集合、函数、导数是高考的必考内容，尤其是函数和导数一直是命题者的“最爱”.然而同学们解题时却时常因为概念不清晰，解题思路不严谨，犯下种种错误，如何是好呢？寻本溯源，剖析错误原因，对症下药，标本兼治.
　　下面我们就结合例题，对集合、函数、导数易错题来一个错因大揭秘.
　　错因1.对基本知识的理解不到位
　　有些同学由于没有掌握数学概念、定理、性质、公式，或者是未掌握它们成立的条件，导致解题错误.
　　例1已知A={1，2}，B={x|x∈A}，C={x|xA}，则下列说法正确的.
　　①A=B；②B={1}，{2}或{1，2}；③CA；④A∈C.
　　错解：②③.
　　错因剖析：错选的原因是没有正确认识集合B，C.误认为B={1}，{2}或{1，2}，C={1}，{2}或{1，2}或.认识一个集合首先看集合的表示方法，如果是描述法，要弄清代表元素是什么，它有什么性质，另外由集合的定义，集合是一类明确的对象的全体，即凡是符合要求的元素都要在集合中.本例中集合B是由集合A中所有元素组成的集合，所以A=B={1，2}，集合C是由集合A的所有子集组成的集合，所以C={{1}，{2}，{1，2}，}.
　　正解：①④
　　例2已知A={x|-1≤x≤4}，B={x|m 1≤x≤2m-1}，求当BA时实数m的取值范围.
　　错解：要使BA，应有m 1≤2m-1m 1≥-12m-1≤4，解得2≤m≤52.
　　错因剖析：忽略了B=时的情况，因为当B=时，BA亦成立.
　　正解：（1）当B≠时，由错解可得：2≤m≤52.
　　（2）当B=时，m 1>2m-1，
　　解得m<2，所以m的取值范围为m≤52.
　　点评：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，要注意集合是否为空集.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集，则易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑.
　　变式：将“B={x|m 1≤x≤2m-1}”改为“B=[m 1，2m-1]”，其余条件不变.
　　因为将集合B写成区间[m 1，2m-1]的形式，就一定有m 1<2m-1，集合B也不可能是空集.
　　故要使BA，应有m 1<2m-1m 1≥-12m-1≤4解得2　　例3已知函数f（x）=1 a·2x2x b是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），求实数a，b的值.
　　错解：∵f（x）是奇函数，f（0）=0，
　　∴a=-1.
　　又函数f（x）的图象经过点（1，3），
　　∴b=-73.
　　错因剖析：并不是所有的奇函数都满足f（0）=0，比如函数f（x）=1x.由于该例中“0”是否在定义域范围内不明确，所以不可用f（0）=0来求解.
　　正解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即
　　1 a·2-x2-x b 1 a·2x2x b=0，得（ab 1）22x 2（a b）2x ab 1=0，
　　所以ab 1=0a b=0，得a=1b=-1或a=-1b=1，
　　又f（1）=3，所以1 2a2 b=3，即2a-3b=5，
　　所以a=1，b=-1.
　　点评：该例也可直接利用f（1）=3f（-1）=-3来求解.
　　概念、定义、基本公式是最基本的，也是最重要的，它们是我们解题的依据.正所谓“磨刀不误砍柴工”，花一定的时间“过课本”，建立起正确的知识框架，这样才能有效减少错误的发生.
　　错因2.审题不严
　　审题，是解题的第一步，不少同学在审题过程中会发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含糊不清等问题，从而导致错误的发生.
　　例4设f（x）=x 3（x>10）f（f（x 5））（x≤10），则f（5）的值是.
　　错解：f（5）=f（f（10））=f（15）=18.
　　错因剖析：由于审题不严，对分段函数的第二段表达式缺乏正确的认识，误认为f（f（10））=f（15），其实f（10）=f（f（15））.
　　正解：f（5）=f（f（10））=f（f（f（15）））
　　=f（f（18））=f（21）=24.
　　例5求曲线S：y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.
　　错解：∵y′=3-3x2，∴y′|x=2=-9，
　　∴所求的切线方程为y 2=-9（x-2），即y=-9x 16.
　　错因剖析：曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，求曲线过某一点的切线方程，这一点未必是切点，有可能以另一点为切点的切线刚好过该点.因此应注意求曲线“过某一点的切线”与“在某一点的切线”是有区别的.
　　正解：y′=3-3x2，设切点为P（x0，y0），则P处的切线方程方程为l：y-y0=（3-3x20）（x-x0），由点A在切线l上有：-2-y0=（3-3x20）（2-x0），
　　又点P在曲线S上，有y0=3x0-x30，代入上式可知：x30-3x20 4=0.
