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【关键词】教学设计;线性规划;数学发现
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）38-0052-03
【作者简介】陈园园，江苏省苏州中学园区校（江苏苏州，215021）教师。
【设计说明】
本节课选自苏教版《高中数学·必修五》“不等式”一章，是上一节“二元一次不等式（组）表示的平面区域”的后续内容。本节课是“简单的线性规划问题”的第一课时，核心内容是探究生成“求解线性目标函数最值”的方法，关于方法的进一步应用及数学建模的思想可以渗透在以后的课时中。
教材中将本节内容处理为与直线截距有关的量，但笔者以为这种设计有其局限性，原因在于：一是受苏教版必修教材在江苏省大部分学校的教授顺序限制，本节课之前，高一学生还没有系统学习过必修二中有关直线部分的内容，许多学生甚至并不知道截距的概念，这样的讲法离学生的最近知识发展区较远，并不切合高一学生的知识结构;二是目标函数的几何意义放给学生去探究，对于学生的思维跨度要求大，他们很难马上找准切入口。
基于上述局限性，笔者想到，既然学生没有足够的直线知识背景，何不“顺势而为”，将线性规划问题看作是有两个决策变量的函数求最值的问题。由此可以避开谈目标函数的几何意义，从学生熟知的求函数最值的背景出发，激发学生原有对函数的认知。虽然这和教材的编写安排不同，但教师根据学生的认知基础定制符合学生的教学方案，用智慧创新教材，使教材更加切合学生实际和自身特点，才符合新课标精神，此时新课程的实施同时成为教师和学生共同发展的基石。
在具体的教学实践中，引导学生运用了观察、实验、归纳、数形结合等数学方法，从处理几个点对应的目标函数值到批处理一类点对应的目标函数值，认识到何种直线上的点对应的目标函数值不变，进而能处理平面区域内的所有点对应的目标函数值，最终解决问题。学生体验了由特殊到一般、由现象到本质的过程，课堂上形成了师生间互相交流思想、相互探究学习的双向活动。
【课例呈现】
一、教学目标
1.探究在线性约束条件下求解线性目标函数最值的方法。
2.初步掌握简单的线性规划问题的一般解法。
二、教学重点和难点
如何生成求解线性目标函数最值的方法。
三、教学过程
1.回顾旧知，引入问题。
问题1：请作出不等式组4x y≤104x 3y≤20x≥0y≥0表示的平面区域。
【师生活动】学生口答回顾确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的两种方法，教师投影展示学生的作图结果，并小结方法：“线定界，点定域。”
（设计意图：此问题承上启下，帮助学生回顾上一节课所学内容的同时，为本节课的线性规划问题确定了可行域。小结中教师渗透“点定域”的思想就是一个点代替一类点的思想，对于本节课接下来“批处理”多点对应的目标函数值做好铺垫。）
问题2：今天我们在此基础上，探究一个新问题：
若x，y满足4x y≤104x 3y≤20x≥0y≥0，探求z=2x y的最大值。
【师生活动】
师：在以前的学习中，大家遇到过求最值的情境吗？
生：接触过，在函数部分。
师：函数是台加工机器，一个输入值x对应唯一输出值y。只要遍历所有的x值，就可以找到y的最值。（教师画出输入输出机器）今天我们要研究的问题可以看成是函数求最值的问题吗？
生1：z可以看作是关于（x，y）的函数，输入一个有序数对（x，y），输出唯一的z值。
生2：每一个有序数对（x，y）对应唯一的z值，只要遍历所有的有序数对（x，y），就可以找到z的最值。
（设计意图：自然引入要探究的问题，唤醒学生对新问题和已有的知识之间的联系，一方面从原有的认知水平出发，起点不高，学生易于接受，愿意尝试去探究新问题。另一方面，学生更深入理解数学知识的系统性，完善学生的认知结构。）
2.分解问题，逐步递进。
第一步：利用函数知识，让学生尝试得到一些不同的有序数对（x，y）对应的z值。
【师生活动】
