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初中数学教学大纲规定：“学生会用所学知识解决简单的实际问题.”这就要求学生会解具有实际意义的应用题，有目的地构造特定的数学模型，以使问题得到解决，这就是数学建模.运用数学建模思想，对学生创新意识的培养大有裨益，既可使学生具备数学建模意识，又可培养学生的发散思维能力.
一、建立函数模型解最优化问题
可以说，有数学的地方往往也就有函数，对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如面积最大、花钱最小、利润最大等，可以通过变量关系之间建立函数，转化为求函数极值问题.
例1 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，试用函数表示当商场降价x元后该商场每天的盈利额y元；若商场每天要盈利1200元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
解 y=-2x2+60x+800.
当y=1200时,x1=20，x2=10.
考虑尽量减少库存x=20.
答：每件衬衣应降价20元.
二、建立直角坐标系模型解运动轨迹问题
当变量变化中有函数关系，或物体运动轨迹具有某种规律，如投篮、平抛等，可建立平面直角坐标系，转化为函数问题来求解.
例2 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式.
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取43=7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取26=5）
三、建立直角三角形模型解测距问题
对航海、测高测远等应用问题，可建立直角三角模型，转化为解直角三角形.
例3 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.
(1)说明本次台风会影响B市.
（2）求这次台风影响B市的时间.
解 (1)作BH⊥PQ于点H.在Rt△BHP中,
由条件知,PB=320,∠BPQ=30°,
得BH=320sin30°=160<200.
∴本次台风会影响B市.
(2)如图,若台风中心移动到P1时,台风开始影响B市,台风中心移动到P2时,台风影响结束.
由（1）得，BH=160.由条件，得
BP1=BP2=200.
∴P1P2=22002-1602=240.
∴台风影响的时间t=24030=8(小时).
四、建立不等式模型解隐含数量关系问题
在市场经营、盈亏分析、投资决策等，可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解.
例4 “5•12”汶川大地震震惊全世界，面对人类特大灾害，在党中央国务院的领导下，全国人民万众一心，众志成城，抗震救灾.现在A,B两市各有赈灾物资500吨和300吨，急需运往汶川400吨，运往北川400吨，从A,B两市运往汶川、北川的耗油量如下表：
汶川（升/吨）北川（升/吨）
A市0.50.8
B市1.00.4
（1）若从A市运往汶川的赈灾物资为x吨，求完成以上运输所需总耗油量y（升）与x（吨）的函数关系式.
（2）请你设计一种最佳运输方案，使总耗油量最少，并求出完成以上方案至少需要多少升油.
解 （1）由从A市运往汶川x吨，得A市运往北川（500-x）吨,B市运往汶川（400-x）吨，运往北川（x-100）吨.
∴y=0.5x+0.8(500-x)+1.0(400-x)+0.4(x-100)
=0.5x+400-0.8x+400-x+0.4x-40
=-0.9x+760.
由题意，得x≤400，500-x≤400.
（也可由400-x≤300，x-100≤300，得100≤x≤400）
解得100≤x≤400.
∴y=-0.9x+760(100≤x≤400).
（2）由（1），得y=-0.9x+760.
∵-0.9＜0,∴y随x的增大而减小.
又 ∵100≤x≤400,
∴当x=400时，y的值最小，
即最小值是y=-0.9×400+760=400（升）.
这时，500-x=100，400-x=0，x-100=300.
∴总耗油量最少的最佳运输方案是从A市运往汶川400吨，北川100吨；B市的300吨全部运往北川.
此方案总耗油量是400升.
从上述几例可以看出，构造数学模型，需要多方面的能力，如理解实际问题的能力、数学抽象能力、运用数学工具能力等等.为此，同学们在平时的学习中，应当多接触一些实际问题，多解答一些应用问题，应多了解数学模型，扩大数学视野.大而言之，微积分是运动过程的数学模型，概率统计是随机现象的数学模型.小而言之，二元一次方程组可作为鸡兔同笼的数学模型，函数图像可作为走路、乘车的模型.
