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【摘要】进行变式的主要目的，就是通过改变数学对象的表达方式，使学生真正领悟数学对象的本质，培养学生对数学对象、关系和运算的概括能力。其次，通过变式，教师能及时把握学生理解知识时的反馈信息。此外，还能培养学生思维的深刻性和灵活性。
【关键词】变式 技能 培养
所谓变式，就是在引导学生认识事物属性的过程中，不断变更提供材料或事例的呈现形式，使本质属性保持稳定而非本质属性不断变化，产生新的问题情境，诱发学生用不同的方法、从不同的角度去思考问题，克服或弱化思维定势的干扰，突破旧的思维模式。如果有人说：三点水右边加上个“来”后，这个字读什么音，当你回答后紧接着问三点水右边加“去”读什么音，这时你若读“去”就大错特错了，这就是定势思维的误导。经验和规律能使我们解决问题时快捷、方便，但也往往带来意想不到的错误，尤其是阻碍一个人创造力的发展。加强变式艺术的教学，有利于弱化定势思维，激发学习热情，活跃思维方式，改善思维品质，树立创新意识，发展创造能力。
变式技能是指教师通过改变数学对象的非本质因素（或个别本质因素），而保留数学对象的本质因素，使学生最终真正掌握数学对象本质的教学手段。要培养学生的变式技能，教师就需要加强变式教学。
第斯多惠说：“一个真正的教师指点给学生的不是已投入千年劳动的现成大厦，而是促使他做砌砖工作，同他一起建造大厦，教他建筑。”今天，要求教学不仅仅是只传授知识，更重要的是激发学生的学习主动性，培养学生的创造性思维能力，使学生成为具有开拓精神的创新型人才。学生思维能力的培养，教师是关键，摒弃不符合素质教育的旧观念，确立创新教育的学习观、人文观、学生主体观、教学民主观等现代教育的新观念。在讲概念、定理、例题时，应不失时机地作变式示范，指导学生作变式训练；在习题课上，要讲“串题”一道题的多种变式题，并选择典型材料，组织学生讨论各种变式，引导学生摸索变式与处理变式题的方法。加强变式技能的培养，可以提高学生综合思维能力，对发展求异思维能力与开创意识也极有好处。
变式技能类型，一般有两种分类方法：第一种是从数学对象的非本质因素与本质因素的改变情况来分；第二种是根据中学数学来分，分为概念变式，公式（法则）变式，定理、命题变式，问题变式。下面将分别举例进行说明：
一、概念变式
概念是思维的基本单位，因而概念的学习是数学的重要组成部分。中学数学中有大量的概念，它是导出数学定理和数学法则的逻辑的基础。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，教师在教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以摳嫠邤为主，让学生撜加袛新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖性，这不利于创新型人才的培养。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”、“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的思维能力、创新意识。因此，从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程,其内涵、外延的提示过程，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，我们可以引入变式教学，利用变式引导学生积极参与形成的全过程，教师创设问题情境，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式培养学生的观察、分析以及概括能力。
例如相反数的概念：
变式一：若有理数a与b之和为0，试比较与的大小；
变式二：a与-a必有一个是负数（判断题）；
变式三：在数轴上，表示一对相反数的两点与原点的距离；
变式四：一个数的2k＋1次幂与这个数的相反数的2k次幂相等，那么这个数是 （k是自然数）；
变式五：若有理数a与b之和等于0，试判断与是否互为相反数。
数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，它抛开一类对象的具体物质内容，反映的是一类事物内在的、固有的、普遍的属性。
再如矩形的概念：
变式一：两组对边分别平行且有一个角是直角的四边形是矩形；
变式二：两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形；
变式三：四个角都是直角的四边形是矩形；
变式四：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
在以上关于矩形概念的变式中，由于语言表达改变而本质属性未变的有变式一、四，这种变式称为“正面”的；而二、三两个变式中去掉“四条边共面”这一本质属性，因而不能成为矩形的定义，这种变式称“反面”的。无论是“正面”还是“反面”变式，对学生深刻掌握矩形的概念都起到了积极的作用。
