摘 要：本文首先给出了在Banach格上广义正则算子空间的拓扑性质，特别是在不同的算子空间上赋予不同的算子范数下的性质。最后构造出了反例。
　　关键词：Banach格；正则算子；广义正则算子；算子空间
　　中图分类号：O177 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-12-0-02
　　
　　E，F是Banach格，L（E，F）是E到F的连续线性算子空间，Lr(E,F)是E到F的正则算子空间。一般而言，正则算子空间Lr(E,F)在算子范数||.||下不是闭的[1]，但是存在正则范数||.||r，使得Lr(E,F)是一个Banach空间[2]。即：||T||r=inf{||S||:S∈L+(E,F),€盩≤S}。
　　E,F是Banach格，T是E到F的一个线性算子，若T:E→F″是正则的，则称T:E→F是广义正则算子。E到F的广义正则算子全体记为Lpr(E,F)，并且有Lr(E,F)€H袻pr(E,F)€H袻 (E,F)。
　　本文首先说明在广义正则算子空间Lpr(E,F)上存在广义正则范数使得Lpr(E,F)是一个Banach空间；然后得出在一般的算子范数下，Lpr(E,F)在L (E,F)里不闭，在广义正则范数下，Lr(E,F)在Lpr(E,F)里不闭。同时也得出了一些相关的结论。
　　一、广义正则算子空间的拓扑性质
　　类似于正则算子空间，在广义正则算子空间上赋予所谓的广义正则范数，即：||T||pr=||JT||r=|||JT|||，其中T∈Lpr(E,F)，J:F→F″是嵌入映射。
　　于是可以得到下面的结果：
　　定理（一）：E,F是Banach格，在广义正则算子范数||T||pr下Lpr(E,F)是一个Banach空间。
　　证明：令Tn∈Lpr(E,F)是柯西列，由[3]的性质1.3.6知，存在T∈Lr(E,F″)，而Lr(E,F″)是Banach空间，使得‖JTn-T‖r→0(n→∞)。
　　由于对任意的S∈Lpr(E,F)有||S||≤||S||pr成立，所以Tn是L(E,F)在算子范数||.||下的柯西列，于是存在一个算子T*∈L (E,F)，使得‖Tn-T*‖→0(n→∞)。
　　现对任意的x∈E，由于Tx=JTnx=JTnx=JT*x，则T=JT*，于是可以得到T*:E→F是广义正则的，并且||Tn-T*||pr=|||JTn-T||r→0(n→∞)。所以Lpr(E,F)在广义正则算子范数下是一个Banach空间。
　　推论（二）：E,F是Banach格，则下面的结论成立：
　　1、Lr(E,F)在Lpr(E,F)里是闭的当且仅当正则算子范数||.||r与广义正则算子范数||.||pr等价。
　　2、Lpr(E,F)在L(E,F)里是闭的当且仅当广义正则算子范数||.||pr算子范数||.||等价。
　　回忆一个定义，称一个Banach格有弱的Fatou范数如果存在一个常数m使得当0≤y€%Z↑y，有||y||≤||y€%Z||；称一个Banach格有弱的序列Fatou范数如果存在一个常数m使得当0≤yn↑y，有||y||≤||yn||[5]。
　　对一般的Banach格E,F，我们没有正则算子范数与广义正则算子范数的等价刻画。但是，我们可以对固定的值域空间，而定义域是所有的Banach格，根据上面的定理以及定理3.4[5]，我们有
　　定理（三）：对一个Dedekind 完备的Banach格F，下列条件是等价的：
　　1、F具有弱的Fatou范数
　　2、对任意的Banach格E，在空间Lr(E,F)里||.||r与||.||pr等价
　　3、对任意的AL-空间E，在空间Lr(E,F)里||.||r与||.||pr等价
　　对于可分的定义域，我们有下面的结论
　　定理（四）：对于一个Dedekind €%l-完备的Banach格F,下列条件是等价的：
　　1、F具有弱的序列Fatou范数
　　2、对任意可分的Banach格E，在空间Lr(E,F)里||.||r与||.||pr等价
　　3、在空间Lr(L1[0,1],F)里||.||r与||.||pr等价
　　正则算子范数与广义正则算子范数等价，基本的情况就是要么定义域空间E是（格同构于）AL-空间，或值域空间F是（格同构于）AM-空间，详见[6]。
　　定理（五）：令F是一个Banach格，则下列条件等价：
　　1、F与一个AM-空间格同构
