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三角函数是高中数学的重要内容，是高考考查的重点、热点.不论是三角函数的求值、化简、证明，还是其它与三角函数有关的考题，都涉及到三角恒等变换.三角变换的方法很多，如切割化弦，异角化同角，异名化同名等.在解题中，常需要对角的范围及三角函数值的符号情况进行讨论，甚至需要应用一些变换技巧，若审题不严不细，很容易出错.下面就同学们在解三角恒等变换题目时常出现的几类错误进行剖析.
1. 变异为同，意识不强
例1已知[f(tanx)=1+sin2x]，则[f(cos600)]= ．
错解[tanx=cos600=12]，[∴x=300]，
故[f(cos600)=1+sin2300=54].
分析本题考查函数解析式及函数值的求解，求[f(x)]的解析式是一大难点,本题需要用换元法求解析式. 错误的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准，其次考虑问题不到位，因为题目同时出现了[tanx,sinx,1]等信息，肯定要用“切割化弦”、“1”的代换等将问题简化.
正解 [f(tanx)=1+sin2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x]
[=2tan2x+1tan2x+1]．
[∴]令[t=tanx]，则[f(t)=2t2+1t2+1]，
故[f(cos600)=f(12)=65]．
2．未知化已知，衔接不当
例2已知[sin(x+π6)=14]，则[sin(5π6-x)+][sin2(π3-x)]=．
错解 [∵sin(x+π6)=sinxcosπ6+cosxsinπ6]
[=32sinx+12cosx=14]，
又[∵][sin2x+cos2x=1]，
解方程组，得[sinx=3-158]，[cosx=1+358.]
再将原式展开，把[sinx、cosx]的值代入. （同学们往往做到这里，就做不下去了）
分析上述解法是用常规思路求值，计算过程比较麻烦，计算量大. 本题只须先找准所求式子中的角与已知角的关系，即[5π6-x=π-(x+π6)]，[π3-x=π2-(x+π6)]，再利用诱导公式转化为求已知角的余弦值，采用整体代入思想即可.
正解 [∵][sin(x+π6)=14]，则原式可整理如下：
[sin(5π6-x)+sin2(π3-x)=sin[π-(x+π6)]+sin2[π2-(x+π6)]=sinx+π6+cos2(x+π6)=14+(1-116)=1916.]
3．定义域优先原则，容易忽视
例3分别求函数[f(x)=1-cosx+sinx1+cosx+sinx]的奇偶性和周期.
错解 [f(x)=1-(1-2sin2x2)+2sinx2cosx21+(2cos2x2-1)+2sinx2cosx2]
[=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2.]
又[∵][f(-x)=tan(-x2)=-tanx2]，
[∴][f(x)]是奇函数．
又[∵][T=π12=2π]， 故[f(x)]的周期是[2π].
分析利用公式将[f(x)]化简，是本题的突破口，得到的结果是[f(x)=tanx2]. 但在求奇偶性时，忽略了定义域优先的原则，要使函数有意义，[1+cosx+][sinx≠0]，即须满足[{xx≠2kπ-π2]且[x≠2kπ-π,][k∈Z}]，此定义域不关于原点对称，从而[f(x)]是非奇非偶函数.而[f(x)]的周期性需要根据图象来判断.
正解：要使函数有意义，则有[1+cosx+sinx≠0,]
故[x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π]，[k∈Z,]
即[f(x)]的定义域是[{xx≠2kπ-π2且x≠2kπ-π,][k∈Z}]，不关于原点对称，
故[f(x)]是非奇非偶函数．
[又f(x)=1-(1-2sin2x2)+2sinx2cosx21+(2cos2x2-1)+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2,]
由其图象特征知，[f(x)]是周期函数，
且[T=π12=2π]．
说明此题若指出函数的定义域为[(-π2,π2)]，则此函数即是奇函数.
4．产生增根，不易排除
例4设[α]是第四象限的角，若[sin3αsinα=135]，则[tan2α]=．
错解 [sin3αsinα=sin(2α+α)sinα=3sinα-4sin3αsinα=135,]
[∴][sinα(10sin2α-1)=0].
又[α]是第四象限的角，
故[sinα=-1010]，[cosα=31010]，
[∴][sin2α=-35].
[∵4kπ+3π<2α<4kπ+4π]，
故[2α]可能在第三、四象限，[cos2α=±45]，
[∴tan2α=±34]．
分析例题利用拆项[3α=2α+α]，所求问题得以求解. 但是[sinα=-1010]，[cosα=31010]时，[cos2α=][cos2α-sin2α=45]，并不是有两个值. [2α]可能在第三、四象限，求[2α]的余弦值可以避开错误,所以灵活选用公式很重要.
正解由[sin3αsinα=135]，
[∴sin2αcosα+cos2αsinαsinα=135]．
[∵2cos2α+cos2α=135]，
[∴1+2cos2α=135,∴cos2α=45]．
[∵4kπ+3π<2α<4kπ+4π]，故[2α]可能在第三、四象限．
[∴sin2α=-35] ，[∴tan2α=-34]．
5. 考虑不周，范围扩大
例5已知[sinαcosβ=34]，求[cosαsinβ]的范围.
错解 [sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ]
[=34+cosαsinβ]．
由[-1≤sin(α+β)≤1]，
得[-1≤34+cosαsinβ≤1]，
故[-74≤cosαsinβ≤14]．
分析本题看似简单但很容易出错，错解选用公式正确，但考虑欠周.题目同时出现了[sinαcosβ,][cosαsinβ]，暗示我们用[sin(α+β),sin(α-β)]. 但由于使用部分公式就可以很快得出结论，我们很容易放松警惕而考虑不全面.
