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摘 要：在初中数学教学中，列方程解应用题是代数教学联系实际的重要课题，它对于培养学生分析问题、发现问题、解决问题的能力具有重要的意义，因此它是初中数学教学的重点。而列方程解应用题，关键是找出题目中的等量关系。在这里着重介绍怎样巧妙地利用相等关系列方程解应用题。
关键词：相等关系；列方程；应用题
解应用题往往要经过几个步骤：1.设未知数，2根据相等关系列方程，3.解方程，4.检验，5.写答。在这些步骤中，根据相等关系列方程是至关重要的，这一步做好了等于成功的一半，下面通过一元一次方程应用题、二元一次方程组应用题、分式方程应用题等几个例子说说“根据相等关系列方程解应用题”的事。
把一些图书分给某班学生阅读，如果没人分3本，则剩余20本；如果没人分4本，则还缺25本。这个班有多少学生？
分析：题中的相等关系为
图书数量（本）=学生人数[×]学生人均拥有量
因为人均拥有量有两种形式（3本/人，4本/人）
[∴]图书数量（本）=学生人数[×]3+20 ⑴
图书数量（本）=学生人数[×]4-25 ⑵
由于这批图书的数量是一个定值，所以就有
学生人数[×]3+20=学生人数[×]4-25
找到这个相等关系后，就可以设未知数列方程了
解法一：设这个班有学生x名，可得
3x+20=4x-25
解得x=45，即这个班有学生45名。
另外，由⑴可变形为：学生人数=（图书数量-20）/3
由⑵可变形为：学生人数=（图书数量+25）/4 ，因为这个班的学生人数是一个定值
[∴]（图书数量-20）/3=（图书数量+25）/4
找到这个相等关系后，就可以设未知数列方程了。
解法二：设这批图书有y本，可得
[y-203]=[y+254] ，解得y=155
所以，这个班的学生人数=[y-203]=[155-203]=[1353]=45
例2.（古代问题）希腊数学家丢潘图（公元3—4世纪）的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
他结了婚，有度过一生的七分之一；
再过五年，他有了儿子，感到很幸福；
可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。”
根据以上信息，请你算出：⑴丢潘图的寿命；
⑵丢潘图开始当爸爸时的年龄；
⑶儿子死时丢潘图的年龄。
分析：
通过观察题目发现丢潘图的一生实际上可分为五个时段，即①童年时年龄，②结婚时年龄，③当爸爸时年龄（儿子出生），④儿子死时他的年龄，⑤去世时年龄（寿命）。接下来找出题目中的相等关系，相等关系有——
a：童年时的年龄=他生命的六分之一
b：童年时年龄+他生命的十二分之一=结婚时年龄
c：结婚时年龄+他一生的七分之一+5=他当爸爸年龄（儿子出生）
d：儿子的寿命=他寿命的一半
e：他当爸爸年龄（儿子出生）+儿子的寿命=儿子死时他的年龄
f：儿子死时他的年龄+4=他（丢潘图）的寿命
因为每个时段的年龄只是他全部寿命的一部分，所以可设它的寿命为x岁.
则上面各个相等式子相应地变形为：
a：童年时的年龄=[16]x
b：[16]x +[112]x =结婚时年龄
c：[16]x +[112]x +[17]x +5=他当爸爸年龄（儿子出生）
d：儿子的寿命=[12]x
e：[16]x +[112]x +[17]x +5+[12]x=儿子死时他的年龄
f：[16]x +[112]x +[17]x +5 +[12] x+4=x
解：设丢潘图的年龄为x岁，依题意得
[16]x +[112]x +[17]x +5 +[12] x+4=x
解此方程得 x=84
所以，⑴丢潘图的寿命=84（岁），
⑵丢潘图开始当爸爸时的年龄=[16]x +[112]x +[17]x +5=[16][×]84 +[112][×]84 +[17][×]84+5=38（岁⑶儿子死时丢潘图的年龄=[16]x +[112]x +[17]x +5+[12]x=[16][×]84 +[112][×]84 +[17][×]84+[12][×]84=80（岁）
例3.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请找出问题的解。
分析：找相等关系，观察题目，可得出以下几个相等关系
兔头+鸡头=35
兔脚+鸡脚=94
因为一兔四脚，[∴]兔脚=4[×]兔头（可变形为：兔头=兔脚/4）
因为一鸡四角，[∴]鸡脚=2[×]鸡头（可变形为：鸡头=鸡脚/4）
关于“兔头、鸡头、兔脚、鸡脚”这四者都是未知数，现在可以设未知数、列方程解应用题了。
解法一：设兔头有x只，鸡头有y只；则兔脚有4x只，鸡脚有2y只。根据等式1、等式2组成方程组得
[x+y=354x+2y=94] 解得[x=12y=23] [∴]兔有12只，鸡有23只。
注意：等式3、等式4此时不能形成方程。
解法二：设兔头有x只，兔脚有y只；则鸡头有（35-x）只，鸡脚有（94-y）只.
