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摘要 分析线性代数的课程特点和概念特点,结合线性代数的概念特点和概念教学的常见问题,讨论基本概念的常见教学法。
关键词 线性代数;基本概念;教学法
中图分类号:G642.4 文献标识码:B 文章编号:1671-489X(2010)21-0031-02
Common Teaching Methods for Basic Concepts in Linear Algebra//Zhao Weizhou
Abstract Characteristic of subject and concept in linear algebra is analyzed in this paper. Combined with the characteristic of concept and common problems in teaching, some common teaching methods are discussed for basic concepts.
Key words linear algebra; basic concept; teaching method
Author’s address Math of Section of the Second Artillery Engineering College, Xi’an, China 710025
线性代数课程是工科院校开设的一门数学基础课,其内容是研究线性空间的重要基础,为解决线性问题提供了重要工具。线性代数课程对于培养学员线性问题的求解能力和线性空间的思维能力具有重要意义。
1 线性代数的课程特点
基本概念通常是数学课程的教学重点和教学难点,深入理解基本概念是数学课程学习的前提,基本概念的教学方法将直接影响数学课程的教学效果。线性代数课程包含较多的基本概念,这些概念通常缺少必要的实际背景。此外,线性代数课程的自身特点也容易导致教学中的诸多问题。以第二炮兵工程学院开设的线性代数课程为例,该门课程在学时安排和内容讲解上具有2个特点。
1.1 学时紧张
线性代数课程教学时间一般分配为30～38学时,在这一时间内完成线性代数课程的详细讲解几乎是不可能的。为提高教学效率,即使教学实施期间严格区分了重点内容和难点内容,仍因教学时间的严重不足,导致线性代数课程的讲授无法深入进行,教学测试结果普遍反映出学员对线性空间的理解较为肤浅,知识掌握仅停留应用简单的方法进行相关计算,缺少完整的理论体系和求解线性问题的实际能力。
1.2 案例缺乏
线性代数课程主要讨论线性问题,主要是线性方程组的解法。虽然许多问题的求解都可归结为线性方程组求解,但以具体实例作为授课内容的案例组织课堂教学并非易事。究其原因,由线性方程组研究解的情况容易,而借助特定的方程组难以还原生活中的具体实例。教学过程缺乏实际案例,课堂教学容易陷入基本概念 性质 定理的教学模式,难以从建模角度培养学员分析问题和解决问题的数学能力,课堂氛围易显枯燥和乏味,难以调动学员线性代数课程学习的积极性。
2 线性代数课程基本概念的特点
线性代数的课程内容决定了基本概念具有不同于其他数学课程基本概念的特点,主要体现在3个方面。
2.1 概念多
线性代数课程包括行列式、矩阵、向量组和二次型,各章节自成体系,从不同角度进行线性问题的研究。各章节具有自成体系的概念、性质和定理,过多的基本概念增加了线性代数课程的理论教学内容,也弱化了线性代数课程的工具课特质,使得课程教学容易陷入理论教学授课模式。
2.2 概念抽象
抽象的概念几乎是所有数学课程研究的出发点,但是与其他数学课程不同的是,线性代数课程的基本概念几乎无法在实际问题中找到相应的原型,多数概念的提出是在求解过程中按照某种条件或需要给出的某种定义。
2.3 定义方式多样
线性代数课程的某些基本概念具有多种定义方式,这些定义从不同角度阐述同一概念,不少概念的定义方式相当灵活(常见于某些教材和教辅资料),学习过程容易混淆概念。
3 线性代数基本概念的教学方法
鉴于线性代数的课程特点和概念特点——缺乏生活实例和数学原型,因此通常的“开门见山式”给出概念显得内容承接不够自然,学员对概念的形成过程难以与以往知识形成必然联系。笔者认为,线性代数课程的基本概念教学可采用下面几种方法,以解决或缓解概念教学过程中出现的诸多问题。
3.1 设问式