正解：（前面同上）
又[∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ]
[=34-cosαsinβ]，
由[-1≤sin(α-β)≤1]，得
[-14≤cosαsinβ≤74]，
综上所述, [-14≤cosαsinβ≤14]．
1. 变异为同，意识不强
例1已知[f(tanx)=1+sin2x]，则[f(cos600)]= ．
错解[tanx=cos600=12]，[∴x=300]，
故[f(cos600)=1+sin2300=54].
分析本题考查函数解析式及函数值的求解，求[f(x)]的解析式是一大难点,本题需要用换元法求解析式. 错误的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准，其次考虑问题不到位，因为题目同时出现了[tanx,sinx,1]等信息，肯定要用“切割化弦”、“1”的代换等将问题简化.
正解 [f(tanx)=1+sin2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x]
[=2tan2x+1tan2x+1]．
[∴]令[t=tanx]，则[f(t)=2t2+1t2+1]，
故[f(cos600)=f(12)=65]．
2．未知化已知，衔接不当
例2已知[sin(x+π6)=14]，则[sin(5π6-x)+][sin2(π3-x)]=．
错解 [∵sin(x+π6)=sinxcosπ6+cosxsinπ6]
[=32sinx+12cosx=14]，
又[∵][sin2x+cos2x=1]，
解方程组，得[sinx=3-158]，[cosx=1+358.]
再将原式展开，把[sinx、cosx]的值代入. （同学们往往做到这里，就做不下去了）
分析上述解法是用常规思路求值，计算过程比较麻烦，计算量大. 本题只须先找准所求式子中的角与已知角的关系，即[5π6-x=π-(x+π6)]，[π3-x=π2-(x+π6)]，再利用诱导公式转化为求已知角的余弦值，采用整体代入思想即可.
正解 [∵][sin(x+π6)=14]，则原式可整理如下：
[sin(5π6-x)+sin2(π3-x)=sin[π-(x+π6)]+sin2[π2-(x+π6)]=sinx+π6+cos2(x+π6)=14+(1-116)=1916.]
3．定义域优先原则，容易忽视
例3分别求函数[f(x)=1-cosx+sinx1+cosx+sinx]的奇偶性和周期.
错解 [f(x)=1-(1-2sin2x2)+2sinx2cosx21+(2cos2x2-1)+2sinx2cosx2]
[=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2.]
又[∵][f(-x)=tan(-x2)=-tanx2]，
[∴][f(x)]是奇函数．
又[∵][T=π12=2π]， 故[f(x)]的周期是[2π].
分析利用公式将[f(x)]化简，是本题的突破口，得到的结果是[f(x)=tanx2]. 但在求奇偶性时，忽略了定义域优先的原则，要使函数有意义，[1+cosx+][sinx≠0]，即须满足[{xx≠2kπ-π2]且[x≠2kπ-π,][k∈Z}]，此定义域不关于原点对称，从而[f(x)]是非奇非偶函数.而[f(x)]的周期性需要根据图象来判断.
正解：要使函数有意义，则有[1+cosx+sinx≠0,]
故[x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π]，[k∈Z,]
即[f(x)]的定义域是[{xx≠2kπ-π2且x≠2kπ-π,][k∈Z}]，不关于原点对称，
故[f(x)]是非奇非偶函数．
[又f(x)=1-(1-2sin2x2)+2sinx2cosx21+(2cos2x2-1)+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2,]
由其图象特征知，[f(x)]是周期函数，
且[T=π12=2π]．
说明此题若指出函数的定义域为[(-π2,π2)]，则此函数即是奇函数.
4．产生增根，不易排除
例4设[α]是第四象限的角，若[sin3αsinα=135]，则[tan2α]=．
错解 [sin3αsinα=sin(2α+α)sinα=3sinα-4sin3αsinα=135,]
[∴][sinα(10sin2α-1)=0].
又[α]是第四象限的角，
故[sinα=-1010]，[cosα=31010]，
[∴][sin2α=-35].
[∵4kπ+3π<2α<4kπ+4π]，
故[2α]可能在第三、四象限，[cos2α=±45]，
[∴tan2α=±34]．
分析例题利用拆项[3α=2α+α]，所求问题得以求解. 但是[sinα=-1010]，[cosα=31010]时，[cos2α=][cos2α-sin2α=45]，并不是有两个值. [2α]可能在第三、四象限，求[2α]的余弦值可以避开错误,所以灵活选用公式很重要.
正解由[sin3αsinα=135]，
[∴sin2αcosα+cos2αsinαsinα=135]．
[∵2cos2α+cos2α=135]，
[∴1+2cos2α=135,∴cos2α=45]．
[∵4kπ+3π<2α<4kπ+4π]，故[2α]可能在第三、四象限．
[∴sin2α=-35] ，[∴tan2α=-34]．
5. 考虑不周，范围扩大
例5已知[sinαcosβ=34]，求[cosαsinβ]的范围.
错解 [sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ]
[=34+cosαsinβ]．
由[-1≤sin(α+β)≤1]，
得[-1≤34+cosαsinβ≤1]，
故[-74≤cosαsinβ≤14]．
分析本题看似简单但很容易出错，错解选用公式正确，但考虑欠周.题目同时出现了[sinαcosβ,][cosαsinβ]，暗示我们用[sin(α+β),sin(α-β)]. 但由于使用部分公式就可以很快得出结论，我们很容易放松警惕而考虑不全面.
正解：（前面同上）
又[∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ]
[=34-cosαsinβ]，
由[-1≤sin(α-β)≤1]，得
[-14≤cosαsinβ≤74]，
综上所述, [-14≤cosαsinβ≤14]．