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摘 要： 在高中數学教学中，为了培养学生使用数学解决实际问题的创新能力，本文提出了基于智能优化算法的研究性课题。在这一研究性课题的教学设计中，通过引入课题、介绍算法、建立模型、进行运算、讨论结果这五步，使学生解决了日常生活中的优化问题。教学设计的结果表明，基于智能优化算法的课题适用于高中数学研究性学习。
关键词： 高中数学 研究性学习 算法
1.高中数学的研究性学习
高中数学的研究性学习有着重要意义[1，2]，它能使学生在思考和分析数学材料的过程中，培养理解和感悟数学的能力，进一步认识数学的本质。研究性学习可以启发学生的创新意识，使学生遇到生活中的一些问题时，能够自主使用数学知识解决这些问题。由此可见，研究性学习需要的问题，应该是与高中数学基础相近的问题。对于高中数学的研究性课题，学生可以进行学习、试验、思考、争辩，并在课题的研究中找到数学领域的新天地。
高中数学教材[3]指出，算法是计算机科学的基础，计算机已成为人们日常生活不可缺少的工具。对于高中生，从日常生活中选择引入研究性课题的材料，更容易被学生接受。人们在日常生活遇到的很多问题，都可以利用一些已有的算法和相应的计算机程序解决。因此，在算法教学中开展研究性学习，有着广阔的前景。下面提出一种基于智能优化算法的课题式教学设计。我们计划采用NSGA2作为教学实践中的智能优化算法。
2.基于智能优化算法的课题式教学设计
基于智能优化算法的课题式教学设计分为引入课题、介绍算法、建立模型、进行运算、讨论结果五个部分。
2.1引入课题
教师：如果在假期我们打算去旅游，有很多景区可以选择。我们对这些景区的兴趣不同，这些景区的门票和交通费用也不同，去更多的景区开阔眼界是每个人的愿望。因此，我们应该认真思考选择哪些景区。这是一个很难通过思考得到结果的问题，通过智能优化算法可以代替我们的大脑解决这个问题。
2.2介绍算法
教师：所谓人工智能，就是通过各种算法模拟大脑的工作，目的是代替我们的大脑进行思考，解决各种问题。智能优化算法是人工智能的一种算法，它可以代替我们的大脑解决优化问题。
学生：那上面的问题是优化问题吗？
教师：在上面选择哪些景区的问题中，我们有三个目的，一是选择的景区总的兴趣较高，二是选择的景区总的门票和交通费用较低，三是选择景区的数量尽量多。这三个目的往往是相互冲突的，我们需要选择一些景区最好地达到这三个目的。由此可见，这是一个优化问题，智能优化算法可以帮助我们解决这个问题。
学生：我们怎么使用智能优化算法呢？
教师：我们首先应该运用课本中所学的算法知识，初步了解智能优化算法的计算原理。我们已经选择的这些景区被称为决策变量；对于我们选择范围内的所有景区，称为决策空间。决策变量是在决策空间中随机选择的。如果我们可以最多同时选择5个景区，决策变量就是5维向量，即■=（x■，x■，…，x■），其中x■到x■这5个景区在所有景区中随机选择，这5个景区可以互相重复。
学生：景区怎么用数字代替呢？
教师：景区可以按照先后顺序依次用数字代替，比如第一个景区就是1。对于我们的三个目的，也需要把它们转化成数字才能进行计算。我们对每个景区都进行排名，排名靠前表明兴趣高。这样第一个目的就是中所有互不重复的景区名次的和。类似的，第二个目的就是中所有互不重复的景区门票和交通费用的和。第三个目的应该是中所有互不重复的景区数量。景区的名次和费用如表1所示。表中第一行和第四行是景区的编号，第二行和第五行是景区的排名，第三行和第六行是景区的费用，数字的单位是元。
表1 景区的名次和费用
学生：怎样计算呢？
教师：通过以上分析可知，不管是景区名次的和，景区门票和交通成本的和，还是景区数量，它们的大小都是由■决定的。它们是■的函数，因此我们称这些函数为目标函数。我们只要拥有用数字表示的决策空间和决策变量，以及用数字计算的目标函数，就可以使用智能优化算法选择到最适合我们的景区。
2.3建立模型
学生：怎样建立目标函数呢？
2.4进行运算
学生：怎样调用智能优化算法的程序呢？
教师：为了降低读写程序的难度，我们选择matlab语言。在调用智能优化算法程序的主文件中正确编程，就可以实现建立的数学模型，得到需要的结果。主文件中的matlab代码是：
X2=fix（X*20）；
X3=X2 1；
C=zeros（20，1）；
forn=1：5
C（X3（n，1），1）=1；
end
[a，b]=find（C）；
C2=[a，b]；
[a1，b1]=size（C2）；
A=[6；3；16；11；7；17；14；8；5；19；15；1；2；4；18；13；9；20；10；12]；
forn=1：a1
W1（n）=A（C2（n，1），1）；