　　∴（x0-2）2（x0 1）=0，即x0=2或x0=-1.
　　当x0=2时，P为（2，-2），切线方程为y=-9x 16；
　　当x0=-1时，P为（-1，-2），切线方程为：y=-2.
　　综上，过点A的切线方程为y=-9x 16或y=-2.
　　例6已知函数f（x）=[x[x]]（n　　错因剖析：由于读题不清，上述解法中出现了以下错误：一是把an看成了函数值；二是当[x]=n时，误认为一定有x=n，从而出现了[x[x]]=[nx]=n[x]=n2的错误.
　　正解：当1　　错因3.忽视运算规律
　　在解题中如果不能正确使用运算法则和计算公式，计算时一定会出现错误；不重视运算技巧，缺乏简化计算的技能，则计算过程繁琐，容易导致失误.
　　例7化简：3xy2·xy-1·xy·（xy）-1（xy≠0）.
　　错解：原式=[xy2·（xy-1）12]13·（xy）12·（xy）-1
　　=x13 16 12-1·y23-16 12-1
　　=x0·y0
　　=1.
　　错因剖析：只有当a>0时，运算性质（am）n=am·n才一定成立.本题中x，y是同号的，可同正亦可同负，当x，y是同负时化简的结果应是-1.
　　正解：原式=[xy2·（xy-1）12]13·（xy）12·（xy）-1
　　=x13·y23|x|16|y|-16·|x|-12·|y|-12
　　=x13·|x|-13=1，x>0-1，x<0.
　　点评：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
　　例8已知x y=12，xy=9，且x　　不当解法：由x y=12xy=9解得x=6 33y=6-33
　　或x=6-33y=6 33，又x　　故x=6-33y=6 33，带入x12-y12x12 y12，由于式子繁琐，无法化简或化错.
　　错因剖析：缺乏整体意识，计算过程繁琐.
　　正解：x12-y12x12 y12=（x12-y12）2（x12 y12）（x12-y12）
　　=（x y）-2（xy）12x-y.①
　　∵x y=12，xy=9，②
　　∴（x-y）2=（x y）2-4xy=122-4×9=108.
　　∵x　　将②③式代入①式，得x12-y12x12 y12=12-2×912-63=-33.
　　错因4.逻辑性错误
　　逻辑性错误表现为偷换概念、循环论证、不等价变换、利用虚假依据等，也就是在解题过程中出现了违犯逻辑思维的规律而导致的错误.
　　例9函数f（x）=x3 ax2 bx a2在x=1处有极值10，求a、b的值.
　　错解：f′（x）=3x2 2ax b，由题意知
　　f′（1）=0，且f（1）=10，
　　即2a b 3=0，且a2 a b 1=10，
　　a=4，b=-11或a=-3，b=3.
　　错因剖析：错误的主要原因是把x=x0为极值点的必要条件当作了充要条件，
　　x=x0为极值点的充要条件是f′（x0）=0，且x0附近两侧的导函数值符号相反，所以还要做下面的验证：
　　当a=4，b=-11时，
　　f′（x）=3x2 8x-11=（3x 11）（x-1），
　　在x=1附近两侧的符号相反，
　　∴a=4，b=-11.
　　当a=-3，b=3时，f′（x）=3（x-1）2，
　　在x=1附近两侧的符号相同，
　　所以a=-3，b=3舍去.
　　例10已知函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2 x），f（7-x）=f（7 x）且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，试判断函数y=f（x）的奇偶性.
　　错解：若y=f（x）为奇函数，则f（0）=f（-0）=-f（0），
　　∴f（0）=0，这与f（x）在闭区间[0，7]上只有f（1）=f（3）=0矛盾；
　　因此f（x）不是奇函数，所以函数f（x）是偶函数.
　　错因剖析：一个函数的奇偶性情况有四种，并不是除了奇函数就是偶函数，上述推理逻辑上有漏洞.
　　正解：若y=f（x）为偶函数，
　　则f（-x）=f（2-（x 2））=f（2 （x 2））=f（4 x）=f（x），
　　∴f（7）=f（3）=0，这与f（x）在闭区间[0，7]上，
　　只有f（1）=f（3）=0矛盾；因此f（x）不是偶函数. 　　若y=f（x）为奇函数，则f（0）=f（-0）=-f（0），
　　∴f（0）=0，这与f（x）在闭区间[0，7]上，
　　只有f（1）=f（3）=0矛盾；因此f（x）不是奇函数.
　　综上可知：函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
　　错因5.策略性错误
　　策略性错误是指在解题过程中，选择的解题方法明显地增加了解题的难度使问题复杂化，或者是因为解题思路的不正确导致问题得不到解决.它体现在以下方面，一是方法不当；二是不能正确转化问题.
