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摘要:数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向。开放性问题在高考选拔考试中测试学生的分析和创新能力，要求学生要多向辐射，没有固定的解题模式、规律和方法，具有很强的灵活性与开放性。开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。
关键词：开放性问题 条件 结论 策略
【中国分类法】：G633.6
所谓开放性数学问题就是使题目的条件不完备(通常命名题目条件对结论来说不充分),或使题目结论不明确(不提结论或仅指出结论的探索方向或范围),从而使题目的条件能蕴含多种结果,就可把这多种结果作为题目的答案。我们把这样一些问题统称为开放性数学问题，一般分以下三类：
1.条件开放型
如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题。这种类型的考题是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一。这类题型长以基本知识为背景加以设计而成，主要考察学生的基础知识的掌握程度和归纳探索能力。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。
[例1]、如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
分析：由四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱⇒B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1⇒B1D1⊥平面A1AC1C，就有A1C⊥B1D1成立了。而使A1C⊥B1D1的四边形有无穷多个，如正方形、菱形等都可以。
[例2]、 设等比数列 的公比为 ，前项和为，是否存在常数，使数列也成等比数列？若存在，求出常数 ；若不存在，请 说 明 理 由.
分析： 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数 ， 使数列成等比数列.
(i) 当 时，代入上式得
即=0
但 , 于是不存在常数，使 成等比数列.
(ii) 当时， ， 代 入 上 式 得
.
综 上 可 知 ,存 在 常 数，使 成等比数列.
2、结论开放型
如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题。这种类型的考题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散思维和所学基本知识的应用能力。
[例3]、如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。
解：分三种情形
第一种情况：从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。
设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，
∴AB，BC，AC的长分别为
在△ABC中，由余弦定理
cos∠BAC=
=
= ＞0
∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角
∴△ABC是锐角三形。②正确。当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。
第二种情况： 如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900
∵ AD⊥BD，AD⊥DC ，∴ AD⊥面DBC
∴ BD是AB在平面DBC上的射影。
由三垂线定理知，BC⊥AB
∴ 第四个面△ABC是直角三角形。①正确。
第三种情况：如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900
设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，
则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，
∴AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2
在△ABD中，由余弦定理得
cos∠ADB= ＜0
∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。
显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。
3、综合开放型
如果一个问题只给出一定的情境、条件，解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可称为综合开放题。这样的问题其条件、解题策略与结论呈现极大的开放性，主要考察学生的分析与解决问题的能力。
[例4]、 、是两个不同的平面， 、 是平面 及之外的两条不同直线，给出四个论断：
① ⊥ ② ⊥ ③ ⊥ ④ ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________
解析：三个条件，一个结论可构成4个命题，根据线线、线面、面面位置关系，只有两个命题是正确的，即②③④ ①，①③④ ②
结束语：开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在高考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。 开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这就给教师和学生都带来了更大的挑战，唯有多练多用心体会才能掌握好它.
参考文献：
［1］戴再平.中学数学教学培养创造思维能力雏议.浙江教育学院学报
[2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准
关键词：开放性问题 条件 结论 策略
【中国分类法】：G633.6
所谓开放性数学问题就是使题目的条件不完备(通常命名题目条件对结论来说不充分),或使题目结论不明确(不提结论或仅指出结论的探索方向或范围),从而使题目的条件能蕴含多种结果,就可把这多种结果作为题目的答案。我们把这样一些问题统称为开放性数学问题，一般分以下三类：
1.条件开放型
如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题。这种类型的考题是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一。这类题型长以基本知识为背景加以设计而成，主要考察学生的基础知识的掌握程度和归纳探索能力。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。
[例1]、如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
分析：由四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱⇒B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1⇒B1D1⊥平面A1AC1C，就有A1C⊥B1D1成立了。而使A1C⊥B1D1的四边形有无穷多个，如正方形、菱形等都可以。
[例2]、 设等比数列 的公比为 ，前项和为，是否存在常数，使数列也成等比数列？若存在，求出常数 ；若不存在，请 说 明 理 由.
分析： 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数 ， 使数列成等比数列.
(i) 当 时，代入上式得
即=0
但 , 于是不存在常数，使 成等比数列.
(ii) 当时， ， 代 入 上 式 得
.
综 上 可 知 ,存 在 常 数，使 成等比数列.
2、结论开放型
如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题。这种类型的考题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散思维和所学基本知识的应用能力。
[例3]、如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。
解：分三种情形
第一种情况：从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。
设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，
∴AB，BC，AC的长分别为
在△ABC中，由余弦定理
cos∠BAC=
=
= ＞0
∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角
∴△ABC是锐角三形。②正确。当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。
第二种情况： 如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900
∵ AD⊥BD，AD⊥DC ，∴ AD⊥面DBC
∴ BD是AB在平面DBC上的射影。
由三垂线定理知，BC⊥AB
∴ 第四个面△ABC是直角三角形。①正确。
第三种情况：如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900
设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，
则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，
∴AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2
在△ABD中，由余弦定理得
cos∠ADB= ＜0
∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。
显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。
3、综合开放型
如果一个问题只给出一定的情境、条件，解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可称为综合开放题。这样的问题其条件、解题策略与结论呈现极大的开放性，主要考察学生的分析与解决问题的能力。
[例4]、 、是两个不同的平面， 、 是平面 及之外的两条不同直线，给出四个论断：
① ⊥ ② ⊥ ③ ⊥ ④ ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________
解析：三个条件，一个结论可构成4个命题，根据线线、线面、面面位置关系，只有两个命题是正确的，即②③④ ①，①③④ ②
结束语：开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在高考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。 开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这就给教师和学生都带来了更大的挑战，唯有多练多用心体会才能掌握好它.
参考文献：
［1］戴再平.中学数学教学培养创造思维能力雏议.浙江教育学院学报
[2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准