论文部分内容阅读
在数学教学中，教师对学生讲授的知识和解题方法必须绝对可靠，而在实际教学过程中的某些环节里，教师巧妙地设计一些“坎坷曲折”，却可以收到意想不到的教育效果。这种现象十分类似于高速公路的修建，连结两地的公路明明可以修筑成直线段，但技术人员却总要有意地设计几处弯道。原来据心理学的研究，司机驾车长时间行驶在平直的道路上时，视觉容易疲劳，心理容易麻痹，注意力容易分散，也就容易发生事故。一定数量的弯道则可以有效地克服这种现象，使司机一直处于警醒戒备状态，以保证行车的安全。数学教学过程中的“弯道”表现于教师的故意出错或设计“陷井”，诱使学生失误出错，再利用这些契机实现多方面的教育目标，这就是被教育心理学所命名的“尝误原理”。
对“尝误原理”的深刻理解和熟练驾驭，是数学教师成熟的标志之一，是数学教育艺术的重要组成部分。问题的关键是在哪里出错，出什么错，怎样出错，然后怎么办。本文将围绕这些问题展开一些初步的讨论。
一、利用尝误巩固基础知识
从正面讲授基础知识或启发学生发现新知识，充分揭示知识的发生过程，这是极重要的求知过程。但仅此还不够，学生在接受或发现新知识时，受理解和认识能力的限制，总有个从片面到全面，从肤浅到深刻的过程，在掌握时总会产生这样或那样的“盲点”。这就需要从反面依靠“出错”来充分暴露。有些知识甚至于“非错而不能树正，非错而难以求真”。
例如：解不等式时，不等式两边同除以一个正数的变形是同解变形。其中的道理虽然浅显明白，但学生在应用时仍会屡屡出错。我索性就利用“陷井型”题目来诱使他们出错。解不等式：
－5(x+2)2＞(x+2)2(x－6)
学生不假思索地得出－5＞x－6，
解得x＜1。
当学生为解题成功而沾沾自喜时，教师却说：“错了！”学生经过仔细检验发现原来x=－2时，(x+2)2是零而不是正数，不符合同解变形的条件。学生经过这一“失误”的教训，同解变形的条件就更准确更牢固地树立起来了。
教师必须洞察学生的心理，善于心理换位，这样才能让学生错在“点子上”，才能让学生在出错之后获得“免疫力”，以今日之错避免明日出错。
例如：学生学习正、反正例函数时，能记住定义和解析形式，似乎不会出问题了。但对下题：
设y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且x=1时y=4；x=2时y=5。求x=4时y的值。
学生会设：
y1=kx，y2k/x，有y=kx+k/x。
把x=1、y=4代入得出k=2之后，才发现还剩一个条件。当学生通过分析进一步明白：y1与x成正比例和y2与x成反比例的比例系数不一定相等时，很好地实现了教育目标。本题应设y=k1x+(k2)/x。
二、利用尝误培养学生思维的批判性
思维的批判性是指不受暗示的影响，能严格而客观地评价、检查思维的结果，冷静地分析一种思想、一种决定的是非、利弊。利用尝误是培养和发展思维批判性的一种极有效地途径。
俗话说：“不吃一堑，不长一智。”从一定意义上说，学生思维的发展是在与失误作斗争取得胜利的过程中实现的，笔者做过这样的试验：
关于x的方程(a+1)x2+4ax+9=0的根有且只有一值，则实数a=_______。
几乎所有的学生都填成了3或-3/4。他们仅考虑△=0的情况而忽略a=－1的情形。这种本不应有却又极难避免的错误会在学生脑中产生极深的印象。
在利用二次函数求最值时必须考虑自变量的取值范围，否则极易犯错误。如下题：
如图1，在矩形ABCD中，AB=16，AD=4，E、F、G、H分别在AB、AD、BC、CD边上，且AE=AF、CG、CH=x，求□EGHF的面积S关于x的函数解析式及其最大值。
不少学生在求出函数S=－2x2+20x=－2(x－5)2+50后，贸然得最大值为50，对应于x=5。殊不知此函数的自变量x应满足0≤x≤4，故应有当x=4时，S最大值=48。
诸如此类的例子不胜枚举。学生的失误好像是坏事，但通过师生的努力完全可以将它变为好事。让学生充分尝到失误的“苦头”，他们的思维就逐步趋于完善，以至成熟。
三、利用尝误激发学生学习探索的兴趣
苏霍姆林斯基说过：“任何一种教育现象，孩子在越少感到教育者的意图时，它的教育效果就越大。我们把这条规律看成是教育技巧的核心。”为了激发学生学习和探索的兴趣，又要很好地隐藏教师的教育意图，选择典型题目，让学生在尝误之后继续进行探索，就可收到极好的效果。
例如：已知半径为9的⊙O有一内接等腰三角形ABC，底边BC上的高AH与一腰的和为20。求高AH的长。
教师郑重其事地画出了图2，然后按学生提供的思路得如下解法：