end
W2=sum（W1）；
B=[1200；2000；200；1400；1500；1000；1300；1800；800；900；100；500；1700；1100；700；600；1600；300；400；1900]；
forn=1：a1
W3（n）=B（C2（n，1），1）；
end
W4=sum（W3）；
F（1）=W2；
F（2）=W4； F（3）=1/a1；
对于智能优化算法，代码中的X是m1维矩阵。通过设定m=5，这里X是5x1维矩阵，其中的5个元素均是从0.0000到0.9999中的随机数。fix（）是matlab的取整函数，即实数的整数部分。因此，X2中的5个元素均是从0到19中的随机数。X3中的5个元素均是从1到20中的随机数。这样，代码中的X3是模型中的。zeros（）是matlab的矩阵生成函数，生成的矩阵中元素都是0。因此C是201维0矩阵。通过for循环语句，我们使X3指定的元素全是1。find（）是matlab的查找函数，查找矩阵中非0元素的位置，生成相应的矩阵。因此C2是C中非0元素的位置，也是X3中所有互不重复的数。size（）函数得到矩阵的行数和列数，这样a1是C2的行数，是模型中的n。代码中的A和B是模型中的A和B。通过for循环语句，我们使W1和W3中的元素，是C2指定的A和B中的值，代码中的F（1）、F（2）、F（3）表示目标函数。对于智能优化算法，可以设定优化结果的个数，我们设定结果的个数是10，计算结果如表2所示。
表2 计算结果
2.5讨论结果
教师：从表2可以看出，这10个景区的选择方式都很好，分别偏向了我们的三个目的。把它们互相比较，难分高低。智能优化算法很好地解决了选择哪些景区的问题，我们的大脑也很难想出这样的结果。在生活中还有很多其他的优化问题，我们也可以通过建立数学模型、编写matlab程序、进入智能优化算法进行计算的办法，解决这些复杂的问题。
3.总结
基于智能优化算法的课题式教学设计，主要涉及随机数的产生和矩阵的基本定义这两个知识点，它们在高中数学教材中都有介绍。matlab语言简单易学，通过互联网就可以了解其编程技巧。因此，基于智能优化算法的课题适用于高中数学研究性学习。
参考文献：
[1]杜振义.关于高中数学研究性学习的思考[J].数学教学与研究，2014（10），54-55.
[2]张晓兵.例谈数学教学中的“微课题”研究[J].数学教育研究，2012（5），13-14.
[3]普通高中課程标准实验教科书数学必修3[M].人民教育出版社，2012.
[4]郑金华.多目标进化算法及其应用[M].科学出版社，2007.
关键词： 高中数学 研究性学习 算法
1.高中数学的研究性学习
高中数学的研究性学习有着重要意义[1，2]，它能使学生在思考和分析数学材料的过程中，培养理解和感悟数学的能力，进一步认识数学的本质。研究性学习可以启发学生的创新意识，使学生遇到生活中的一些问题时，能够自主使用数学知识解决这些问题。由此可见，研究性学习需要的问题，应该是与高中数学基础相近的问题。对于高中数学的研究性课题，学生可以进行学习、试验、思考、争辩，并在课题的研究中找到数学领域的新天地。
高中数学教材[3]指出，算法是计算机科学的基础，计算机已成为人们日常生活不可缺少的工具。对于高中生，从日常生活中选择引入研究性课题的材料，更容易被学生接受。人们在日常生活遇到的很多问题，都可以利用一些已有的算法和相应的计算机程序解决。因此，在算法教学中开展研究性学习，有着广阔的前景。下面提出一种基于智能优化算法的课题式教学设计。我们计划采用NSGA2作为教学实践中的智能优化算法。
2.基于智能优化算法的课题式教学设计
基于智能优化算法的课题式教学设计分为引入课题、介绍算法、建立模型、进行运算、讨论结果五个部分。
2.1引入课题
教师：如果在假期我们打算去旅游，有很多景区可以选择。我们对这些景区的兴趣不同，这些景区的门票和交通费用也不同，去更多的景区开阔眼界是每个人的愿望。因此，我们应该认真思考选择哪些景区。这是一个很难通过思考得到结果的问题，通过智能优化算法可以代替我们的大脑解决这个问题。
2.2介绍算法
教师：所谓人工智能，就是通过各种算法模拟大脑的工作，目的是代替我们的大脑进行思考，解决各种问题。智能优化算法是人工智能的一种算法，它可以代替我们的大脑解决优化问题。
学生：那上面的问题是优化问题吗？
教师：在上面选择哪些景区的问题中，我们有三个目的，一是选择的景区总的兴趣较高，二是选择的景区总的门票和交通费用较低，三是选择景区的数量尽量多。这三个目的往往是相互冲突的，我们需要选择一些景区最好地达到这三个目的。由此可见，这是一个优化问题，智能优化算法可以帮助我们解决这个问题。
学生：我们怎么使用智能优化算法呢？