根据等式1、等式2此时不能列方程，只能由等式3、等式4组成方程组得
[y=4x94-y=2（35-x）] 解得[x=12y=48]
[∴]兔有12只，鸡有（35-x）=35-12=23只。
解法三：设兔头有x只，鸡脚有y只；则兔脚有4x只，鸡头有[y2]只。
根据等式1、等式2可得方程组
[x+y/2=354x+y=94] 解得[x=12y=46]
[∴]兔有12只，鸡有[y2]=[462]=23只。
例4.甲乙两人分别从相距6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度。
分析：题目明显是“路程、时间、速度”之关系，其中：路程=时间[×]速度（可变形为：时间=路程/速度，速度=路程/时间）。纵观题目，共有下面相等关系——
①甲走的路程=6千米。即：甲速度[×]甲时间=6（变形：甲速度=6/甲时间，甲时间=6/甲速度）。
②乙走的路程=10千米。即：乙速度[×]乙时间=10（变形：乙速度=10/乙时间，乙时间=10/乙速度）。
③甲速度：乙速度=3：4，可变形为“甲速度=[34][×]乙速度；乙速度=[43][×]甲速度”。
④20分钟=[13]小时。
⑤甲所用时间+[13]=乙所用时间。
这时，剩下两个时间、两个速度共四个未知数，分四步走。
第一步：不妨设甲的速度为x千米/小时，上面各相等关系依序变为
①甲时间=[6x]
②乙时间=10/乙速度
③乙速度=[43]x
④20分钟=[13]小时
⑤[6x]+[13]=乙时间
把等式3代入等式2得：乙时间=[152x]
解法一：设甲的速度为x千米/小时，可得
[6x]+[13]=[152x] ，解得x=[92]
经检验，x=[92]是分式方程的解。乙速度=[43]x=[43][×][92]=6
[∴]甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为6千米/小时.
第二步，不妨设甲的时间为y小时，上面各相等关系依序变为
①甲速度=[6y]
②乙速度=10/乙时间
③甲速度=[34][×]乙速度，即：[6y]=[34][×]乙速度
④20分钟=[13]小时
⑤y+[13]=乙时间
把等式⑤代入等式②可求得：乙速度=10/（y+[13]）=[303y+1]，再把“乙速度=[303y+1]“代入等式③得[6y]=[34][×][303y+1]
解法二：设甲用的时间为小时，可得
[6y]=[34][×][303y+1] ，解得y=[43]
经检验，y=[43]是分式方程的解。
[∴]甲的速度=[6y]=6[÷43]=[92]（千米/小时） ，乙速度=[303y+1]=6（千米/小时）
第三步，设乙的速度为某个未知数，列方程，即得到解法三（与解法一类同），这里不展开。
第四步，设乙的时间为某个未知数，列方程，即得到解法四（与解法=类同），这里不展开。
总之，题海无涯，在这里我们仅仅列举了几个题目，希望大家在今后的学习中，当遇到解方程应用题时，能做到有条不紊、而且信心百倍的去应对。在做应用题的时候应养成良好的审题习惯，学会从不同的角度，运用不同的知识和方法去观察分析问题，迅速地找到题目中的相等关系，列好方程（组），最后再解决问题就轻松多了。
参考文献：
[1[例1、例2选自《义务教育课程标准实验教科书（数学 七年级 上册）》2005年6月第2版 第二章的例题、习题。
[2]例3选自《义务教育课程标准实验教科书（数学 七年级 下册）》2004年11月第1版 第八章的习题。
[3]例3选自《义务教育课程标准实验教科书（数学 八年级 下册）》2008年6月第2版 第十六章的习题。
关键词：相等关系；列方程；应用题
解应用题往往要经过几个步骤：1.设未知数，2根据相等关系列方程，3.解方程，4.检验，5.写答。在这些步骤中，根据相等关系列方程是至关重要的，这一步做好了等于成功的一半，下面通过一元一次方程应用题、二元一次方程组应用题、分式方程应用题等几个例子说说“根据相等关系列方程解应用题”的事。
把一些图书分给某班学生阅读，如果没人分3本，则剩余20本；如果没人分4本，则还缺25本。这个班有多少学生？