延长AH交⊙O于D，连BD。由题设知A、O、H三点共线，∠ABD=90°。
设OH=x，则AH=9+x，AB=20－(9+x)=11－x，
∵AD⊥BC，∴AB2=AH·AD，
即(11－x)2=(9+x)·18。
解得x=41，
故AH=9+41=50。
AH竟大于直径1学生忍俊不禁，教师却一本正经地说：“怎么搞的？计算错了吗？再检查一遍。”学生怀着浓厚的兴趣积极进行探索，很快发现诱使他们上当的是图2，当重新画出图3时，很快解得AH=8。
对这道题目的处理，师生犹如合演一个数学小品，既妙趣横生，又发人深省，于不知不觉中收到了多方面的教育效果。
四、利用尝误培养和提高学生承受挫折的能力
学生解题遇到挫折，主观愿望一时得不到实现是常有的事。如果承受挫折的能力不强，就会产生焦躁颓丧的情绪，致使一事无成。这种现象若在重大考试或重大决策中出现，则具有更大的危害性。所以在平时的教学中对学生进行尝误的训练以培养和提高他们承受挫折的能力是教育教学的重要内容之一。
G·波利亚说：“教学生解题是意志的教育。”受挫和尝误就是意志教育的好方法。当然受挫和尝误并不是目的，目的是教育学生在受挫之后，不要一蹶不振，而是要冷静分析受挫的原因，在困境中奋起，调整解题策略，努力将“山重水覆”转化为“柳暗花明”。
例如：关于x的二次方程ax2+bx+c=0本没有实数解。甲由于看错了二次项系数，而误求得两根为2和4；乙由于看错了某一系数的符号，而误求得两根为－1和4，试计算(2b+3c)÷a之值。
学生往往习惯于从正确条件中寻找对解题有用的信息，而本题正相反，是要从错误的做法中寻找有用的因素，这就需要坚定的信心和冷静的分析。事实上，由条件可设甲设原方程看成了ax2+bx+c=0，则2、4是此方程的根，有
解题的成功会使学生以更高昂的斗志和巨大的勇气向新的目标迈进。
五、在学生的失误中挖掘智慧的闪光点
当代科学哲学权威普尔认为：“发现的方法就是尝试错误的方法。”世界科学史上许多的成功的范例往往始于失败。一方面，错误可以为人们提供宝贵的经验教训；另一方面，“错”有时孕育着比“正确”更丰富的发现和创造的因素。在数学教学中，我们必须以十分敏锐的头脑去捕捉发现学生“错误”中的成功因素，以使我们的学生既具有孜孜不倦追求真理的顽强意志，又具有勇于尝试错误的开拓精神，下面数学片断是颇具启迪意义的。
因为x可能取的值是1或2。分别代入验证知x=2是原方程根。
如果教师简单地否定学生不完善的想法，那么一个机智的念头——用不等式解方程，就被扼杀了。
实践证明，只要我们巧妙地运用尝误原理，就可以在数学教学中取得多方面的“效果”，大大地有利于学生素质的提高，为学生美好的“未来”做好充分的准备。
对“尝误原理”的深刻理解和熟练驾驭，是数学教师成熟的标志之一，是数学教育艺术的重要组成部分。问题的关键是在哪里出错，出什么错，怎样出错，然后怎么办。本文将围绕这些问题展开一些初步的讨论。
一、利用尝误巩固基础知识
从正面讲授基础知识或启发学生发现新知识，充分揭示知识的发生过程，这是极重要的求知过程。但仅此还不够，学生在接受或发现新知识时，受理解和认识能力的限制，总有个从片面到全面，从肤浅到深刻的过程，在掌握时总会产生这样或那样的“盲点”。这就需要从反面依靠“出错”来充分暴露。有些知识甚至于“非错而不能树正，非错而难以求真”。
例如：解不等式时，不等式两边同除以一个正数的变形是同解变形。其中的道理虽然浅显明白，但学生在应用时仍会屡屡出错。我索性就利用“陷井型”题目来诱使他们出错。解不等式：
－5(x+2)2＞(x+2)2(x－6)
学生不假思索地得出－5＞x－6，
解得x＜1。
当学生为解题成功而沾沾自喜时，教师却说：“错了！”学生经过仔细检验发现原来x=－2时，(x+2)2是零而不是正数，不符合同解变形的条件。学生经过这一“失误”的教训，同解变形的条件就更准确更牢固地树立起来了。
教师必须洞察学生的心理，善于心理换位，这样才能让学生错在“点子上”，才能让学生在出错之后获得“免疫力”，以今日之错避免明日出错。
例如：学生学习正、反正例函数时，能记住定义和解析形式，似乎不会出问题了。但对下题：
设y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且x=1时y=4；x=2时y=5。求x=4时y的值。
学生会设：
y1=kx，y2k/x，有y=kx+k/x。
把x=1、y=4代入得出k=2之后，才发现还剩一个条件。当学生通过分析进一步明白：y1与x成正比例和y2与x成反比例的比例系数不一定相等时，很好地实现了教育目标。本题应设y=k1x+(k2)/x。