设问式教学主要是通过合理设问,促使学员积极思考,引出章节内容,给出基本概念。该方法适用于章节内容易从某个数学问题引入的情形,合理的设问可以体现在内容回顾和问题分析上,不疑不思。通过开课前的设问,可以培养学员积极动脑的学习习惯,尽快融入课堂教学过程。线性代数课程教学基于学员的知识水平进行恰如其分的设问,学员依据问题进行必要的思考和回答,不但可以及时反映学员的知识接受情况,而且可以师生互动活跃课堂气氛,最终促进学员对基本概念的深入理解。
3.2 启发式
启发式教学可以避免开门见山给出数学概念的突然性,避免教学过程中内容的衔接不当。教学过程中不断启发学员,使之紧跟教学进程。根据教学内容启发学员充分理解基本概念的内容和意义,启发学员自行发现概念所具备的显而易见的结论(性质),通过分析,启发学员发现可能存在的一般结论(定理)。运用启发式进行线性代数基本概念的教学,重在启发学员根据实际问题构造所需的数学概念。然而,启发过程应尽可能地围绕基本概念进行环环相扣的详尽分析,帮助学员深刻理解其本质,而不仅仅停留在基本概念的内容识记上。
3.3 案例式
案例式教学主要适用于讲授内容可归结为解决某一类实际问题的情况,课堂设计以案例作为主线,从理论到方法组织教学,从案例抽象出数学概念,详细分析概念所具有的性质,最后再回到具体案例,进行相关具体方法的讨论。这一方法引出概念较为自然,讲授过程易于结合实例将抽象问题具体化,活跃课堂氛围。案例教学可以培养学员的建模思想,提高学员的数学应用能力,学员能从案例求解中逐步体会“学以致用”的特点。值得注意的是,案例式教学仍应以基本概念教学为主,而不仅仅只是为解决案例中的具体问题。案例式教学需要帮助学员认识到建立线性代数基本概念的实用性,但不能过分强调案例求解的具体过程,否则会影响线性代数课程的基本工具特性,学员会形成某一概念或方法只能解决这一具体实例的错觉。
3.4 类比式
线性代数课程的某些基本概念,是高等数学或其他数学学科中某些概念的推广;还有一些概念名称相同,却在不同问题的研究中经常出现;更有一些概念虽名称不同,却具有相同实质。将类比法应用于联系紧密的基本概念教学,不但可以避免新概念的生硬引入,又可以在课堂教学中积极引导学员复习已有的概念或知识。在旧有概念和崭新概念之间形成类比,有助于学员对相近概念进行必要的区分和联系,深入理解基本概念并改善教学效果。
3.5 其他
随着计算机逐步进入课堂,线性代数课程的某些基本概念,同样可以借助多媒体教学深入讲解。多媒体教学改善线性代数以及其他数学课程的教学效果是有目共睹的,但是绝不能完全代替板书推导,尤其是线性代数这类以计算为基础的数学学科。
4 结语
线性代数课程的基本概念是理解线性空间理论的基础,忽视基本概念教学法的研究和使用,将直接影响学员对基本概念的深入理解,无法从更深层面理解线性代数课程作为工具课的特性。此外,应用教学法应注意两个问题:一是教学法在讲授线性代数课程的基本概念时不是一成不变的,不是说某一基本概念只能用某种教学法,教学法应当是根据课堂教学的实际情况,不断调整教学的基本方法;二是教学法也不是孤立的,对某些重要概念可以借助多种教学法进行讲解,以促进学员从不同角度真正理解概念的内涵和具体应用。
参考文献
[1]同济大学数学教研室.线性代数[M].北京:高等教育出版社,1986
[2]教育部人事司.高等教育心理学[M].北京:高等教育出版社,1999
[3]李克东,谢幼如.多媒体组合教学设计[M].北京:科学出版社,1992
[4]教育部高教司.高等教学改革研究报告(非数学专业)[M].北京:高等教育出版社,2000
关键词 线性代数;基本概念;教学法
中图分类号:G642.4 文献标识码:B 文章编号:1671-489X(2010)21-0031-02
Common Teaching Methods for Basic Concepts in Linear Algebra//Zhao Weizhou
Abstract Characteristic of subject and concept in linear algebra is analyzed in this paper. Combined with the characteristic of concept and common problems in teaching, some common teaching methods are discussed for basic concepts.