师：请同学们动手尝试找出不同的（x，y）对应的z值。
生3：输入（1，2），输出4。[教师板书（1，2）→4]
生4：输入（2，1），输出5。[教师板书（2，1）→5]
生5：输入（1，3），输出5。[教师板书（1，3）→5]
生6：输入（1，1），输出3。[教师板书（1，1）→3]
生7：输入（2.5，0），输出5。[教师板书（2.5，0）→5]
师：好，这个工作能做完吗？
生（摇头）：不能，因为点有无数个。
师：既然做不完，我们不能继续下去了，我们要从这些点中找到内在联系。刚才同学们输入的点虽不同，可是有几个点输出的z值都为5，大家还能找到其他点对应的z值也为5的吗？
生8：还有，比如（0.5，4），（0，5），……
师：这些点不同，输出的z值总相同。这些点有什么共同特征？
[设计意图：从特殊到一般，从具体到抽象符合学生的认知规律，因此可从一些特殊的具体的点（x，y）出发，调动学生探究问题的兴趣。在此过程中，学生们注意到每一个有序数对（x，y）与刚才所画的平面区域的一个点对应，教师引导学生发现不同点对应的z值可能相等的现象，再提出问题，请学生抽象出这种现象的本质。]
第二步：学生归纳z值相等的点的共同特征，建立等z线概念，完成几个点到一条直线上的点的处理。
【师生活动】 师：（请一个学生用几何画板软件将z值为5的几个点标在图中）除了这位同学标出的这些点外，还有很多点对应的z值为5，这些点的共同特征是？
生9：它们都在同一条直线上。
师：在哪条直线上？
生9（补充）：在直线2x y=5上。
师：这条直线上的所有点都满足对应的z值为5，很有意思，我们给它起个名字吧。地理学中，把海拔高度相等的点的连线称为等高线，我们可以给它起名为？
生：等z线。
师：好的。“等z线”满足——点不同，z相同。类似地，大家可以找到其他“等z线”吗？
生10：（1，1）→3，（0.5，2）→3，（1.5，0）→3，这些点都在直线上，这也是一条“等z线”。（教师在几何画板上画出）
（设计意图：以形助数，让学生逐步接近问题的本质：z值相同的点都在同一直线上即“等z线”上。“等z线”上的点虽不同，但目标函数z值总是相等的，这样就批处理了这条直线上的所有点对应的z值。学生顺利完成平面区域内几个点对应的z值到一条直线上的点对应的z值的过渡。举一反三，学生可以再找到其他的“等z线”。）
第三步：学生由不同的“等z线”直观感受到平面区域内的点对应的z值特征，完成平面区域内一批点到部分点、再到所有点的处理，进而求出z的最大值。
【师生活动】
师：2x y=5，2x y=3，两条“等z线”什么关系？
生：互相平行。
师：这两条“等z线”之间的点对应的z值可以不再尝试，是吗？
生：是的，它们对应的z值总在3与5之间。
师：那么z值可以更大吗？有最大值吗？怎么获得？
生：平移等z线，当经过边界点B时，“等z线”的z值最大。
[教师用几何画板验证学生的想法，师生共同完成题目的解答，板书完整的求解过程：平行移动直线2x y=5，当它经过边界点B（1.25，5）（即直线4x y=10和4x 3y=20的交点）时，“等z线”的z值最大，最大值为7.5。]
（设计意图：在观察到不同“等z线”互相平行的基础上，学生借助图形很快领悟到通过“等z线”的平行移动可以找到z值最大的“等z线”，这是本节课的高潮。学生通过分析一步步探索出了解决问题的方法，最初由平面区域内几个点对应的z值到部分点，最后再到所有点z值的解决，完成了思维的飞跃。）
3.提炼方法，总结步骤。
【师生活动】通过几何画板演示找到最优解后，教师趁热打铁，给出本节课的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等。同时学生们小组合作，提炼出解决线性规划问题的步骤，教师补充总结。解决线性规划问题的一般步骤为——
（1）画图：画出二元一次不等式组所表示的平面区域（可行域）;
（2）尝试：尝试一个点、一类点，得到等z线;
（3）平移：平移等z线，找到取得z最值的点（最优解）;
（4）求解：联立直线方程得到最优解的坐标，代入求出z的最值.
