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摘要:例习题的教学是整个教学活动的重要部分,在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此,要搞好课本例题、习题的剖析教学,对典型的例题、习题还要从多角度挖掘其典型的教学价值,对解题方法进行深入挖掘和研究.
关键词:回归课本;依“纲”固“本”;剖析教材;多角度挖掘;一题多变;丰富解题策略;扩展思维空间
例题会有最规范的解答过程,它和习题一起控制了教材的深度和知识辐射范围. 课本例习题既是如何运用知识解题的经典,也是思维训练的典范. 正是这些典范的作用,学生才学会了怎样进行数学思维,怎样运用数学知识进行思考、解题,如何表述自己的解题过程. 例习题的教学是整个教学活动的重要部分,在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此,要认真搞好课本例习题的剖析教学,对典型的例题还要从多角度挖掘其典型的教学价值,这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握,让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平. 此外,对开发学生智力,培养学生品质亦有好处.
我们应如何设计例习题的教学,真正发挥例习题的教学价值呢?我认为首先应理解其深刻的用意,即在例习题所要求的数学知识或方法基础上,充分挖掘它的内涵和外延,并结合学生的实际情况进行适当的改造或拓展,以满足高层次教学要求,同时也表明数学教学应以课本为主.
对解题方法进行深入挖掘和研究,做到一题多解,培养学生思维的开阔性与灵活性
同一个题目从不同的角度去分析研究,可以得到不同的启迪,因而可用不同的解法,进而延伸解题的思维触角,也激发了学生的学习兴趣,培养学生的创新意识和创新思维能力.
例1 (高中数学第二册上必修P27例3)已知a<1,b<1,求证:<1.
证法1 (分析法)
<1?圳<1?圳a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2
?圳1-a2-b2+a2b2>0?圳(1-a2)(1-b2)>0
因为a<1,b<1,所以(1-a2)(1-b2)>0,所以<1.
证法2 (转化作差法)
由已知1+ab>0,所以<1?圳-1-ab 1+ab±(a+b)=(1±a)(1±b)>0,所以①成立. 即<1成立.
证法3 (反证法)
假设≥1,所以≥1或≤-1.
移项通分,可得≥0或≤0.②
因为a<1,b<1,所以a-1<0,1-b>0,1+ab>0,
所以<0或>0.
这与②式相矛盾. 所以,假设错误,原结论成立.
证法4 (一次函数法)
设x=,则(1+ab)x-(a+b)=0.
因为f(x)=(1+ab)x-(a+b)中1+ab>0,所以f(x)在R上递增.
而f(-1)=-(1+a)(1+b)<0,f(1)=(1-a)(1-b)>0,
所以f(x)=0的根在区间(-1,1)内.
所以-1<<1,即原式成立.
证法5 (构造方程法)
因为以a,b为根的一元二次方程是x2-(a+b)x+ab=0,
所以由-1 所以f(-1)>0且f(1)>0,即a+b<1+ab,所以原式成立.
证法6 (三角换元法)
由已知,设a=sinα,b=cosβ,且α,β∈(-90°,90°),则
=(sinα+cosβ)÷(1+sinαcosβ)
=2sincos÷sin2+cos2
我们通过课本的一个典型例题多角度的分析来解决问题,不仅扩展思维空间,还丰富解题策略,真正做到游刃有余.
学以致用,挖掘例习题结论的利用价值
像教材上的例7的结论>(a,b,m>0,a 例2 (高中数学第二册上必修P27例4)设b克糖水溶液中含a克糖(未饱和),如果再增加m克糖,则糖水变得更甜了,你能用数学方法证明吗?
解析 b克糖水溶液中含a克糖(未饱和),其浓度为,如果再增加m克糖,则浓度为,易知>. 这也是用化学意义来证明或记忆不等式的又一妙法.
该例说明了>(a,b,m>0,a 编者出此题的用意不仅仅是证明这个简单的结论,更重要的是要挖掘出其结论的利用价值.
应用练习题建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好. 问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了还是变坏了?请说明理由.