概念变式不仅反映在文字语言变化上，有时可采用图形位置的变化来纠正学生对概念的片面认识。这种片面认识往往表现为在思维中不合理地扩大和缩小了概念的外延。如果学生经常把非本质的属性（如图形位置、大小等）当作本质属性，就会缩小概念的外延，造成错误的理解。如以下各组图：
为使学生准确地理解数学概念的本质，教师应在概念的语言表达方式和概念所涉及的图形的大小、位置上进行正反两个方面的变化，通过学生的理解情况及时处理来自学生的反馈信息，并不断调整讲解方式、使学生最终掌握概念。
二、公式（法则）变式
公式（法则）变式的目的在于使学生真正掌握公式的本质特征，表示在公式应用的变式上。在初中代数中，两数和的平方公式占有重要位置。其本质特征是：两数和的平方等于这两个数的平方之和再加上这两个数乖积的2倍，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。
变式一：（a＋x）2＝（x＋y）2＝ （与公式比，字母符号发生了变化）
变式二：（2a＋b）2＝ （＋0.3b）2＝ （与公式比，系数发生了变化）
变式三：（a2＋b）2＝ （an＋b2n）2＝ （与公式比，指数发生了变化）
变式四：（2x＋3y）2＝ （变式一、二的结合）
变式五：（6a2＋3b4）2＝ （x＋0.2bn）2＝ （变式二、三的结合）
变式六：（c2＋d2）2＝（xn＋yn）2＝（变式一、三的结合）
变式七：（3c2＋）2＝（＋0.2yb＋1）2＝（变式一、三的结合）
从变式一到变式七，其共同特点是棗两项和的平方。这正是公式的本质属性，而改变的只是两项的形式，属非本质属性。
变式八：（1＋）2＝（第一项不易看出来）
（3x－6y）2＝（变第二项为-6y）
变式九：（m＋n＋b）2＝ （4x＋y3－a）2＝ （变两项为三项）
变式十：（c＋d＋e）（e＋c＋d）＝
从变式八到变式十，逐渐复杂化，应用公式的可能性愈来愈不易看出。
关于公式的另一种方法，是公式的逆变，这对培养学生的思维也大有益处。
如三角公式sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
变式一：cosαsinβ＋sinαcosβ＝
变式二：sin（α＋β）cosβ±cos（α＋β）sinβ＝
变式三：＝
变式四：cosα＋sinα＝
变式一是为学生掌握公式的本质特征sin（α＋β）＝“正余+余正”而作的；变式二是对培养学生的整体性思维（把α＋β看作是一个字母）而且 作的，角由单角变为复角；变式三、四是比较复杂的两个变式，具体数值代替了公式中的某些项。
进行公式变式时，教师必须准确把握公式的本质特征与非本质因素而对非本质因素施行合理的变化。
三、命题、定理变式
命题、定理变式，最常见的有以下几种：
1、“加强”（或“减弱”）条件
如命题：有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱（假）；
变式一：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱（假）；
变式二：有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱（真）（此时变式的条件比原命题强了）。
2、四种命题的相互转化
如：原命题：对顶角相等；逆命题：相等的角是对顶角；否命题：不对顶的角不相等；逆否命题：不相等的角不是对顶角。
3、推广
如：已知a、b∈R＋，求证：a＋b ≥2（当且仅当a=b时取等号）
推广一：已知a、b、c∈R＋，求证：a＋b＋c≥3
推广二：已知ai∈R＋，i=1，2，3，…，n，求证：≥n
又如命题：三角形面积等于它的内切圆半径与三角形半周长之积，即S⊿＝rp，r为内切圆半径，p＝（a＋b＋c）/2；
推广一：多边形面积等于它的内切圆半径与多边形半周长之积（证法与原命题类似）；
推广二：多面体体积等于其内切球半径（r）与多面体面积（S）之积的三分之一，即V多面体＝Sr/3；
在推广二中，当多面体面数n→，多面体每个面面积S→0，S多面体＝V球。
∴V多面体＝Sr/3 ＝4πr3/3
四、问题变式
问题变式的根本目的在于灵活改变问题的提法，以培养学生灵活应用数学概念、原理、方法解决问题的能力，以提高解题技能和技巧，能从对具体问题的解法迁移到更抽象的同类问题的解决之中。问题变式还具有启发性、强化巩固性等功能。
如：为巩固切线长定理（从圆外一点引圆的两切线长相等），可以设置以下各种变式题目：
问题变式一：如图⑴，求证：AX＋BY＋CZ＝BX＋CY＋AZ；
问题变式二：如图⑵，求证：四边形两组对边之和相等；
问题变式三：如图⑶，试在⊿ABC中，AB、BC、CA上分别找三点X、Y、Z，使BX=BY、CY=CZ、AZ=AX。
在以上三个变式中，问题一的解决将对问题二、三起到模式作用。
变式具有不能穷尽性，教师只须选择合适的、典型的变式，以巩固、深化所学知识；在变式技能的训练中，应遵循由浅入深、由简单到复杂的原则；教师应透彻理解教材，掌握变式规律，力求全面、典型。
培养变式技能，提高学生创新思维能力，关键在于教师要精心组织教学，设计研究课题，启发学生思维，挖掘教材的创新因素，力求做到在看似无疑处生疑、看似平常处见奇，教师要时刻树立创新意识，让课堂教学绽放出创新的火花。
【参考文献】