（设计意图：提炼概念，自然流畅。总结步骤，实质上是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，对新的方法的固化过程。）
4.变式训练，拓展延伸。
在约束条件4x y≤104x 3y≤20x≥0y≥0下，求下列目标函数的最值，并指出最优解。
（1）函数z=x y的最大值;（2）函数z=x-2y的最小值。
（设计意图：学生之间的认知水平和思维能力是存在差异的。此例题中可行域不变，只是适当变形拓展了目标函数，通过交流各自的做法学生们再次明晰了线性规划问题的一般解法和求解细节，理解和确立了“等z线”的平移方向。）
四、教后反思
很多时候，我们教师扮演的仅仅是知识传递者的角色，关注的是知识本身以及如何把知识教给学生，而很少会从学科性质的角度去思考所教知识的内涵本质以及对学生发展的意义。在本节课的设计中，我一直在思索一个问题：本节课的核心内容到底是什么？是直接教给学生解决问题的方法和操作要领，还是多花时间和功夫和学生一起探究如何生成求解线性目标函数最值的方法？现在想来应该是后者。
新课程认为课堂教学要强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。因此，在设计本节课时，我想，教师不能简单地去告诉学生概念、定理、方法，而应创设一些数学情境，给足学生时间和空间，引导学生利用已有知识去获取新知识、新方法。在这个过程中，学生感受到解决问题的方法不是凭空产生的，更不是老师硬生生塞给的，他们带着问题进入发现者的角色，通过自己的“数学实验”探究出问题的解法。学生的主体地位得到充分发挥，提出问题、解决问题的能力得到提高，相应地，学习能力也得到了发展，这正是新课程所倡导的。数学教学最终要教会学生思考，将有益的思考方式和思维习惯放在教学的主要位置，最终才可能达到发展学生学力的目的。
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）38-0052-03
【作者简介】陈园园，江苏省苏州中学园区校（江苏苏州，215021）教师。
【设计说明】
本节课选自苏教版《高中数学·必修五》“不等式”一章，是上一节“二元一次不等式（组）表示的平面区域”的后续内容。本节课是“简单的线性规划问题”的第一课时，核心内容是探究生成“求解线性目标函数最值”的方法，关于方法的进一步应用及数学建模的思想可以渗透在以后的课时中。
教材中将本节内容处理为与直线截距有关的量，但笔者以为这种设计有其局限性，原因在于：一是受苏教版必修教材在江苏省大部分学校的教授顺序限制，本节课之前，高一学生还没有系统学习过必修二中有关直线部分的内容，许多学生甚至并不知道截距的概念，这样的讲法离学生的最近知识发展区较远，并不切合高一学生的知识结构;二是目标函数的几何意义放给学生去探究，对于学生的思维跨度要求大，他们很难马上找准切入口。
基于上述局限性，笔者想到，既然学生没有足够的直线知识背景，何不“顺势而为”，将线性规划问题看作是有两个决策变量的函数求最值的问题。由此可以避开谈目标函数的几何意义，从学生熟知的求函数最值的背景出发，激发学生原有对函数的认知。虽然这和教材的编写安排不同，但教师根据学生的认知基础定制符合学生的教学方案，用智慧创新教材，使教材更加切合学生实际和自身特点，才符合新课标精神，此时新课程的实施同时成为教师和学生共同发展的基石。
在具体的教学实践中，引导学生运用了观察、实验、归纳、数形结合等数学方法，从处理几个点对应的目标函数值到批处理一类点对应的目标函数值，认识到何种直线上的点对应的目标函数值不变，进而能处理平面区域内的所有点对应的目标函数值，最终解决问题。学生体验了由特殊到一般、由现象到本质的过程，课堂上形成了师生间互相交流思想、相互探究学习的双向活动。
【课例呈现】
一、教学目标
1.探究在线性约束条件下求解线性目标函数最值的方法。