二、利用尝误培养学生思维的批判性
思维的批判性是指不受暗示的影响，能严格而客观地评价、检查思维的结果，冷静地分析一种思想、一种决定的是非、利弊。利用尝误是培养和发展思维批判性的一种极有效地途径。
俗话说：“不吃一堑，不长一智。”从一定意义上说，学生思维的发展是在与失误作斗争取得胜利的过程中实现的，笔者做过这样的试验：
关于x的方程(a+1)x2+4ax+9=0的根有且只有一值，则实数a=_______。
几乎所有的学生都填成了3或-3/4。他们仅考虑△=0的情况而忽略a=－1的情形。这种本不应有却又极难避免的错误会在学生脑中产生极深的印象。
在利用二次函数求最值时必须考虑自变量的取值范围，否则极易犯错误。如下题：
如图1，在矩形ABCD中，AB=16，AD=4，E、F、G、H分别在AB、AD、BC、CD边上，且AE=AF、CG、CH=x，求□EGHF的面积S关于x的函数解析式及其最大值。
不少学生在求出函数S=－2x2+20x=－2(x－5)2+50后，贸然得最大值为50，对应于x=5。殊不知此函数的自变量x应满足0≤x≤4，故应有当x=4时，S最大值=48。
诸如此类的例子不胜枚举。学生的失误好像是坏事，但通过师生的努力完全可以将它变为好事。让学生充分尝到失误的“苦头”，他们的思维就逐步趋于完善，以至成熟。
三、利用尝误激发学生学习探索的兴趣
苏霍姆林斯基说过：“任何一种教育现象，孩子在越少感到教育者的意图时，它的教育效果就越大。我们把这条规律看成是教育技巧的核心。”为了激发学生学习和探索的兴趣，又要很好地隐藏教师的教育意图，选择典型题目，让学生在尝误之后继续进行探索，就可收到极好的效果。
例如：已知半径为9的⊙O有一内接等腰三角形ABC，底边BC上的高AH与一腰的和为20。求高AH的长。
教师郑重其事地画出了图2，然后按学生提供的思路得如下解法：
延长AH交⊙O于D，连BD。由题设知A、O、H三点共线，∠ABD=90°。
设OH=x，则AH=9+x，AB=20－(9+x)=11－x，
∵AD⊥BC，∴AB2=AH·AD，
即(11－x)2=(9+x)·18。
解得x=41，
故AH=9+41=50。
AH竟大于直径1学生忍俊不禁，教师却一本正经地说：“怎么搞的？计算错了吗？再检查一遍。”学生怀着浓厚的兴趣积极进行探索，很快发现诱使他们上当的是图2，当重新画出图3时，很快解得AH=8。
对这道题目的处理，师生犹如合演一个数学小品，既妙趣横生，又发人深省，于不知不觉中收到了多方面的教育效果。
四、利用尝误培养和提高学生承受挫折的能力
学生解题遇到挫折，主观愿望一时得不到实现是常有的事。如果承受挫折的能力不强，就会产生焦躁颓丧的情绪，致使一事无成。这种现象若在重大考试或重大决策中出现，则具有更大的危害性。所以在平时的教学中对学生进行尝误的训练以培养和提高他们承受挫折的能力是教育教学的重要内容之一。
G·波利亚说：“教学生解题是意志的教育。”受挫和尝误就是意志教育的好方法。当然受挫和尝误并不是目的，目的是教育学生在受挫之后，不要一蹶不振，而是要冷静分析受挫的原因，在困境中奋起，调整解题策略，努力将“山重水覆”转化为“柳暗花明”。
例如：关于x的二次方程ax2+bx+c=0本没有实数解。甲由于看错了二次项系数，而误求得两根为2和4；乙由于看错了某一系数的符号，而误求得两根为－1和4，试计算(2b+3c)÷a之值。
学生往往习惯于从正确条件中寻找对解题有用的信息，而本题正相反，是要从错误的做法中寻找有用的因素，这就需要坚定的信心和冷静的分析。事实上，由条件可设甲设原方程看成了ax2+bx+c=0，则2、4是此方程的根，有
解题的成功会使学生以更高昂的斗志和巨大的勇气向新的目标迈进。
五、在学生的失误中挖掘智慧的闪光点
当代科学哲学权威普尔认为：“发现的方法就是尝试错误的方法。”世界科学史上许多的成功的范例往往始于失败。一方面，错误可以为人们提供宝贵的经验教训；另一方面，“错”有时孕育着比“正确”更丰富的发现和创造的因素。在数学教学中，我们必须以十分敏锐的头脑去捕捉发现学生“错误”中的成功因素，以使我们的学生既具有孜孜不倦追求真理的顽强意志，又具有勇于尝试错误的开拓精神，下面数学片断是颇具启迪意义的。
因为x可能取的值是1或2。分别代入验证知x=2是原方程根。
如果教师简单地否定学生不完善的想法，那么一个机智的念头——用不等式解方程，就被扼杀了。
实践证明，只要我们巧妙地运用尝误原理，就可以在数学教学中取得多方面的“效果”，大大地有利于学生素质的提高，为学生美好的“未来”做好充分的准备。