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众所周知，有些数学知识是约定俗成的，苏教版课标教材五年级下册《用“数对”确定位置》的教学内容即如此。这一课，主要是将学生已有的用类似“第几排第几个”的方式描述位置的经验加以提升，用抽象的“数对”来表示位置。很多教师在教这样的内容时，只是简单地告诉学生，确定位置就要遵守“第几列第几行”这一规定，教学也能顺利进行。
可是笔者在六年级毕业班上对学生进行的口头调查中，发现了问题。
问1：你还记得五年级学习用“数对”确定位置时，第一个数表示“列”还是“行”？
许多学生抓耳挠腮，模棱两可。
问2：为什么第一个数表示“列”，第二个数表示“行”？
生：因为第一个数表示第几列，所以第二个数表示第几行……
生：因为数学家就是这样规定的。
表面上看，学生也能接受“数学规定”。但时间长了，学生便会习惯了接受，容易产生这样的想法：老师告诉我们这样，我们就这样去记。显然，从调动学生思维及促进学生可持续发展的角度来看，这样的教学是远远不够的。
那么，有更好的教学策略吗？我在实践中进行了尝试。
【教例】
一、新授环节：学习“数对”确定位置
教师出示本班级学生座位表（如下图）
生3：李雨秋（第3列 第4行）
虞 悦（第5列 第4行）
刘 健（3列 4行）
……
师：为什么这位同学都把“第”字给去掉了？
生：这样记录更快！
生4： 李雨秋（第3列 第4行）
虞 悦（5 4）
刘 健（6 3）
……
生5： 李雨秋（第4行第3列）
虞 悦（45）
刘 健（36）
……
师：这两位同学的记录就更简单了，把“行”与“列”也去掉了。大家觉得这样好不好？
学生意见不统一。
师追问：好，好在哪？不好，又不好在哪？
生6：我认为好，这样记录速度快。
生7：不好，因为不容易分清。比如刘健一会是（63），一会是（36），别人就搞不清了。
（学生形成了一个认知冲突，统一的“数学规定”呼之欲出，教师及时引导。）
师反问：是呀，光看（63）你能一下子明白吗？还需要改进。怎么改进？
生：先写‘列’，再写‘行’。
揭示：（指图中刘健的位置）刘健坐在第6列第3行，在数学上可以用“数对”表示为（6，3）。
明确：“数对”中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，两个数的外面要用小括号括起来。
追问：现在会不会混淆了？
生：不会！
……
二、练习环节：应用“数对”确定位置
师：同学们的表现都非常出色，我要重点表扬一位同学，他一直积极思考，大胆表达自己的观点，他所在的位置用“数对”表示是（3，2），你知道他是谁？
生1：他是××。
师：判断正确吗？（生齐答：正确）
师：接下来，请大家来夸夸自己的同学。
出示：我要夸的同学在第（）列第（）行，用“数对”表示为（），因为他（她） ……
生2：我要夸的同学在第8列第2行，用“数对”表示为（8，2），因为她学习很棒。
……
（真诚的表扬和欣赏让课堂温馨浪漫。）
师：我还要夸一夸听课最认真的同学，他的位置用“数对”表示为（4，Y），他是谁？
（课堂上鸦雀无声，学生没反应）
师：他可能是谁？请这位同学站起来让大家向你学习。
（第4列的同学陆陆续续全站起来了）
生3：第4列的同学都有可能在老师的夸奖之内。
（教师留给学生知识、心理上的暂时性“空白”，不断增大问题的不确定性，给了学生好奇心的刺激和智慧的挑战。）
师：我很想夸夸坐得最端正的同学，他的位置用“数对”表示为（x，1）。他可能是谁呢？
（第1行的同学自豪地站起来）
师：大家同意吗？为什么？
生4：因为第1行的同学都有可能被夸到。
师：我最喜欢的同学，用“数对”表示是（x，Y），请起立！
（全班同学都兴奋地站起来）
师：是呀，对每个同学，老师都一样喜欢，一样欣赏。
【反思】
数学教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的“再创造”的过程。数学学习本身是学生的“再创造”。虽然，学生要学的数学知识都是前人已经发现或发明而规定的，但对学生来说，仍是全新的、未知的、模糊的知识，需要再现类似的创造过程来形成。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以“再创造”的方式进行。从这个角度去想，很多数学规定从产生到被普遍认可都有一个曲折而漫长的过程，怎样规定更合理都有其内在的原因，并不是轻描淡写的一句“数学家们这么规定”就能解释的。因此，在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分“再创造”的通道。反思上述案例，为什么能取得较好的效果呢？