2.初步掌握简单的线性规划问题的一般解法。
二、教学重点和难点
如何生成求解线性目标函数最值的方法。
三、教学过程
1.回顾旧知，引入问题。
问题1：请作出不等式组4x y≤104x 3y≤20x≥0y≥0表示的平面区域。
【师生活动】学生口答回顾确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的两种方法，教师投影展示学生的作图结果，并小结方法：“线定界，点定域。”
（设计意图：此问题承上启下，帮助学生回顾上一节课所学内容的同时，为本节课的线性规划问题确定了可行域。小结中教师渗透“点定域”的思想就是一个点代替一类点的思想，对于本节课接下来“批处理”多点对应的目标函数值做好铺垫。）
问题2：今天我们在此基础上，探究一个新问题：
若x，y满足4x y≤104x 3y≤20x≥0y≥0，探求z=2x y的最大值。
【师生活动】
师：在以前的学习中，大家遇到过求最值的情境吗？
生：接触过，在函数部分。
师：函数是台加工机器，一个输入值x对应唯一输出值y。只要遍历所有的x值，就可以找到y的最值。（教师画出输入输出机器）今天我们要研究的问题可以看成是函数求最值的问题吗？
生1：z可以看作是关于（x，y）的函数，输入一个有序数对（x，y），输出唯一的z值。
生2：每一个有序数对（x，y）对应唯一的z值，只要遍历所有的有序数对（x，y），就可以找到z的最值。
（设计意图：自然引入要探究的问题，唤醒学生对新问题和已有的知识之间的联系，一方面从原有的认知水平出发，起点不高，学生易于接受，愿意尝试去探究新问题。另一方面，学生更深入理解数学知识的系统性，完善学生的认知结构。）
2.分解问题，逐步递进。
第一步：利用函数知识，让学生尝试得到一些不同的有序数对（x，y）对应的z值。
【师生活动】
师：请同学们动手尝试找出不同的（x，y）对应的z值。
生3：输入（1，2），输出4。[教师板书（1，2）→4]
生4：输入（2，1），输出5。[教师板书（2，1）→5]
生5：输入（1，3），输出5。[教师板书（1，3）→5]
生6：输入（1，1），输出3。[教师板书（1，1）→3]
生7：输入（2.5，0），输出5。[教师板书（2.5，0）→5]
师：好，这个工作能做完吗？
生（摇头）：不能，因为点有无数个。
师：既然做不完，我们不能继续下去了，我们要从这些点中找到内在联系。刚才同学们输入的点虽不同，可是有几个点输出的z值都为5，大家还能找到其他点对应的z值也为5的吗？
生8：还有，比如（0.5，4），（0，5），……
师：这些点不同，输出的z值总相同。这些点有什么共同特征？
[设计意图：从特殊到一般，从具体到抽象符合学生的认知规律，因此可从一些特殊的具体的点（x，y）出发，调动学生探究问题的兴趣。在此过程中，学生们注意到每一个有序数对（x，y）与刚才所画的平面区域的一个点对应，教师引导学生发现不同点对应的z值可能相等的现象，再提出问题，请学生抽象出这种现象的本质。]
第二步：学生归纳z值相等的点的共同特征，建立等z线概念，完成几个点到一条直线上的点的处理。
【师生活动】 师：（请一个学生用几何画板软件将z值为5的几个点标在图中）除了这位同学标出的这些点外，还有很多点对应的z值为5，这些点的共同特征是？
生9：它们都在同一条直线上。
师：在哪条直线上？
生9（补充）：在直线2x y=5上。
师：这条直线上的所有点都满足对应的z值为5，很有意思，我们给它起个名字吧。地理学中，把海拔高度相等的点的连线称为等高线，我们可以给它起名为？
生：等z线。
师：好的。“等z线”满足——点不同，z相同。类似地，大家可以找到其他“等z线”吗？
生10：（1，1）→3，（0.5，2）→3，（1.5，0）→3，这些点都在直线上，这也是一条“等z线”。（教师在几何画板上画出）