用数学模型方法解题是数学的一种宏观解题方法，近年来，由于电子计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势，使得数学模型方法广泛地应用于自然科学、工程技术和社会科学的一切领域中，数学模型与现实原型相结合，将会转化为巨大的力量.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、建立函数模型解最优化问题
可以说，有数学的地方往往也就有函数，对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如面积最大、花钱最小、利润最大等，可以通过变量关系之间建立函数，转化为求函数极值问题.
例1 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，试用函数表示当商场降价x元后该商场每天的盈利额y元；若商场每天要盈利1200元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
解 y=-2x2+60x+800.
当y=1200时,x1=20，x2=10.
考虑尽量减少库存x=20.
答：每件衬衣应降价20元.
二、建立直角坐标系模型解运动轨迹问题
当变量变化中有函数关系，或物体运动轨迹具有某种规律，如投篮、平抛等，可建立平面直角坐标系，转化为函数问题来求解.
例2 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式.
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取43=7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取26=5）
三、建立直角三角形模型解测距问题
对航海、测高测远等应用问题，可建立直角三角模型，转化为解直角三角形.
例3 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.
(1)说明本次台风会影响B市.
（2）求这次台风影响B市的时间.
解 (1)作BH⊥PQ于点H.在Rt△BHP中,
由条件知,PB=320,∠BPQ=30°,
得BH=320sin30°=160<200.
∴本次台风会影响B市.
(2)如图,若台风中心移动到P1时,台风开始影响B市,台风中心移动到P2时,台风影响结束.
由（1）得，BH=160.由条件，得
BP1=BP2=200.
∴P1P2=22002-1602=240.
∴台风影响的时间t=24030=8(小时).
四、建立不等式模型解隐含数量关系问题
在市场经营、盈亏分析、投资决策等，可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解.
例4 “5•12”汶川大地震震惊全世界，面对人类特大灾害，在党中央国务院的领导下，全国人民万众一心，众志成城，抗震救灾.现在A,B两市各有赈灾物资500吨和300吨，急需运往汶川400吨，运往北川400吨，从A,B两市运往汶川、北川的耗油量如下表：
汶川（升/吨）北川（升/吨）
A市0.50.8
B市1.00.4
（1）若从A市运往汶川的赈灾物资为x吨，求完成以上运输所需总耗油量y（升）与x（吨）的函数关系式.
（2）请你设计一种最佳运输方案，使总耗油量最少，并求出完成以上方案至少需要多少升油.
解 （1）由从A市运往汶川x吨，得A市运往北川（500-x）吨,B市运往汶川（400-x）吨，运往北川（x-100）吨.
∴y=0.5x+0.8(500-x)+1.0(400-x)+0.4(x-100)
=0.5x+400-0.8x+400-x+0.4x-40
=-0.9x+760.
由题意，得x≤400，500-x≤400.
（也可由400-x≤300，x-100≤300，得100≤x≤400）
解得100≤x≤400.
∴y=-0.9x+760(100≤x≤400).
（2）由（1），得y=-0.9x+760.
∵-0.9＜0,∴y随x的增大而减小.
又 ∵100≤x≤400,
∴当x=400时，y的值最小，
即最小值是y=-0.9×400+760=400（升）.
这时，500-x=100，400-x=0，x-100=300.
∴总耗油量最少的最佳运输方案是从A市运往汶川400吨，北川100吨；B市的300吨全部运往北川.
此方案总耗油量是400升.
从上述几例可以看出，构造数学模型，需要多方面的能力，如理解实际问题的能力、数学抽象能力、运用数学工具能力等等.为此，同学们在平时的学习中，应当多接触一些实际问题，多解答一些应用问题，应多了解数学模型，扩大数学视野.大而言之，微积分是运动过程的数学模型，概率统计是随机现象的数学模型.小而言之，二元一次方程组可作为鸡兔同笼的数学模型，函数图像可作为走路、乘车的模型.
用数学模型方法解题是数学的一种宏观解题方法，近年来，由于电子计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势，使得数学模型方法广泛地应用于自然科学、工程技术和社会科学的一切领域中，数学模型与现实原型相结合，将会转化为巨大的力量.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文