解析 设原住宅窗户面积和地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m. 根据问题的要求,a 由于-=>0,于是>. 又≥10%,因此>≥10%.
所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.
通过对本例的研究可以让学生理解课本例习题结论的重要应用价值,让学生做题时善于思考,而不是就题论题.
变换例题、习题的条件或结论,做一题多变,多题归一,培养学生思维的严密性
有些例题的问题背景、解决方法有类似之处,甚至有些题目就是同一题设条件,求证的结论的表现形式不同而已,因此进行多题一讲是很必要的. 它可以使学生感觉到某些知识点的核心之处就是那几个小结论,只要将它的内涵与外延挖掘彻底,就可以灵活运用了,从而使学生学习数学更有信心,不至于被大量的习题弄得无所适从.
平时在我们的课堂教学过程中,无论是在授新课还是复习课,经常要用到变式训练,变式训练在学习新知识、巩固旧知识上发挥着重要作用.
(1)利用变式训练可以节省时间. 对一个问题不断地变化,由于问题的大的背景并没有变,学生很容易进入问题情境,这样大大节约了读题、解题的时间.
(2)利用变式训练可以帮助学生对问题理解得更加深刻. 通过对问题的不断变化、引申、层层深入,使学生对容易混淆的问题辨别得更加清楚. 训练学生如果将题目条件改变,结论会发生怎样的改变?反之,将题目的结论改变,条件会怎样呢?可以由这个问题引出一个一般性的结论吗?解决这个问题的方法是否具有一般性呢?……如果对一个问题带领学生做如此剖析,相信学生对问题有非常深刻的认识并且大大提高解题效率.
(3)利用变式训练可以提高学生的学习能力. 利用变式训练不仅仅有前面两个方面的收获,更重要的是通过这种模式训练,学生在以后的学习过程中不断地模仿,最终内化为一种自觉的学习方式. 当学习独立研究问题时,也不断地将问题进行变式达到深刻理解的目的.教师在教学中总强调一种理念:授之以鱼,不如授之以渔.变式训练其实就是一种很好的授之以渔的训练模式,给学生一对飞翔的翅膀,他们会越飞越高,这才是我们教育目的之所在.
那怎样进行变式训练呢?下面举例加以说明:
例3 在椭圆+=1上求一点P,使它与两个焦点的连线互相垂直(人教版课本复习参考题八A组第6题).
解 由题设知a2=45,b2=20,c2=a2-b2=25,焦点F1(-5,0),F2(5,0),设P(x,y).
方法1 PF1⊥PF2,所以•=0,即(x+5,y)•(x-5,y)=0,
所以x2+y2=25.①
又点P在椭圆上,所以+=1.②
联立①②,解得P的坐标为(3,±4),(-3,±4).
方法2 PF1⊥PF2,所以P点在以F1F2为直径的圆上,满足OP=c2,即x2+y2=25,剩下步骤同方法1.
1. 求焦点三角形面积
引申1:P是椭圆上的一点,满足•=0,求△F1PF2的面积.
解因为PF1⊥PF2,所以PF1+PF2=F1F2,
即(PF1+PF2)2-2PF1PF=4c2.
又PF1+PF2=2a,所以PF1PF2=2b2=40.
所以?摇S=PF1PF2=20.
点评一般地,与的夹角为θ,则S=PF1PF2sinθ.
2. 求直角顶点的个数
引申2:椭圆+=1上满足∠F1PF2=90°的点P个数为几个?
解满足条件的点P的个数是以F1F2为直径的圆与椭圆的交点个数,由半焦距c与半短轴b的大小关系确定. 由于c2=a2-b2=25,c=b,所以满足条件的点P有2个.
点评椭圆+=1(a>b>0)上满足∠F1PF2=90°的点P个数由半焦距c与半短轴b的大小关系确定. 当cb时,有4个.
3. 求坐标取值范围
引申3:已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的动点,若∠F1PF2为钝角,求点P的横坐标的取值范围.