（设计意图：以形助数，让学生逐步接近问题的本质：z值相同的点都在同一直线上即“等z线”上。“等z线”上的点虽不同，但目标函数z值总是相等的，这样就批处理了这条直线上的所有点对应的z值。学生顺利完成平面区域内几个点对应的z值到一条直线上的点对应的z值的过渡。举一反三，学生可以再找到其他的“等z线”。）
第三步：学生由不同的“等z线”直观感受到平面区域内的点对应的z值特征，完成平面区域内一批点到部分点、再到所有点的处理，进而求出z的最大值。
【师生活动】
师：2x y=5，2x y=3，两条“等z线”什么关系？
生：互相平行。
师：这两条“等z线”之间的点对应的z值可以不再尝试，是吗？
生：是的，它们对应的z值总在3与5之间。
师：那么z值可以更大吗？有最大值吗？怎么获得？
生：平移等z线，当经过边界点B时，“等z线”的z值最大。
[教师用几何画板验证学生的想法，师生共同完成题目的解答，板书完整的求解过程：平行移动直线2x y=5，当它经过边界点B（1.25，5）（即直线4x y=10和4x 3y=20的交点）时，“等z线”的z值最大，最大值为7.5。]
（设计意图：在观察到不同“等z线”互相平行的基础上，学生借助图形很快领悟到通过“等z线”的平行移动可以找到z值最大的“等z线”，这是本节课的高潮。学生通过分析一步步探索出了解决问题的方法，最初由平面区域内几个点对应的z值到部分点，最后再到所有点z值的解决，完成了思维的飞跃。）
3.提炼方法，总结步骤。
【师生活动】通过几何画板演示找到最优解后，教师趁热打铁，给出本节课的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等。同时学生们小组合作，提炼出解决线性规划问题的步骤，教师补充总结。解决线性规划问题的一般步骤为——
（1）画图：画出二元一次不等式组所表示的平面区域（可行域）;
（2）尝试：尝试一个点、一类点，得到等z线;
（3）平移：平移等z线，找到取得z最值的点（最优解）;
（4）求解：联立直线方程得到最优解的坐标，代入求出z的最值.
（设计意图：提炼概念，自然流畅。总结步骤，实质上是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，对新的方法的固化过程。）
4.变式训练，拓展延伸。
在约束条件4x y≤104x 3y≤20x≥0y≥0下，求下列目标函数的最值，并指出最优解。
（1）函数z=x y的最大值;（2）函数z=x-2y的最小值。
（设计意图：学生之间的认知水平和思维能力是存在差异的。此例题中可行域不变，只是适当变形拓展了目标函数，通过交流各自的做法学生们再次明晰了线性规划问题的一般解法和求解细节，理解和确立了“等z线”的平移方向。）
四、教后反思
很多时候，我们教师扮演的仅仅是知识传递者的角色，关注的是知识本身以及如何把知识教给学生，而很少会从学科性质的角度去思考所教知识的内涵本质以及对学生发展的意义。在本节课的设计中，我一直在思索一个问题：本节课的核心内容到底是什么？是直接教给学生解决问题的方法和操作要领，还是多花时间和功夫和学生一起探究如何生成求解线性目标函数最值的方法？现在想来应该是后者。
新课程认为课堂教学要强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。因此，在设计本节课时，我想，教师不能简单地去告诉学生概念、定理、方法，而应创设一些数学情境，给足学生时间和空间，引导学生利用已有知识去获取新知识、新方法。在这个过程中，学生感受到解决问题的方法不是凭空产生的，更不是老师硬生生塞给的，他们带着问题进入发现者的角色，通过自己的“数学实验”探究出问题的解法。学生的主体地位得到充分发挥，提出问题、解决问题的能力得到提高，相应地，学习能力也得到了发展，这正是新课程所倡导的。数学教学最终要教会学生思考，将有益的思考方式和思维习惯放在教学的主要位置，最终才可能达到发展学生学力的目的。