分析：题中的相等关系为
图书数量（本）=学生人数[×]学生人均拥有量
因为人均拥有量有两种形式（3本/人，4本/人）
[∴]图书数量（本）=学生人数[×]3+20 ⑴
图书数量（本）=学生人数[×]4-25 ⑵
由于这批图书的数量是一个定值，所以就有
学生人数[×]3+20=学生人数[×]4-25
找到这个相等关系后，就可以设未知数列方程了
解法一：设这个班有学生x名，可得
3x+20=4x-25
解得x=45，即这个班有学生45名。
另外，由⑴可变形为：学生人数=（图书数量-20）/3
由⑵可变形为：学生人数=（图书数量+25）/4 ，因为这个班的学生人数是一个定值
[∴]（图书数量-20）/3=（图书数量+25）/4
找到这个相等关系后，就可以设未知数列方程了。
解法二：设这批图书有y本，可得
[y-203]=[y+254] ，解得y=155
所以，这个班的学生人数=[y-203]=[155-203]=[1353]=45
例2.（古代问题）希腊数学家丢潘图（公元3—4世纪）的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
他结了婚，有度过一生的七分之一；
再过五年，他有了儿子，感到很幸福；
可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。”
根据以上信息，请你算出：⑴丢潘图的寿命；
⑵丢潘图开始当爸爸时的年龄；
⑶儿子死时丢潘图的年龄。
分析：
通过观察题目发现丢潘图的一生实际上可分为五个时段，即①童年时年龄，②结婚时年龄，③当爸爸时年龄（儿子出生），④儿子死时他的年龄，⑤去世时年龄（寿命）。接下来找出题目中的相等关系，相等关系有——
a：童年时的年龄=他生命的六分之一
b：童年时年龄+他生命的十二分之一=结婚时年龄
c：结婚时年龄+他一生的七分之一+5=他当爸爸年龄（儿子出生）
d：儿子的寿命=他寿命的一半
e：他当爸爸年龄（儿子出生）+儿子的寿命=儿子死时他的年龄
f：儿子死时他的年龄+4=他（丢潘图）的寿命
因为每个时段的年龄只是他全部寿命的一部分，所以可设它的寿命为x岁.
则上面各个相等式子相应地变形为：
a：童年时的年龄=[16]x
b：[16]x +[112]x =结婚时年龄
c：[16]x +[112]x +[17]x +5=他当爸爸年龄（儿子出生）
d：儿子的寿命=[12]x
e：[16]x +[112]x +[17]x +5+[12]x=儿子死时他的年龄
f：[16]x +[112]x +[17]x +5 +[12] x+4=x
解：设丢潘图的年龄为x岁，依题意得
[16]x +[112]x +[17]x +5 +[12] x+4=x
解此方程得 x=84
所以，⑴丢潘图的寿命=84（岁），
⑵丢潘图开始当爸爸时的年龄=[16]x +[112]x +[17]x +5=[16][×]84 +[112][×]84 +[17][×]84+5=38（岁⑶儿子死时丢潘图的年龄=[16]x +[112]x +[17]x +5+[12]x=[16][×]84 +[112][×]84 +[17][×]84+[12][×]84=80（岁）
例3.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请找出问题的解。
分析：找相等关系，观察题目，可得出以下几个相等关系
兔头+鸡头=35
兔脚+鸡脚=94
因为一兔四脚，[∴]兔脚=4[×]兔头（可变形为：兔头=兔脚/4）
因为一鸡四角，[∴]鸡脚=2[×]鸡头（可变形为：鸡头=鸡脚/4）
关于“兔头、鸡头、兔脚、鸡脚”这四者都是未知数，现在可以设未知数、列方程解应用题了。
解法一：设兔头有x只，鸡头有y只；则兔脚有4x只，鸡脚有2y只。根据等式1、等式2组成方程组得
[x+y=354x+2y=94] 解得[x=12y=23] [∴]兔有12只，鸡有23只。
注意：等式3、等式4此时不能形成方程。
解法二：设兔头有x只，兔脚有y只；则鸡头有（35-x）只，鸡脚有（94-y）只.