Key words linear algebra; basic concept; teaching method
Author’s address Math of Section of the Second Artillery Engineering College, Xi’an, China 710025
线性代数课程是工科院校开设的一门数学基础课,其内容是研究线性空间的重要基础,为解决线性问题提供了重要工具。线性代数课程对于培养学员线性问题的求解能力和线性空间的思维能力具有重要意义。
1 线性代数的课程特点
基本概念通常是数学课程的教学重点和教学难点,深入理解基本概念是数学课程学习的前提,基本概念的教学方法将直接影响数学课程的教学效果。线性代数课程包含较多的基本概念,这些概念通常缺少必要的实际背景。此外,线性代数课程的自身特点也容易导致教学中的诸多问题。以第二炮兵工程学院开设的线性代数课程为例,该门课程在学时安排和内容讲解上具有2个特点。
1.1 学时紧张
线性代数课程教学时间一般分配为30～38学时,在这一时间内完成线性代数课程的详细讲解几乎是不可能的。为提高教学效率,即使教学实施期间严格区分了重点内容和难点内容,仍因教学时间的严重不足,导致线性代数课程的讲授无法深入进行,教学测试结果普遍反映出学员对线性空间的理解较为肤浅,知识掌握仅停留应用简单的方法进行相关计算,缺少完整的理论体系和求解线性问题的实际能力。
1.2 案例缺乏
线性代数课程主要讨论线性问题,主要是线性方程组的解法。虽然许多问题的求解都可归结为线性方程组求解,但以具体实例作为授课内容的案例组织课堂教学并非易事。究其原因,由线性方程组研究解的情况容易,而借助特定的方程组难以还原生活中的具体实例。教学过程缺乏实际案例,课堂教学容易陷入基本概念 性质 定理的教学模式,难以从建模角度培养学员分析问题和解决问题的数学能力,课堂氛围易显枯燥和乏味,难以调动学员线性代数课程学习的积极性。
2 线性代数课程基本概念的特点
线性代数的课程内容决定了基本概念具有不同于其他数学课程基本概念的特点,主要体现在3个方面。
2.1 概念多
线性代数课程包括行列式、矩阵、向量组和二次型,各章节自成体系,从不同角度进行线性问题的研究。各章节具有自成体系的概念、性质和定理,过多的基本概念增加了线性代数课程的理论教学内容,也弱化了线性代数课程的工具课特质,使得课程教学容易陷入理论教学授课模式。
2.2 概念抽象
抽象的概念几乎是所有数学课程研究的出发点,但是与其他数学课程不同的是,线性代数课程的基本概念几乎无法在实际问题中找到相应的原型,多数概念的提出是在求解过程中按照某种条件或需要给出的某种定义。
2.3 定义方式多样
线性代数课程的某些基本概念具有多种定义方式,这些定义从不同角度阐述同一概念,不少概念的定义方式相当灵活(常见于某些教材和教辅资料),学习过程容易混淆概念。
3 线性代数基本概念的教学方法
鉴于线性代数的课程特点和概念特点——缺乏生活实例和数学原型,因此通常的“开门见山式”给出概念显得内容承接不够自然,学员对概念的形成过程难以与以往知识形成必然联系。笔者认为,线性代数课程的基本概念教学可采用下面几种方法,以解决或缓解概念教学过程中出现的诸多问题。
3.1 设问式