解若•=0,则x2+y2=25. 又+=1,得x2=15,x=±. 所以点P的横坐标的取值范围是(-,).
点评由图易知当P点为短轴端点时,∠F1PF2最大,本题只需求出∠F1PF2=90°时点P的横坐标,就可求出取值范围.
通过变式训练,提高了学生的思维层次,培养了学生探究问题的能力和综合运用方法的能力.
对一个问题作如此深刻的引申,花了比较多的时间,甚至不能按计划完成教学进度,却是非常值得的,因为我们多花了一些时间,但做的不是一个题,也不是几个题,而是一类题,甚至是几类题,并且学生对这类问题印象深刻.
如果我们在每天的教学中,有意识地带领学生进行变式训练,不仅能培养学生思维的严谨性、深刻性,更重要的是学生在这个过程中学会了该怎样学习,因为发现问题与解决问题相比是一件更困难、更了不起、也更有意义的事. 只有发现了问题,才可能去解决问题,这才是学习的真正含义!
一题多问,挖掘例习题的广度和深度,培养学生思维的深刻性
例4已知点B是椭圆+=1上的一动点,F是椭圆的左焦点,A(-2,2)为一定点,当AB+BF取最小值时,求点B的坐标.
分析由椭圆方程可知离心率e=,所以根据第二定义BF=BB′,其中BB′是指点B到左准线的距离,所以AB+BF=AB+BB′,则AB+BB′的最小值就是点A(-2,2)到左准线的距离,则问题得以解决,此时点B的坐标为(-6,2).
引申1:如果将椭圆方程一般化为+=1(a>b>0),则问题可一般化为当AB+BF取最小值时,求点B的坐标.
引申2:将例题4中的“当AB+•BF取最小值”改为“当AB+BF取最小值”时,求点B的坐标.
分析AB+BF=AB+2a-BF′=AB-BF′+2a,其中F′是指椭圆的左焦点. 欲求AB+BF的最小值,只需求AB-BF′+2a的最小值,只需求AB-BF′的最小值. 经分析可知:当点B,A,F′三点共线时,且B在A左侧时AB-BF′取最小值.
引申3:将例题2中的当“AB+•BF取最小值”改为“当AB+BF取最大值”时,求点B的坐标.
分析由引申2的分析可知,当点B,A,F′三点共线时,且B在A右侧时AB-BF′取最大值.
注意在例4及其引申中,考虑一下是否都可以求出对应的最值?求法是否和求点的坐标的方法一致呢?
认真挖掘教材例习题中蕴含的德育素材,充分发挥其德育功能
现行数学教材中有许多关于古代文明、现代环保、民生改善等蕴涵丰富德育素材的例习题,我们应深入挖掘其中的精神品质素养教育的因素,促进学生的全面发展. 如:函数中有这样一个例子,我国的道路交通网,近十几年的发展非常迅速. 自1988年开始建设高速公路,全国高速公路通车总里程,自1998年位居世界第八;1999年底,位居世界第四;2000年底,位居世界第三;2001年底,超过加拿大,位居世界第二. 通过这些例子不仅使学生了解两个变量之间的函数关系,更重要的是让学生感受到改革开放以来,中国的基础建设、科学技术的飞速发展,人民生活水平日益提高,使他们对党和“全面建设小康社会”的实现充满信心,同时,又使学生感到我国工农业、国防和科研部门对数学的迫切需要,从而激发他们学好数学、成才后要为祖国的社会主义建设事业多作贡献的愿望.
再如:我国古代就对数学很有研究,韩信点兵问题,《孙子算经》中“物不知其数”问题,程大位在《算法统宗》中用一首诗给出的绝妙算法:“三人同行古来稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.”通过对本例的挖掘使学生了解我国在数学领域对世界科学发展作出的巨大贡献,来展示我国数学的伟大成就,激发学生的民族自信心和自豪感.