1.自觉优化，让学生体会规定的必然性
小学数学规定的教学一般要经过规定的引入、规定的建立、规定的巩固与运用三个阶段。规定的引入与数学概念的教学一样，也可以创设情境，让学生在有利于学习的课堂氛围中主动参与数学规则的建构过程。当学生有可能理解某一规定产生的背后原因时，不妨给学生创造条件，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。上面案例的教学创设了一个让学生尝试记录班级同学的座位的情境，通过对不同记录方法的比较，产生认知冲突，诱发学生对确定位置这一问题的深入思考，进而理解遵守“第几列第几行”这一规定的合理性。学生不仅知其然，更知其所以然。
2. 比较反思，让学生经历规定的再创造
用“数对”确定位置其实就是以直角坐标系的思想对平面内一点位置的描述，而笛卡尔直角坐标系的创建，是数学史的一次飞跃，它在代数和几何上架起了一座桥梁。同时，不同方式描述平面内一点的位置，直至用数对来描述的过程，其实也是一个符号化的过程。数学史中，符号化的过程大致经历了“文辞阶段、缩写阶段、符号阶段”三个时期，每个阶段相对前一阶段都是一次飞跃，在数学史上有着重大意义。这些，我想引领着学生在这节课中去经历，去感悟。通过教师两次叙述的对比，不断追问“为什么你们后面都把‘第’字给去掉了？”“好，好在哪？不好，又不好在哪？”“用‘数对’（6，3）这样表示会不会混淆了？”学生充分地感受到符号化的价值，统一的数学规定呼之欲出、自然有效。
3. 逐步抽象，让学生提升对规定的理解
“数对”作为一种符号刻画了物体和所在位置的对应关系，学生在学习新知时已有所领悟，在练习中，教师继续深化，拓展学生的认识。从具体“数对”（3，2）、（8，2）等到半抽象“数对”（4，Y）、（X，1），再到抽象“数对”（X，Y），让学生根据数对确定同学的位置，数学思维含量逐渐加大，水到渠成地建构了数学模型——有序“数对”（X，Y），让学生在更高的层面上把握数对的本质。
（作者单位：南京市溧水县实验小学）
责任编辑 李 淳
可是笔者在六年级毕业班上对学生进行的口头调查中，发现了问题。
问1：你还记得五年级学习用“数对”确定位置时，第一个数表示“列”还是“行”？
许多学生抓耳挠腮，模棱两可。
问2：为什么第一个数表示“列”，第二个数表示“行”？
生：因为第一个数表示第几列，所以第二个数表示第几行……
生：因为数学家就是这样规定的。
表面上看，学生也能接受“数学规定”。但时间长了，学生便会习惯了接受，容易产生这样的想法：老师告诉我们这样，我们就这样去记。显然，从调动学生思维及促进学生可持续发展的角度来看，这样的教学是远远不够的。
那么，有更好的教学策略吗？我在实践中进行了尝试。
【教例】
一、新授环节：学习“数对”确定位置
教师出示本班级学生座位表（如下图）
生3：李雨秋（第3列 第4行）
虞 悦（第5列 第4行）
刘 健（3列 4行）
……
师：为什么这位同学都把“第”字给去掉了？
生：这样记录更快！
生4： 李雨秋（第3列 第4行）
虞 悦（5 4）
刘 健（6 3）
……
生5： 李雨秋（第4行第3列）
虞 悦（45）
刘 健（36）
……
师：这两位同学的记录就更简单了，把“行”与“列”也去掉了。大家觉得这样好不好？
学生意见不统一。
师追问：好，好在哪？不好，又不好在哪？
生6：我认为好，这样记录速度快。
生7：不好，因为不容易分清。比如刘健一会是（63），一会是（36），别人就搞不清了。
（学生形成了一个认知冲突，统一的“数学规定”呼之欲出，教师及时引导。）
师反问：是呀，光看（63）你能一下子明白吗？还需要改进。怎么改进？
生：先写‘列’，再写‘行’。
揭示：（指图中刘健的位置）刘健坐在第6列第3行，在数学上可以用“数对”表示为（6，3）。
明确：“数对”中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，两个数的外面要用小括号括起来。
追问：现在会不会混淆了？