设问式教学主要是通过合理设问,促使学员积极思考,引出章节内容,给出基本概念。该方法适用于章节内容易从某个数学问题引入的情形,合理的设问可以体现在内容回顾和问题分析上,不疑不思。通过开课前的设问,可以培养学员积极动脑的学习习惯,尽快融入课堂教学过程。线性代数课程教学基于学员的知识水平进行恰如其分的设问,学员依据问题进行必要的思考和回答,不但可以及时反映学员的知识接受情况,而且可以师生互动活跃课堂气氛,最终促进学员对基本概念的深入理解。
3.2 启发式
启发式教学可以避免开门见山给出数学概念的突然性,避免教学过程中内容的衔接不当。教学过程中不断启发学员,使之紧跟教学进程。根据教学内容启发学员充分理解基本概念的内容和意义,启发学员自行发现概念所具备的显而易见的结论(性质),通过分析,启发学员发现可能存在的一般结论(定理)。运用启发式进行线性代数基本概念的教学,重在启发学员根据实际问题构造所需的数学概念。然而,启发过程应尽可能地围绕基本概念进行环环相扣的详尽分析,帮助学员深刻理解其本质,而不仅仅停留在基本概念的内容识记上。
3.3 案例式
案例式教学主要适用于讲授内容可归结为解决某一类实际问题的情况,课堂设计以案例作为主线,从理论到方法组织教学,从案例抽象出数学概念,详细分析概念所具有的性质,最后再回到具体案例,进行相关具体方法的讨论。这一方法引出概念较为自然,讲授过程易于结合实例将抽象问题具体化,活跃课堂氛围。案例教学可以培养学员的建模思想,提高学员的数学应用能力,学员能从案例求解中逐步体会“学以致用”的特点。值得注意的是,案例式教学仍应以基本概念教学为主,而不仅仅只是为解决案例中的具体问题。案例式教学需要帮助学员认识到建立线性代数基本概念的实用性,但不能过分强调案例求解的具体过程,否则会影响线性代数课程的基本工具特性,学员会形成某一概念或方法只能解决这一具体实例的错觉。
3.4 类比式
线性代数课程的某些基本概念,是高等数学或其他数学学科中某些概念的推广;还有一些概念名称相同,却在不同问题的研究中经常出现;更有一些概念虽名称不同,却具有相同实质。将类比法应用于联系紧密的基本概念教学,不但可以避免新概念的生硬引入,又可以在课堂教学中积极引导学员复习已有的概念或知识。在旧有概念和崭新概念之间形成类比,有助于学员对相近概念进行必要的区分和联系,深入理解基本概念并改善教学效果。
3.5 其他
随着计算机逐步进入课堂,线性代数课程的某些基本概念,同样可以借助多媒体教学深入讲解。多媒体教学改善线性代数以及其他数学课程的教学效果是有目共睹的,但是绝不能完全代替板书推导,尤其是线性代数这类以计算为基础的数学学科。
4 结语
线性代数课程的基本概念是理解线性空间理论的基础,忽视基本概念教学法的研究和使用,将直接影响学员对基本概念的深入理解,无法从更深层面理解线性代数课程作为工具课的特性。此外,应用教学法应注意两个问题:一是教学法在讲授线性代数课程的基本概念时不是一成不变的,不是说某一基本概念只能用某种教学法,教学法应当是根据课堂教学的实际情况,不断调整教学的基本方法;二是教学法也不是孤立的,对某些重要概念可以借助多种教学法进行讲解,以促进学员从不同角度真正理解概念的内涵和具体应用。
参考文献
[1]同济大学数学教研室.线性代数[M].北京:高等教育出版社,1986
[2]教育部人事司.高等教育心理学[M].北京:高等教育出版社,1999
[3]李克东,谢幼如.多媒体组合教学设计[M].北京:科学出版社,1992
[4]教育部高教司.高等教学改革研究报告(非数学专业)[M].北京:高等教育出版社,2000