课本中每一个例习题的设置都有目的和作用,体现着本节知识应达到的能力要求. 我们不仅要尽扣课本,认识到认真钻研课本的重要性,突出课本基础知识的作用,突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用,也要重视课本习题潜在功能的挖掘与利用. 指导学生回归课本,依“纲”固“本”,挖掘课本潜在功能,对课本典型问题进行引申、推广,发挥其应有作用,这与高考命题的“源于课本,高于课本”的理念是相吻合的.
如果把整个教学过程比作一个完美的圆,我们应当将圆上的每一个点都作为放飞学生思维的切点.
关键词:回归课本;依“纲”固“本”;剖析教材;多角度挖掘;一题多变;丰富解题策略;扩展思维空间
例题会有最规范的解答过程,它和习题一起控制了教材的深度和知识辐射范围. 课本例习题既是如何运用知识解题的经典,也是思维训练的典范. 正是这些典范的作用,学生才学会了怎样进行数学思维,怎样运用数学知识进行思考、解题,如何表述自己的解题过程. 例习题的教学是整个教学活动的重要部分,在教学过程中有画龙点睛的作用. 因此,要认真搞好课本例习题的剖析教学,对典型的例题还要从多角度挖掘其典型的教学价值,这样做不仅能加深学生对数学概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握,让学生在解题的准确性、灵活性和敏捷性上达到新的水平. 此外,对开发学生智力,培养学生品质亦有好处.
我们应如何设计例习题的教学,真正发挥例习题的教学价值呢?我认为首先应理解其深刻的用意,即在例习题所要求的数学知识或方法基础上,充分挖掘它的内涵和外延,并结合学生的实际情况进行适当的改造或拓展,以满足高层次教学要求,同时也表明数学教学应以课本为主.
对解题方法进行深入挖掘和研究,做到一题多解,培养学生思维的开阔性与灵活性
同一个题目从不同的角度去分析研究,可以得到不同的启迪,因而可用不同的解法,进而延伸解题的思维触角,也激发了学生的学习兴趣,培养学生的创新意识和创新思维能力.
例1 (高中数学第二册上必修P27例3)已知a<1,b<1,求证:<1.
证法1 (分析法)
<1?圳<1?圳a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2
?圳1-a2-b2+a2b2>0?圳(1-a2)(1-b2)>0
因为a<1,b<1,所以(1-a2)(1-b2)>0,所以<1.
证法2 (转化作差法)
由已知1+ab>0,所以<1?圳-1-ab
证法3 (反证法)
假设≥1,所以≥1或≤-1.
移项通分,可得≥0或≤0.②
因为a<1,b<1,所以a-1<0,1-b>0,1+ab>0,
所以<0或>0.
这与②式相矛盾. 所以,假设错误,原结论成立.
证法4 (一次函数法)
设x=,则(1+ab)x-(a+b)=0.
因为f(x)=(1+ab)x-(a+b)中1+ab>0,所以f(x)在R上递增.
而f(-1)=-(1+a)(1+b)<0,f(1)=(1-a)(1-b)>0,
所以f(x)=0的根在区间(-1,1)内.
所以-1<<1,即原式成立.
证法5 (构造方程法)
因为以a,b为根的一元二次方程是x2-(a+b)x+ab=0,
所以由-1
证法6 (三角换元法)
由已知,设a=sinα,b=cosβ,且α,β∈(-90°,90°),则
=(sinα+cosβ)÷(1+sinαcosβ)
=2sincos÷sin2+cos2
学以致用,挖掘例习题结论的利用价值
像教材上的例7的结论>(a,b,m>0,a
解析 b克糖水溶液中含a克糖(未饱和),其浓度为,如果再增加m克糖,则浓度为,易知>. 这也是用化学意义来证明或记忆不等式的又一妙法.
该例说明了>(a,b,m>0,a
应用练习题建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好. 问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了还是变坏了?请说明理由.
解析 设原住宅窗户面积和地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m. 根据问题的要求,a
所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.
通过对本例的研究可以让学生理解课本例习题结论的重要应用价值,让学生做题时善于思考,而不是就题论题.