　　2、对任意的Banach格E，在空间Lpr(E,F)里||.||与||.||pr等价
　　3、若1　　证明：因为F″是Dedekind完备的具有强序单位的AM-空间，由[1]的定理8.2可知，(1) €H! (2) 显然成立。(2) €H! (3)是很明显的，而由[7]的定理2 ，能得知(3) €H! (1)也是成立的。
　　利用[1]的定理8.3以及[7]的定理2，有
　　定理（六）：若E是Banach格，则下列条件等价：
　　1、E与一个AL-空间格同构
　　2、对任意的Banach格F，在空间Lpr(E,F)里||.||与||.||pr等价
　　3、对任意的AL-空间F，在空间Lpr(E,F)里||.||与||.||pr等价
　　以下这些范数的等价用[7]的定理3的结论是很明显的。
　　定理（七）：对Banach格E,F，下面的论述是等价的：
　　1、E是AL-空间或F是AM-空间
　　2、对任意的T∈Lr(E,F)，有||T||r=||T||
　　3、对任意的T∈Lr(E,F)，有||T||pr=||T||
　　二、反例
　　在这一节里，我们将举出正则算子范数和广义正则算子范数的例子来说明他们可能不是等价的。下面的例子来自[8]
　　例（一）：令En=(c,||.||n)， 这里
　　||（€%di）||n=sup{|€%d2i-1|,n|€%d2i|:€HOi}
　　令E=c0(En)={(zn):zn∈En,||zn||→0}，定义它上面的范数||(zn)||=sup{||zn||:€HOn∈N}则下面的论断成立：
　　1、E是具有Fatou范数的AM-空间
　　2、在Lr(c,E)上正则算子范数||.||和广义正则算子范数||.||pr不等价
　　注:下面的例子有更强的结论，即：若E是一个不离散的Lp-空间,1　　例（二）：若E=F=Lp[0,1](1　　事实上，由于E是自反的，从而这里的Lr(E)= Lpr(E)，由（定理2）得出了在空间Lr(E)里，正则算子范数||.||r与算子范数||.||不等价，即在空间Lpr(E)广义正则算子范数||.||pr与算子范数||.||不等价。
　　利用直和，我们有
　　定理（三）：令E= Lp[0,1]⊕c0(En)，这里的En见上例，且(1　　
　　参考文献：
　　[1]Abramovich,Y.A.When each continuous operator is regular,Funct.Analysis, Optimization and Math.Economics.Oxford Univ.Press,1990:133-140.
　　[2]Aliprantis,C.D.and Burkinshaw,O.Positive operators,Academic Press,New York & London,1985.
　　[3]Meyer-Nieberg,P.Banach lattices,Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York,1991.
　　[4]Birnbaum,D.A.Preregular maps between Banach lattices, Bull.Austrl.Math.Soc,1974:231-254.
　　[5]Abramovich,Y.A.Chen,Z.L.and Wickstead,A.W, Regular-norm balls can be closed in the strong operator topology,Positivity,1997:75-96.
　　[6]Cartwright,D.J.and Lotz,H.P.Some characterizations of AM-spaces,Math.Z.1975:97-103.
　　[7]Li,J.and Chen,Z.L.Several norms of operators on Banach lattices,J.of Southwest Jiaotong Univ.2002:130-133.
　　[8]Jiang,N.S.and Chen,Z.L.Some counterexamples concerning the several norms of operators on Banach lattices,Eng.Math.Acta,2004:807-809.