论文部分内容阅读
摘要：在高中数学三角函数的最值求解上，几乎涉及到数学内容的各个知识点，而三角函数的最值问题也经常与二次函数、不等式相互结合在一起。本文从换元法、配方法、数形结合法三个方面分析了高中数学三角函数的最值求解，让高中生能够更好的掌握数学解题思路与方式，提高自身的逻辑思维能力，促进综合素质的发展。
关键词：高中数学；三角函数；最值求解
函数最值具有概念性与综合性的特点，由于高中数学与初中数学相比较，更为抽象，考查高中生的分析与解决问题的能力也更高。因此，在解决高中最值问题时，要选择合适的解题思路，这样有利于高中生尽快的掌握解题方式，提高数学解题的速度与效率。本文归纳了三种较为常见的方式，并通过具体的数学案例进行分析与总结，以期为高中生学习数学函数提供参考。
一、换元法
换元法实际上就是采用换元的方式将抽象、复杂的数学题具体、简单化，求得函数的定义域，然后通过最常见的函数求解方法，计算函数的最值问题。我们知道，换元法是相互的，可以实现三角函数与不等式之间的相互转换，而换元法又被称为辅助元素法，在解答复杂的方程分解中，将多项结构看做是一个整体[1]。
例如：求出函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值与最小值？
分析：三角函数的简单最值求解中，首先我们要观察函数，然后发现其中可以换算的数据，利用同一个字母替换，推算出答案。从已知的条件中可以知道y=sinx+cosx+sinxcosx，因此假设sinx+cosx=m，（sinx+cosx）?=m?，于是sinx.cosx=，y=+m，m就等于负的根号2。当y取最小值时，y=，当y取最大值时，y=。
三角函数的最值问题是高中数学整体知识点的综合运用，我们通过对三角函数的概念、性质、定义、图形有一个大概的了解。需要利用科学、合理的方式，将其运用到考试或者是我们的生活实践中。这样既能考查我们对基础知识的理解能力，又有解决生活中问题的能力，通过使用换元法对三角函数知识的归纳与总结，我们可以快速的掌握三角函数知识的最值求解问题，从而提高数学水平。
二、配方法
在解一元二次方程式，通常会应用到配方法，这也是我们在初中就学过的知识点。高中数学中也可以利用配方法解决三角函数的最值问题，可以在题目上增加与减少一次项系数一半的平方，应用二次函数的配方法进行解题，这种方法非常简单，在解答三角函数最值中应用也相对广泛。配方法不仅可以用来推导二次函数的求根公式，还能求得二次函数的最值。
例如：将一根长为4米的绳子围成一个矩形，当边长多大时，矩形的面积最大？可以假设边长为X，另一边为（2-x），面积为y。Y=x（2-x）运用配方法就可以得到-（x?-2x），y=-（x?-2x+1-1）=-（x-1）?，当x取1时，面积的最大值为1。这里简单的函数方程，可以利用配方法得到正确答案，也可以将二次函数转化为常用形式，然后根据定义域求得函数的最大值与最小值[2]。
如在y=sin?x+mcosx+m-在最大值为1的情况下，求的a的值？
分析y=sin?x+mcosx+m-，最后解得的答案为cosx大于等于负1且小于等于1。可以分为三种情况，当m大于等于-2时且小于等于2时，得到m等于3/2，或者是m=-4，与结果不相符合应该舍去。第二种情况是在m小于-2时，得到m=-20/3。第三种情况是，当m大于2时，得到m=20/13，与条件不相符合，舍去。因此满足第二中情况与条件相互符合。三角函数在条件允许的情况下，可以变化为二次函数，这也是函数求最值的方法之一，在整理y=a（sinx-b）?+c时，主要是考虑到b的取值，这样才能求得最值。
三、数形结合法
运用数形结合法可以有效的解决三角函数单调区间的数值与大小问题，通常情况下是运用单位圆或者是三角函数来处理的，这也是处理三角函數最值最常用的方法。数形结合是高中数学学习中重要的思想，将方法实际运用在解三角函数的最值问题中，既能简单形象的用图形取代抽象的难题，也能简单、直观的对几何图形进行准确的解答。
例如：在已知α属于（0，π），且sinα+cosα=1/5，求tanα的大小？分析这题可以直接利用sinα+cosα与sinα、cosα的关系求出答案。但是如果在单位圆中三角函数求解，则更为简单、方便。在单位圆中作出α的正弦线与余弦线，如果α为第一象限，那么sinα+cosα大于1，如果α为第二象限，则可以在圆中作出正切线。最后得出答案为-4/3。
在解题时首先要对题目进行总的分析与概括，题目中，不仅有正弦函数，还有余弦函数。可以将数形结合的方法运用到题目中，就可以求得答案。数形结合实际上也是一种将复杂难题简单化的方式，要想提高我们运用数形结合思想的能力，就需要在教师的引导下，理解数形结合、正确的运用数形思想。在选择题或者是填空题时，这种方法更为实用，着重培养我们的创新意识，也能提高数学成绩。数形结合的运用不止是体现在三角函数中，很多方面也各有作用，我们在学习中更应该加强注意这方面的联系，加深对数学的理解。
四、结束语
高中数学三角函数的最值问题已经是我们考试中的热点内容，通过对解题方法的归纳与理解，可以更加有效的帮助我们掌握最值求解方法。换元法、配方法、数形结合法，在遇到题时，首先要根据题目的条件，然后判断出应该运用哪种方法。实现举一反三的作用，真正的提高学习效率与学习能力。
（作者单位：湖南省长沙市第一中学）
参考文献
[1]陆军.三角函数最值问题的八种求解策略[J].延边教育学院学报，2012，26（01）：46-49+53.
