此,颇有必要对这三个统计量的异同作一番比较研究。
  1 相同点
  平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表。
  2 不同点
  它们之间的区别,主要表现在以下方面。
  2.1 意义不同
  平均数:一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
  中位数:将一组数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
  众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
  2.2 求法不同
  平均数:用所有数据相加的总和除以数据的个数。与每一个数的大小都有关系。
  中位数:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列,如果数据个数是奇数,则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它只要找或简单的计算。
  众数:一组数据中出现次数最多的那个数。只要找,不必计算就可求出。
  2.3 个数不同:在一组数据中,平均数和中位数都具有惟一性,但众数有时不具有惟一性。在一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数。
  2.4 代表不同
  平均数:反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
  中位数:像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分,因此用来代表一组数据的“中等水平”。
  众数:反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平”。
  这三个统计量虽然有所不同,但都可以反映一组数据的集中趋势,都可以作为一组数据一般水平的代表。
  2.5 特点不同
  平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数,当出现偏大数时,平均数将会被抬高,当出现偏小数时,平均数会降低。
  中位数:与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数据中间位置上的代表值,不受数据极端值的影响。
  众数:与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性,一组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有。
  2.6 作用不同
  平均数:是统计中最常用的数据代表值,比较可靠和稳定,因为它与每一个数据都有关,反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况,也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此,它在生活中应用最广泛,比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
  中位数:作为一组数据的代表,可靠性比较差,因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
  众数:作为一组数据的代表,可靠性也比較差,因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,且某个数据出现的次数最多,此时用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
  3 教学注意点
  在教学中,建议教师要注意以下问题。
  (1)适当把握平均数、中位数、众数的教学要求。如中位数、众数只是让学生初步了解和简单认识,并初步理解其统计意义即可。
  (2)关于选择平均数、中位数、众数中的哪一个量来作为一组数据的代表,要根据具体问题中数据的特点和所关心的问题来确定,有时没有唯一正确答案,只是看谁更合适,因此要灵活应对。
  (3)要淡化纯数值的计算,加强对平均数、中位数、众数在统计学上的意义的理解。如在教学“平均数、中位数、众数”的时,有的教师往往把教学重点放在它们的定义和求法上,而对其在统计学上的意义和作用很少提及。
  (4)对于这三个统计量的联系和区别,可让学生结合实际问题进行简单理解。
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