1、华秀清：加强思维变式训练，提高求异思维能力，中学数学教与学，1994（12）
2、杨麦秀：数学教学中学生创新思维的培养，中学数学教学，2001（4）
（作者单位：665000云南省澜沧县第一中学）
【关键词】变式 技能 培养
所谓变式，就是在引导学生认识事物属性的过程中，不断变更提供材料或事例的呈现形式，使本质属性保持稳定而非本质属性不断变化，产生新的问题情境，诱发学生用不同的方法、从不同的角度去思考问题，克服或弱化思维定势的干扰，突破旧的思维模式。如果有人说：三点水右边加上个“来”后，这个字读什么音，当你回答后紧接着问三点水右边加“去”读什么音，这时你若读“去”就大错特错了，这就是定势思维的误导。经验和规律能使我们解决问题时快捷、方便，但也往往带来意想不到的错误，尤其是阻碍一个人创造力的发展。加强变式艺术的教学，有利于弱化定势思维，激发学习热情，活跃思维方式，改善思维品质，树立创新意识，发展创造能力。
变式技能是指教师通过改变数学对象的非本质因素（或个别本质因素），而保留数学对象的本质因素，使学生最终真正掌握数学对象本质的教学手段。要培养学生的变式技能，教师就需要加强变式教学。
第斯多惠说：“一个真正的教师指点给学生的不是已投入千年劳动的现成大厦，而是促使他做砌砖工作，同他一起建造大厦，教他建筑。”今天，要求教学不仅仅是只传授知识，更重要的是激发学生的学习主动性，培养学生的创造性思维能力，使学生成为具有开拓精神的创新型人才。学生思维能力的培养，教师是关键，摒弃不符合素质教育的旧观念，确立创新教育的学习观、人文观、学生主体观、教学民主观等现代教育的新观念。在讲概念、定理、例题时，应不失时机地作变式示范，指导学生作变式训练；在习题课上，要讲“串题”一道题的多种变式题，并选择典型材料，组织学生讨论各种变式，引导学生摸索变式与处理变式题的方法。加强变式技能的培养，可以提高学生综合思维能力，对发展求异思维能力与开创意识也极有好处。
变式技能类型，一般有两种分类方法：第一种是从数学对象的非本质因素与本质因素的改变情况来分；第二种是根据中学数学来分，分为概念变式，公式（法则）变式，定理、命题变式，问题变式。下面将分别举例进行说明：
一、概念变式
概念是思维的基本单位，因而概念的学习是数学的重要组成部分。中学数学中有大量的概念，它是导出数学定理和数学法则的逻辑的基础。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，教师在教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以摳嫠邤为主，让学生撜加袛新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖性，这不利于创新型人才的培养。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”、“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的思维能力、创新意识。因此，从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程,其内涵、外延的提示过程，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，我们可以引入变式教学，利用变式引导学生积极参与形成的全过程，教师创设问题情境，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式培养学生的观察、分析以及概括能力。
例如相反数的概念：
变式一：若有理数a与b之和为0，试比较与的大小；
变式二：a与-a必有一个是负数（判断题）；
变式三：在数轴上，表示一对相反数的两点与原点的距离；
变式四：一个数的2k＋1次幂与这个数的相反数的2k次幂相等，那么这个数是 （k是自然数）；
变式五：若有理数a与b之和等于0，试判断与是否互为相反数。
数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，它抛开一类对象的具体物质内容，反映的是一类事物内在的、固有的、普遍的属性。
再如矩形的概念：
变式一：两组对边分别平行且有一个角是直角的四边形是矩形；
变式二：两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形；
变式三：四个角都是直角的四边形是矩形；
变式四：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
在以上关于矩形概念的变式中，由于语言表达改变而本质属性未变的有变式一、四，这种变式称为“正面”的；而二、三两个变式中去掉“四条边共面”这一本质属性，因而不能成为矩形的定义，这种变式称“反面”的。无论是“正面”还是“反面”变式，对学生深刻掌握矩形的概念都起到了积极的作用。
概念变式不仅反映在文字语言变化上，有时可采用图形位置的变化来纠正学生对概念的片面认识。这种片面认识往往表现为在思维中不合理地扩大和缩小了概念的外延。如果学生经常把非本质的属性（如图形位置、大小等）当作本质属性，就会缩小概念的外延，造成错误的理解。如以下各组图：