教师：我们首先应该运用课本中所学的算法知识，初步了解智能优化算法的计算原理。我们已经选择的这些景区被称为决策变量；对于我们选择范围内的所有景区，称为决策空间。决策变量是在决策空间中随机选择的。如果我们可以最多同时选择5个景区，决策变量就是5维向量，即■=（x■，x■，…，x■），其中x■到x■这5个景区在所有景区中随机选择，这5个景区可以互相重复。
学生：景区怎么用数字代替呢？
教师：景区可以按照先后顺序依次用数字代替，比如第一个景区就是1。对于我们的三个目的，也需要把它们转化成数字才能进行计算。我们对每个景区都进行排名，排名靠前表明兴趣高。这样第一个目的就是中所有互不重复的景区名次的和。类似的，第二个目的就是中所有互不重复的景区门票和交通费用的和。第三个目的应该是中所有互不重复的景区数量。景区的名次和费用如表1所示。表中第一行和第四行是景区的编号，第二行和第五行是景区的排名，第三行和第六行是景区的费用，数字的单位是元。
表1 景区的名次和费用
学生：怎样计算呢？
教师：通过以上分析可知，不管是景区名次的和，景区门票和交通成本的和，还是景区数量，它们的大小都是由■决定的。它们是■的函数，因此我们称这些函数为目标函数。我们只要拥有用数字表示的决策空间和决策变量，以及用数字计算的目标函数，就可以使用智能优化算法选择到最适合我们的景区。
2.3建立模型
学生：怎样建立目标函数呢？
2.4进行运算
学生：怎样调用智能优化算法的程序呢？
教师：为了降低读写程序的难度，我们选择matlab语言。在调用智能优化算法程序的主文件中正确编程，就可以实现建立的数学模型，得到需要的结果。主文件中的matlab代码是：
X2=fix（X*20）；
X3=X2 1；
C=zeros（20，1）；
forn=1：5
C（X3（n，1），1）=1；
end
[a，b]=find（C）；
C2=[a，b]；
[a1，b1]=size（C2）；
A=[6；3；16；11；7；17；14；8；5；19；15；1；2；4；18；13；9；20；10；12]；
forn=1：a1
W1（n）=A（C2（n，1），1）；
end
W2=sum（W1）；
B=[1200；2000；200；1400；1500；1000；1300；1800；800；900；100；500；1700；1100；700；600；1600；300；400；1900]；
forn=1：a1
W3（n）=B（C2（n，1），1）；
end
W4=sum（W3）；
F（1）=W2；
F（2）=W4； F（3）=1/a1；
对于智能优化算法，代码中的X是m1维矩阵。通过设定m=5，这里X是5x1维矩阵，其中的5个元素均是从0.0000到0.9999中的随机数。fix（）是matlab的取整函数，即实数的整数部分。因此，X2中的5个元素均是从0到19中的随机数。X3中的5个元素均是从1到20中的随机数。这样，代码中的X3是模型中的。zeros（）是matlab的矩阵生成函数，生成的矩阵中元素都是0。因此C是201维0矩阵。通过for循环语句，我们使X3指定的元素全是1。find（）是matlab的查找函数，查找矩阵中非0元素的位置，生成相应的矩阵。因此C2是C中非0元素的位置，也是X3中所有互不重复的数。size（）函数得到矩阵的行数和列数，这样a1是C2的行数，是模型中的n。代码中的A和B是模型中的A和B。通过for循环语句，我们使W1和W3中的元素，是C2指定的A和B中的值，代码中的F（1）、F（2）、F（3）表示目标函数。对于智能优化算法，可以设定优化结果的个数，我们设定结果的个数是10，计算结果如表2所示。
表2 计算结果
2.5讨论结果
教师：从表2可以看出，这10个景区的选择方式都很好，分别偏向了我们的三个目的。把它们互相比较，难分高低。智能优化算法很好地解决了选择哪些景区的问题，我们的大脑也很难想出这样的结果。在生活中还有很多其他的优化问题，我们也可以通过建立数学模型、编写matlab程序、进入智能优化算法进行计算的办法，解决这些复杂的问题。
3.总结
基于智能优化算法的课题式教学设计，主要涉及随机数的产生和矩阵的基本定义这两个知识点，它们在高中数学教材中都有介绍。matlab语言简单易学，通过互联网就可以了解其编程技巧。因此，基于智能优化算法的课题适用于高中数学研究性学习。
参考文献：
[1]杜振义.关于高中数学研究性学习的思考[J].数学教学与研究，2014（10），54-55.
[2]张晓兵.例谈数学教学中的“微课题”研究[J].数学教育研究，2012（5），13-14.
[3]普通高中課程标准实验教科书数学必修3[M].人民教育出版社，2012.
[4]郑金华.多目标进化算法及其应用[M].科学出版社，2007.