变换例题、习题的条件或结论,做一题多变,多题归一,培养学生思维的严密性
有些例题的问题背景、解决方法有类似之处,甚至有些题目就是同一题设条件,求证的结论的表现形式不同而已,因此进行多题一讲是很必要的. 它可以使学生感觉到某些知识点的核心之处就是那几个小结论,只要将它的内涵与外延挖掘彻底,就可以灵活运用了,从而使学生学习数学更有信心,不至于被大量的习题弄得无所适从.
平时在我们的课堂教学过程中,无论是在授新课还是复习课,经常要用到变式训练,变式训练在学习新知识、巩固旧知识上发挥着重要作用.
(1)利用变式训练可以节省时间. 对一个问题不断地变化,由于问题的大的背景并没有变,学生很容易进入问题情境,这样大大节约了读题、解题的时间.
(2)利用变式训练可以帮助学生对问题理解得更加深刻. 通过对问题的不断变化、引申、层层深入,使学生对容易混淆的问题辨别得更加清楚. 训练学生如果将题目条件改变,结论会发生怎样的改变?反之,将题目的结论改变,条件会怎样呢?可以由这个问题引出一个一般性的结论吗?解决这个问题的方法是否具有一般性呢?……如果对一个问题带领学生做如此剖析,相信学生对问题有非常深刻的认识并且大大提高解题效率.
(3)利用变式训练可以提高学生的学习能力. 利用变式训练不仅仅有前面两个方面的收获,更重要的是通过这种模式训练,学生在以后的学习过程中不断地模仿,最终内化为一种自觉的学习方式. 当学习独立研究问题时,也不断地将问题进行变式达到深刻理解的目的.教师在教学中总强调一种理念:授之以鱼,不如授之以渔.变式训练其实就是一种很好的授之以渔的训练模式,给学生一对飞翔的翅膀,他们会越飞越高,这才是我们教育目的之所在.
那怎样进行变式训练呢?下面举例加以说明:
例3 在椭圆+=1上求一点P,使它与两个焦点的连线互相垂直(人教版课本复习参考题八A组第6题).
解 由题设知a2=45,b2=20,c2=a2-b2=25,焦点F1(-5,0),F2(5,0),设P(x,y).
方法1 PF1⊥PF2,所以•=0,即(x+5,y)•(x-5,y)=0,
所以x2+y2=25.①
又点P在椭圆上,所以+=1.②
联立①②,解得P的坐标为(3,±4),(-3,±4).
方法2 PF1⊥PF2,所以P点在以F1F2为直径的圆上,满足OP=c2,即x2+y2=25,剩下步骤同方法1.
1. 求焦点三角形面积
引申1:P是椭圆上的一点,满足•=0,求△F1PF2的面积.
解因为PF1⊥PF2,所以PF1+PF2=F1F2,
即(PF1+PF2)2-2PF1PF=4c2.
又PF1+PF2=2a,所以PF1PF2=2b2=40.
所以?摇S=PF1PF2=20.
点评一般地,与的夹角为θ,则S=PF1PF2sinθ.
2. 求直角顶点的个数
引申2:椭圆+=1上满足∠F1PF2=90°的点P个数为几个?
解满足条件的点P的个数是以F1F2为直径的圆与椭圆的交点个数,由半焦距c与半短轴b的大小关系确定. 由于c2=a2-b2=25,c=b,所以满足条件的点P有2个.
点评椭圆+=1(a>b>0)上满足∠F1PF2=90°的点P个数由半焦距c与半短轴b的大小关系确定. 当c
3. 求坐标取值范围
引申3:已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的动点,若∠F1PF2为钝角,求点P的横坐标的取值范围.
解若•=0,则x2+y2=25. 又+=1,得x2=15,x=±. 所以点P的横坐标的取值范围是(-,).
点评由图易知当P点为短轴端点时,∠F1PF2最大,本题只需求出∠F1PF2=90°时点P的横坐标,就可求出取值范围.
通过变式训练,提高了学生的思维层次,培养了学生探究问题的能力和综合运用方法的能力.
