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[摘 要]数学归纳法是一个常用的数学工具，在猜想证明的数学问题上表现出了它的强大作用。在教学中，教师可以将它用于整除问题、证明恒等式问题和不等式问题。
[关键词]归纳法；数学；应用
数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛。在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
〔例1〕 求证：5个连续自然数的积能被120整除。
证明：
1.当n=1时1×2×3×4×5=120，能被120整除，原命题成立。
2.假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数，四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4×2×3=24整除。即当n=k+1时原命题成立。
所以，综合1、2，原命题对任何自然数成立。
二、用数学归纳法证明恒等式问题
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性。
〔例2〕 是否存在常数a，b，c，使得等式
1·22+2·32+n·（n+1）2=■（an2+bn+c）对一切自然数n成立？并证明你的结论。
解：假设存在a，b，c，使得题设的等式成立，则当n=1，2，3时也成立，代入得
4=■（a+b+c）22=■（4a+2b+c）70=9a+3b+c
解得a=3，b=11，c=10，于是对n=1，2，3，下面等式成立：
1·22+2·32+n·（n+1）2=■（3n2+11n+10）
令Sn=1·22+2·32+…+n·（n+1）2
假设n=k时上式成立，即Sk=■（3n2+11k+10）
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2
=■（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
=■（k+2）+（3k+5）+（k+1）（k+2）2
=■（3k2+5k+12k+10）
=■［３（k+1）2＋11（k+1）+10］
这就是说，等式当n=k+1时也成立。
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
三、用数学归纳法证明不等式问题
用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“n=k+1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等。
数学归纳法的运用是非常广泛的，它在猜想证明中的作用是非常明显的。
责任编辑 一 觉
[关键词]归纳法；数学；应用
数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛。在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
〔例1〕 求证：5个连续自然数的积能被120整除。
证明：
1.当n=1时1×2×3×4×5=120，能被120整除，原命题成立。
2.假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数，
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数，四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4×2×3=24整除。即当n=k+1时原命题成立。
所以，综合1、2，原命题对任何自然数成立。
二、用数学归纳法证明恒等式问题
对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性。
〔例2〕 是否存在常数a，b，c，使得等式
1·22+2·32+n·（n+1）2=■（an2+bn+c）对一切自然数n成立？并证明你的结论。
解：假设存在a，b，c，使得题设的等式成立，则当n=1，2，3时也成立，代入得
4=■（a+b+c）22=■（4a+2b+c）70=9a+3b+c
解得a=3，b=11，c=10，于是对n=1，2，3，下面等式成立：
1·22+2·32+n·（n+1）2=■（3n2+11n+10）
令Sn=1·22+2·32+…+n·（n+1）2
假设n=k时上式成立，即Sk=■（3n2+11k+10）
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2
=■（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
=■（k+2）+（3k+5）+（k+1）（k+2）2
=■（3k2+5k+12k+10）
=■［３（k+1）2＋11（k+1）+10］
这就是说，等式当n=k+1时也成立。
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
三、用数学归纳法证明不等式问题
用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“n=k+1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等。
数学归纳法的运用是非常广泛的，它在猜想证明中的作用是非常明显的。
责任编辑 一 觉