为使学生准确地理解数学概念的本质，教师应在概念的语言表达方式和概念所涉及的图形的大小、位置上进行正反两个方面的变化，通过学生的理解情况及时处理来自学生的反馈信息，并不断调整讲解方式、使学生最终掌握概念。
二、公式（法则）变式
公式（法则）变式的目的在于使学生真正掌握公式的本质特征，表示在公式应用的变式上。在初中代数中，两数和的平方公式占有重要位置。其本质特征是：两数和的平方等于这两个数的平方之和再加上这两个数乖积的2倍，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。
变式一：（a＋x）2＝（x＋y）2＝ （与公式比，字母符号发生了变化）
变式二：（2a＋b）2＝ （＋0.3b）2＝ （与公式比，系数发生了变化）
变式三：（a2＋b）2＝ （an＋b2n）2＝ （与公式比，指数发生了变化）
变式四：（2x＋3y）2＝ （变式一、二的结合）
变式五：（6a2＋3b4）2＝ （x＋0.2bn）2＝ （变式二、三的结合）
变式六：（c2＋d2）2＝（xn＋yn）2＝（变式一、三的结合）
变式七：（3c2＋）2＝（＋0.2yb＋1）2＝（变式一、三的结合）
从变式一到变式七，其共同特点是棗两项和的平方。这正是公式的本质属性，而改变的只是两项的形式，属非本质属性。
变式八：（1＋）2＝（第一项不易看出来）
（3x－6y）2＝（变第二项为-6y）
变式九：（m＋n＋b）2＝ （4x＋y3－a）2＝ （变两项为三项）
变式十：（c＋d＋e）（e＋c＋d）＝
从变式八到变式十，逐渐复杂化，应用公式的可能性愈来愈不易看出。
关于公式的另一种方法，是公式的逆变，这对培养学生的思维也大有益处。
如三角公式sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
变式一：cosαsinβ＋sinαcosβ＝
变式二：sin（α＋β）cosβ±cos（α＋β）sinβ＝
变式三：＝
变式四：cosα＋sinα＝
变式一是为学生掌握公式的本质特征sin（α＋β）＝“正余+余正”而作的；变式二是对培养学生的整体性思维（把α＋β看作是一个字母）而且 作的，角由单角变为复角；变式三、四是比较复杂的两个变式，具体数值代替了公式中的某些项。
进行公式变式时，教师必须准确把握公式的本质特征与非本质因素而对非本质因素施行合理的变化。
三、命题、定理变式
命题、定理变式，最常见的有以下几种：
1、“加强”（或“减弱”）条件
如命题：有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱（假）；
变式一：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱（假）；
变式二：有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱（真）（此时变式的条件比原命题强了）。
2、四种命题的相互转化
如：原命题：对顶角相等；逆命题：相等的角是对顶角；否命题：不对顶的角不相等；逆否命题：不相等的角不是对顶角。
3、推广
如：已知a、b∈R＋，求证：a＋b ≥2（当且仅当a=b时取等号）
推广一：已知a、b、c∈R＋，求证：a＋b＋c≥3
推广二：已知ai∈R＋，i=1，2，3，…，n，求证：≥n
又如命题：三角形面积等于它的内切圆半径与三角形半周长之积，即S⊿＝rp，r为内切圆半径，p＝（a＋b＋c）/2；
推广一：多边形面积等于它的内切圆半径与多边形半周长之积（证法与原命题类似）；
推广二：多面体体积等于其内切球半径（r）与多面体面积（S）之积的三分之一，即V多面体＝Sr/3；
在推广二中，当多面体面数n→，多面体每个面面积S→0，S多面体＝V球。
∴V多面体＝Sr/3 ＝4πr3/3
四、问题变式
问题变式的根本目的在于灵活改变问题的提法，以培养学生灵活应用数学概念、原理、方法解决问题的能力，以提高解题技能和技巧，能从对具体问题的解法迁移到更抽象的同类问题的解决之中。问题变式还具有启发性、强化巩固性等功能。
如：为巩固切线长定理（从圆外一点引圆的两切线长相等），可以设置以下各种变式题目：
问题变式一：如图⑴，求证：AX＋BY＋CZ＝BX＋CY＋AZ；
问题变式二：如图⑵，求证：四边形两组对边之和相等；
问题变式三：如图⑶，试在⊿ABC中，AB、BC、CA上分别找三点X、Y、Z，使BX=BY、CY=CZ、AZ=AX。
在以上三个变式中，问题一的解决将对问题二、三起到模式作用。
变式具有不能穷尽性，教师只须选择合适的、典型的变式，以巩固、深化所学知识；在变式技能的训练中，应遵循由浅入深、由简单到复杂的原则；教师应透彻理解教材，掌握变式规律，力求全面、典型。
培养变式技能，提高学生创新思维能力，关键在于教师要精心组织教学，设计研究课题，启发学生思维，挖掘教材的创新因素，力求做到在看似无疑处生疑、看似平常处见奇，教师要时刻树立创新意识，让课堂教学绽放出创新的火花。
【参考文献】
1、华秀清：加强思维变式训练，提高求异思维能力，中学数学教与学，1994（12）
2、杨麦秀：数学教学中学生创新思维的培养，中学数学教学，2001（4）
（作者单位：665000云南省澜沧县第一中学）