生：不会！
……
二、练习环节：应用“数对”确定位置
师：同学们的表现都非常出色，我要重点表扬一位同学，他一直积极思考，大胆表达自己的观点，他所在的位置用“数对”表示是（3，2），你知道他是谁？
生1：他是××。
师：判断正确吗？（生齐答：正确）
师：接下来，请大家来夸夸自己的同学。
出示：我要夸的同学在第（）列第（）行，用“数对”表示为（），因为他（她） ……
生2：我要夸的同学在第8列第2行，用“数对”表示为（8，2），因为她学习很棒。
……
（真诚的表扬和欣赏让课堂温馨浪漫。）
师：我还要夸一夸听课最认真的同学，他的位置用“数对”表示为（4，Y），他是谁？
（课堂上鸦雀无声，学生没反应）
师：他可能是谁？请这位同学站起来让大家向你学习。
（第4列的同学陆陆续续全站起来了）
生3：第4列的同学都有可能在老师的夸奖之内。
（教师留给学生知识、心理上的暂时性“空白”，不断增大问题的不确定性，给了学生好奇心的刺激和智慧的挑战。）
师：我很想夸夸坐得最端正的同学，他的位置用“数对”表示为（x，1）。他可能是谁呢？
（第1行的同学自豪地站起来）
师：大家同意吗？为什么？
生4：因为第1行的同学都有可能被夸到。
师：我最喜欢的同学，用“数对”表示是（x，Y），请起立！
（全班同学都兴奋地站起来）
师：是呀，对每个同学，老师都一样喜欢，一样欣赏。
【反思】
数学教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的“再创造”的过程。数学学习本身是学生的“再创造”。虽然，学生要学的数学知识都是前人已经发现或发明而规定的，但对学生来说，仍是全新的、未知的、模糊的知识，需要再现类似的创造过程来形成。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以“再创造”的方式进行。从这个角度去想，很多数学规定从产生到被普遍认可都有一个曲折而漫长的过程，怎样规定更合理都有其内在的原因，并不是轻描淡写的一句“数学家们这么规定”就能解释的。因此，在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分“再创造”的通道。反思上述案例，为什么能取得较好的效果呢？
1.自觉优化，让学生体会规定的必然性
小学数学规定的教学一般要经过规定的引入、规定的建立、规定的巩固与运用三个阶段。规定的引入与数学概念的教学一样，也可以创设情境，让学生在有利于学习的课堂氛围中主动参与数学规则的建构过程。当学生有可能理解某一规定产生的背后原因时，不妨给学生创造条件，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。上面案例的教学创设了一个让学生尝试记录班级同学的座位的情境，通过对不同记录方法的比较，产生认知冲突，诱发学生对确定位置这一问题的深入思考，进而理解遵守“第几列第几行”这一规定的合理性。学生不仅知其然，更知其所以然。
2. 比较反思，让学生经历规定的再创造
用“数对”确定位置其实就是以直角坐标系的思想对平面内一点位置的描述，而笛卡尔直角坐标系的创建，是数学史的一次飞跃，它在代数和几何上架起了一座桥梁。同时，不同方式描述平面内一点的位置，直至用数对来描述的过程，其实也是一个符号化的过程。数学史中，符号化的过程大致经历了“文辞阶段、缩写阶段、符号阶段”三个时期，每个阶段相对前一阶段都是一次飞跃，在数学史上有着重大意义。这些，我想引领着学生在这节课中去经历，去感悟。通过教师两次叙述的对比，不断追问“为什么你们后面都把‘第’字给去掉了？”“好，好在哪？不好，又不好在哪？”“用‘数对’（6，3）这样表示会不会混淆了？”学生充分地感受到符号化的价值，统一的数学规定呼之欲出、自然有效。
3. 逐步抽象，让学生提升对规定的理解
“数对”作为一种符号刻画了物体和所在位置的对应关系，学生在学习新知时已有所领悟，在练习中，教师继续深化，拓展学生的认识。从具体“数对”（3，2）、（8，2）等到半抽象“数对”（4，Y）、（X，1），再到抽象“数对”（X，Y），让学生根据数对确定同学的位置，数学思维含量逐渐加大，水到渠成地建构了数学模型——有序“数对”（X，Y），让学生在更高的层面上把握数对的本质。
（作者单位：南京市溧水县实验小学）
责任编辑 李 淳