根据等式1、等式2此时不能列方程，只能由等式3、等式4组成方程组得
[y=4x94-y=2（35-x）] 解得[x=12y=48]
[∴]兔有12只，鸡有（35-x）=35-12=23只。
解法三：设兔头有x只，鸡脚有y只；则兔脚有4x只，鸡头有[y2]只。
根据等式1、等式2可得方程组
[x+y/2=354x+y=94] 解得[x=12y=46]
[∴]兔有12只，鸡有[y2]=[462]=23只。
例4.甲乙两人分别从相距6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度。
分析：题目明显是“路程、时间、速度”之关系，其中：路程=时间[×]速度（可变形为：时间=路程/速度，速度=路程/时间）。纵观题目，共有下面相等关系——
①甲走的路程=6千米。即：甲速度[×]甲时间=6（变形：甲速度=6/甲时间，甲时间=6/甲速度）。
②乙走的路程=10千米。即：乙速度[×]乙时间=10（变形：乙速度=10/乙时间，乙时间=10/乙速度）。
③甲速度：乙速度=3：4，可变形为“甲速度=[34][×]乙速度；乙速度=[43][×]甲速度”。
④20分钟=[13]小时。
⑤甲所用时间+[13]=乙所用时间。
这时，剩下两个时间、两个速度共四个未知数，分四步走。
第一步：不妨设甲的速度为x千米/小时，上面各相等关系依序变为
①甲时间=[6x]
②乙时间=10/乙速度
③乙速度=[43]x
④20分钟=[13]小时
⑤[6x]+[13]=乙时间
把等式3代入等式2得：乙时间=[152x]
解法一：设甲的速度为x千米/小时，可得
[6x]+[13]=[152x] ，解得x=[92]
经检验，x=[92]是分式方程的解。乙速度=[43]x=[43][×][92]=6
[∴]甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为6千米/小时.
第二步，不妨设甲的时间为y小时，上面各相等关系依序变为
①甲速度=[6y]
②乙速度=10/乙时间
③甲速度=[34][×]乙速度，即：[6y]=[34][×]乙速度
④20分钟=[13]小时
⑤y+[13]=乙时间
把等式⑤代入等式②可求得：乙速度=10/（y+[13]）=[303y+1]，再把“乙速度=[303y+1]“代入等式③得[6y]=[34][×][303y+1]
解法二：设甲用的时间为小时，可得
[6y]=[34][×][303y+1] ，解得y=[43]
经检验，y=[43]是分式方程的解。
[∴]甲的速度=[6y]=6[÷43]=[92]（千米/小时） ，乙速度=[303y+1]=6（千米/小时）
第三步，设乙的速度为某个未知数，列方程，即得到解法三（与解法一类同），这里不展开。
第四步，设乙的时间为某个未知数，列方程，即得到解法四（与解法=类同），这里不展开。
总之，题海无涯，在这里我们仅仅列举了几个题目，希望大家在今后的学习中，当遇到解方程应用题时，能做到有条不紊、而且信心百倍的去应对。在做应用题的时候应养成良好的审题习惯，学会从不同的角度，运用不同的知识和方法去观察分析问题，迅速地找到题目中的相等关系，列好方程（组），最后再解决问题就轻松多了。
参考文献：
[1[例1、例2选自《义务教育课程标准实验教科书（数学 七年级 上册）》2005年6月第2版 第二章的例题、习题。
[2]例3选自《义务教育课程标准实验教科书（数学 七年级 下册）》2004年11月第1版 第八章的习题。
[3]例3选自《义务教育课程标准实验教科书（数学 八年级 下册）》2008年6月第2版 第十六章的习题。