[2]张建禄.六种求三角函数最值的思维方法[J].科教导刊：上旬刊，2014，（02）：185-186.
关键词：高中数学；三角函数；最值求解
函数最值具有概念性与综合性的特点，由于高中数学与初中数学相比较，更为抽象，考查高中生的分析与解决问题的能力也更高。因此，在解决高中最值问题时，要选择合适的解题思路，这样有利于高中生尽快的掌握解题方式，提高数学解题的速度与效率。本文归纳了三种较为常见的方式，并通过具体的数学案例进行分析与总结，以期为高中生学习数学函数提供参考。
一、换元法
换元法实际上就是采用换元的方式将抽象、复杂的数学题具体、简单化，求得函数的定义域，然后通过最常见的函数求解方法，计算函数的最值问题。我们知道，换元法是相互的，可以实现三角函数与不等式之间的相互转换，而换元法又被称为辅助元素法，在解答复杂的方程分解中，将多项结构看做是一个整体[1]。
例如：求出函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值与最小值？
分析：三角函数的简单最值求解中，首先我们要观察函数，然后发现其中可以换算的数据，利用同一个字母替换，推算出答案。从已知的条件中可以知道y=sinx+cosx+sinxcosx，因此假设sinx+cosx=m，（sinx+cosx）?=m?，于是sinx.cosx=，y=+m，m就等于负的根号2。当y取最小值时，y=，当y取最大值时，y=。
三角函数的最值问题是高中数学整体知识点的综合运用，我们通过对三角函数的概念、性质、定义、图形有一个大概的了解。需要利用科学、合理的方式，将其运用到考试或者是我们的生活实践中。这样既能考查我们对基础知识的理解能力，又有解决生活中问题的能力，通过使用换元法对三角函数知识的归纳与总结，我们可以快速的掌握三角函数知识的最值求解问题，从而提高数学水平。
二、配方法
在解一元二次方程式，通常会应用到配方法，这也是我们在初中就学过的知识点。高中数学中也可以利用配方法解决三角函数的最值问题，可以在题目上增加与减少一次项系数一半的平方，应用二次函数的配方法进行解题，这种方法非常简单，在解答三角函数最值中应用也相对广泛。配方法不仅可以用来推导二次函数的求根公式，还能求得二次函数的最值。
例如：将一根长为4米的绳子围成一个矩形，当边长多大时，矩形的面积最大？可以假设边长为X，另一边为（2-x），面积为y。Y=x（2-x）运用配方法就可以得到-（x?-2x），y=-（x?-2x+1-1）=-（x-1）?，当x取1时，面积的最大值为1。这里简单的函数方程，可以利用配方法得到正确答案，也可以将二次函数转化为常用形式，然后根据定义域求得函数的最大值与最小值[2]。
如在y=sin?x+mcosx+m-在最大值为1的情况下，求的a的值？
分析y=sin?x+mcosx+m-，最后解得的答案为cosx大于等于负1且小于等于1。可以分为三种情况，当m大于等于-2时且小于等于2时，得到m等于3/2，或者是m=-4，与结果不相符合应该舍去。第二种情况是在m小于-2时，得到m=-20/3。第三种情况是，当m大于2时，得到m=20/13，与条件不相符合，舍去。因此满足第二中情况与条件相互符合。三角函数在条件允许的情况下，可以变化为二次函数，这也是函数求最值的方法之一，在整理y=a（sinx-b）?+c时，主要是考虑到b的取值，这样才能求得最值。
三、数形结合法
运用数形结合法可以有效的解决三角函数单调区间的数值与大小问题，通常情况下是运用单位圆或者是三角函数来处理的，这也是处理三角函數最值最常用的方法。数形结合是高中数学学习中重要的思想，将方法实际运用在解三角函数的最值问题中，既能简单形象的用图形取代抽象的难题，也能简单、直观的对几何图形进行准确的解答。
例如：在已知α属于（0，π），且sinα+cosα=1/5，求tanα的大小？分析这题可以直接利用sinα+cosα与sinα、cosα的关系求出答案。但是如果在单位圆中三角函数求解，则更为简单、方便。在单位圆中作出α的正弦线与余弦线，如果α为第一象限，那么sinα+cosα大于1，如果α为第二象限，则可以在圆中作出正切线。最后得出答案为-4/3。
在解题时首先要对题目进行总的分析与概括，题目中，不仅有正弦函数，还有余弦函数。可以将数形结合的方法运用到题目中，就可以求得答案。数形结合实际上也是一种将复杂难题简单化的方式，要想提高我们运用数形结合思想的能力，就需要在教师的引导下，理解数形结合、正确的运用数形思想。在选择题或者是填空题时，这种方法更为实用，着重培养我们的创新意识，也能提高数学成绩。数形结合的运用不止是体现在三角函数中，很多方面也各有作用，我们在学习中更应该加强注意这方面的联系，加深对数学的理解。
四、结束语
高中数学三角函数的最值问题已经是我们考试中的热点内容，通过对解题方法的归纳与理解，可以更加有效的帮助我们掌握最值求解方法。换元法、配方法、数形结合法，在遇到题时，首先要根据题目的条件，然后判断出应该运用哪种方法。实现举一反三的作用，真正的提高学习效率与学习能力。
（作者单位：湖南省长沙市第一中学）
参考文献
[1]陆军.三角函数最值问题的八种求解策略[J].延边教育学院学报，2012，26（01）：46-49+53.
[2]张建禄.六种求三角函数最值的思维方法[J].科教导刊：上旬刊，2014，（02）：185-186.