对一个问题作如此深刻的引申,花了比较多的时间,甚至不能按计划完成教学进度,却是非常值得的,因为我们多花了一些时间,但做的不是一个题,也不是几个题,而是一类题,甚至是几类题,并且学生对这类问题印象深刻.
如果我们在每天的教学中,有意识地带领学生进行变式训练,不仅能培养学生思维的严谨性、深刻性,更重要的是学生在这个过程中学会了该怎样学习,因为发现问题与解决问题相比是一件更困难、更了不起、也更有意义的事. 只有发现了问题,才可能去解决问题,这才是学习的真正含义!
一题多问,挖掘例习题的广度和深度,培养学生思维的深刻性
例4已知点B是椭圆+=1上的一动点,F是椭圆的左焦点,A(-2,2)为一定点,当AB+BF取最小值时,求点B的坐标.
分析由椭圆方程可知离心率e=,所以根据第二定义BF=BB′,其中BB′是指点B到左准线的距离,所以AB+BF=AB+BB′,则AB+BB′的最小值就是点A(-2,2)到左准线的距离,则问题得以解决,此时点B的坐标为(-6,2).
引申1:如果将椭圆方程一般化为+=1(a>b>0),则问题可一般化为当AB+BF取最小值时,求点B的坐标.
引申2:将例题4中的“当AB+•BF取最小值”改为“当AB+BF取最小值”时,求点B的坐标.
分析AB+BF=AB+2a-BF′=AB-BF′+2a,其中F′是指椭圆的左焦点. 欲求AB+BF的最小值,只需求AB-BF′+2a的最小值,只需求AB-BF′的最小值. 经分析可知:当点B,A,F′三点共线时,且B在A左侧时AB-BF′取最小值.
引申3:将例题2中的当“AB+•BF取最小值”改为“当AB+BF取最大值”时,求点B的坐标.
分析由引申2的分析可知,当点B,A,F′三点共线时,且B在A右侧时AB-BF′取最大值.
注意在例4及其引申中,考虑一下是否都可以求出对应的最值?求法是否和求点的坐标的方法一致呢?
认真挖掘教材例习题中蕴含的德育素材,充分发挥其德育功能
现行数学教材中有许多关于古代文明、现代环保、民生改善等蕴涵丰富德育素材的例习题,我们应深入挖掘其中的精神品质素养教育的因素,促进学生的全面发展. 如:函数中有这样一个例子,我国的道路交通网,近十几年的发展非常迅速. 自1988年开始建设高速公路,全国高速公路通车总里程,自1998年位居世界第八;1999年底,位居世界第四;2000年底,位居世界第三;2001年底,超过加拿大,位居世界第二. 通过这些例子不仅使学生了解两个变量之间的函数关系,更重要的是让学生感受到改革开放以来,中国的基础建设、科学技术的飞速发展,人民生活水平日益提高,使他们对党和“全面建设小康社会”的实现充满信心,同时,又使学生感到我国工农业、国防和科研部门对数学的迫切需要,从而激发他们学好数学、成才后要为祖国的社会主义建设事业多作贡献的愿望.
再如:我国古代就对数学很有研究,韩信点兵问题,《孙子算经》中“物不知其数”问题,程大位在《算法统宗》中用一首诗给出的绝妙算法:“三人同行古来稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.”通过对本例的挖掘使学生了解我国在数学领域对世界科学发展作出的巨大贡献,来展示我国数学的伟大成就,激发学生的民族自信心和自豪感.
课本中每一个例习题的设置都有目的和作用,体现着本节知识应达到的能力要求. 我们不仅要尽扣课本,认识到认真钻研课本的重要性,突出课本基础知识的作用,突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用,也要重视课本习题潜在功能的挖掘与利用. 指导学生回归课本,依“纲”固“本”,挖掘课本潜在功能,对课本典型问题进行引申、推广,发挥其应有作用,这与高考命题的“源于课本,高于课本”的理念是相吻合的.
如果把整个教学过程比作一个完美的圆,我们应当将圆上的每一个点都作为放飞学生思维的切点.