　　例11已知函数f（x）=3x，x∈[0，1]92-32x，x∈（1，3]，当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则t的取值范围是.
　　不当解法：因为f（t）=3t，t∈[0，1]92-32t，t∈（1，3]
　　所以讨论写出f（f（t））的表达式，再解不等式f（f（t））∈[0，1]求出t的取值范围.
　　不当解法剖析：以上思路理论上可行，但实际操作时难度太大，计算繁琐，要想得到结果比较困难，这是方法不当造成了解题困难.
　　正解：令f（t）=u，画出f（x）的图象，根据图象由f（u）∈[0，1]解出u的范围：[73，3]∪{0}，再结合图象解出t的取值范围[log373，1].
　　点评：数学高考，分段函数问题一直备受“青睐”，而且基本出现在填空题的后六题，正确的处理方式是能画图的要画图，化抽象为直观，能换元的要换元，化繁为简.
　　错因6.训练不到位，解题时没有走“合法程序”
　　纵观近几年江苏高考，数学试卷越来越“回归理性”，即试卷的整体难度下降，更注重“通性、通法”的考查，但不少考生的解题依然是“会而不对，对而不全”，分数自然也就不高.数学功在平时，平常训练时，就要养成良好的习惯，规范解题，走“合法程序”.不走“合法程序”主要体现在：研究函数性质不研究定义域；含参数不讨论；求范围不注重端点的取舍等方面.
　　例12从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小块边为x的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比值不超过常数t.问：x取何值时，容积V有最大值.
　　错解：V′=12x2-16ax 4a2=4（3x-a）（x-a）.
　　因为x2a-2x≤t所以函数的定义域为（0，2ta1 2t]，
　　这时V在定义域内有惟一极值点x=a3.由问题的实际意义可知，x=a3时，Vmax=1627a3.
　　错解剖析：本例中a3与2ta1 2t的大小关系不明确，故要通过讨论来解决问题.
　　正解：①当a3<2ta1 2t，即t>14时，由v′=0，解得x=a3，这时V在定义域内有惟一极值点x=a3.由问题的实际意义可知，x=a3时，Vmax=1627a3.
　　②当a3≥2ta1 2t，即0　　x=2at1 2t时，Vmax=2at1 2t（2a-4at1 2t）2=8a3t（1 2t）3.
　　例13已知f（x）=2 log3x，x∈[1，9]，试求函数y=[f（x）]2 f（x2）的值域.
　　错解：∵x∈[1，9]，∴log3x∈[0，2]，
　　又y=（2 log3x）2 2 log3x2=（log3x 3）2-3.
　　∴ymax=（2 3）2-3=22，ymin=（0 3）2-3=6.
　　∴函数y=[f（x）]2 f（x2）的值域为[6，22].
　　错因剖析：错误原因是忽略了对定义域的研究，致使函数y=[f（x）]2 f（x2）的讨论范围扩大.y=[f（x）]2 f（x2）的定义域与f（x）的定义域不同，要使[f（x）]2 f（x2）有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，即1≤x≤3.
　　正解：∵f（x）=2 log3x的定义域为[1，9]，
　　要使[f（x）]2 f（x2）有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，
　　∴1≤x≤3，
　　∴y=[f（x）]2 f（x2）的定义域为[1，3].
　　又y=（2 log3x）2 2 log3x2=（log3x 3）2-3.
　　∵x∈[1，3]，∴log3x∈[0，1]，
　　∴ymax=（1 3）2-3=13，ymin=（0 3）2-3=6.
　　∴函数y=[f（x）]2 f（x2）的值域为[6，13].
　　点评：解答有关函数的问题首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.
　　例14已知函数f（x）=ax 1x 2在（-2， ∞）内单调递减，求实数a的取值范围.
　　错解：f′（x）=2a-1（x 2）2，由函数f（x）在（-2， ∞）内单调递减知f′（x）≤0在（-2， ∞）内恒成立，即2a-1（x 2）2≤0在（-2， ∞）内恒成立，因此a≤12.
　　错因剖析：错解中未验证f′（x）是否恒为零.函数f（x）在D上单调递增（或递减）的充要条件是“f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在D的任一子区间上不恒为零”.而当a=12时f′（x）=0在（-2， ∞）恒成立，所以不符合题意，应舍去，即正确结果是a<12.
　　点评：该例用初等数学的方法更为合理：f（x）=ax 1x 2=a 1-2ax 2，要函数f（x）=ax 1x 2在（-2， ∞）内单调递减，只要1-2a>0，解得a<12.
　　（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）