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[摘 要] 如何真正提升学生的解题能力是我们当下需要深入研究的新课题. 解题能力，出发点在题目，因此，对典型例题进行深度分析，挖掘其价值，扩大其效益，变通其形式，是一种非常有效的方法和策略.
[关键词] 递进；薄弱；思维；解题能力
初中数学知识具有数量多、分散广、变化活等特点，这些特征让很多学生无法把握难点，在一些综合性问题的应用过程中感觉无从下手，这也是让很多学生感到知识接受困难的原因所在，也是教师们在开展教学活动时的关键着眼点. 对于数学知识与技能，似乎很难将其内容一一罗列出来，因为它的变化可能性太多了，综合性也比较强. 既然如此，我们就需要转换思维对其进行分析. 正所谓“万变不离其宗”，数学知识的变化一定是按照其内在规律和基本起点进行的，如果我们能够抓住这个核心内容，便可以提纲挈领地将整个知识体系予以掌握. 例题在数学教学过程当中就起到了这样的重要作用.
逐层递进，搭建问题梯度
例题经常会被运用在新知识的首次呈现过程中. 由于每个学生的知识基础与接受能力存在差异，对于以新知识为内容的例题自然也会产生不同的感知. 这时，如果教师只在例题当中为学生提供唯一的接受选择，难免会造成不同能力水平的学生无法找到真正适合自己的学习训练平台，进而造成知识学习效果的弱化. 因此，在课堂上设置有一定难度、梯度的例题便显得尤为重要.
例如，在对抛物线内容进行深度讲解时，笔者采用了这样一道例题：
如图1，抛物线过直角坐标系的原点O和x轴上一点A，其对称轴是x=2，且与x轴交于点C. 直线y=-2x-1经过抛物线上的点B（-2，m），且与y轴及x=2分别交于点D和点E.
（1）求m的值及抛物线的函数解析式；
（2）求证：BC=CE，且点D是BE的中点；
（3）若点P（x，y）是抛物线上的动点，是否存在合适的点P使得BP=EP？
这道例题呈现出了十分明显的难度梯度，解答问题的同时，学生们的思维能力自然而然地随之深化了.
问题梯度的存在对于数学教学来讲具有三个方面的意义：第一，将一个难度较大的问题划分为几个层次分别呈现出来，无形之中缩小了每一个问题之间的难度差距，学生接受起来也就更加轻松，不但能激发学生的参与兴趣，还能满足班级不同层面学生的需求，能真正达成隐性分层的效果. 第二，分梯度的问题为学生们的知识接受提供了更多选择，大家可以根据自己的现有能力去选择相应问题进行解答，既能实现能力的有效提升，又不致由于问题难度过大而打击信心. 第三，问题的分层递进无形之中也暗示了这类问题的解决方法，让学生学会将一个较为复杂的问题分解成几个简单的问题，从问题的根源慢慢挖掘、分析，以此达成方法建构的效果.
找寻捷径，提高解题效率
随着初中数学知识的逐步加深，复杂的问题出现得越来越多. 笔者将学生认为困难或错误率较高的问题进行总结后发现，学生之所以会出现解题错误，很大一部分原因在于没有找到解题捷径. 特别是对于一些计算类型的问题来说，“绕路走”往往会增加很大的错误风险.
例如，学习因式分解的内容时，笔者以（x2-3x 2）（x2-3x-4）-72为例向大家进行了讲解. 面对这道题，我没有让学生立刻动手计算，而是先耐心观察，寻找其中的特点. 果然，大家发现，在两个括号当中，（x2-3x 2）可以视为一个共有的整体，以此为基础进行十字相乘. 于是，学生试着将（x2-3x 2）设为t，原式则转化为t（t-6）-72，进而展开后得t2-6t-72. 这便成为学生所熟悉的因式分解类型，问题自然迎刃而解. 相比于直接将题目当中的两个括号相乘展开成四次多项式再进行分解，这个方法显然快捷得多.
解答数学问题的捷径多种多样，教师不可能将所有的技巧向学生讲述完全. 教师要给予学生的，是发现捷径的眼睛，让学生学会用自己的思维去分析、筛选方法，并选择一种最适合的方法去解决相应的问题. 如果学生都能从每一道典型例题当中总结出一个解题方法，日积月累下来，将是极大的财富，同时，学生的解题能力也会逐渐得到提升.
找准失误，修补薄弱环节
一道例题提出之后，把它的答案解出来就结束了吗？当然不是. 例题不仅仅是对所学知识进行实践练习的工具，更是建立完善相应知识体系的绝佳契机. 如果教师能够带领学生以这个更高的视角对例题的作用进行认知，那么对于高效运用例题、有效强化数学问题解答，很有好处.
例如，在对圆的内容进行教学时，笔者以这样一道例题予以强调：在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在平面内作圆，那么，当圆O与坐标轴有1个、2个、3个、4个交点时，r所对应的取值情况分别是怎样的？这个问题看似简单，却不容易答对，特别是在后两个问题的解答中，很多学生没有将情况考虑完全. 问题解答完毕后，笔者特别对此进行了分析，并引导大家找到出现错误的原因. 在圆的问题分析中，对基本概念的理解以及数形结合方法的运用，得到了大家的关注.
对例题的解答一定不会总是一帆风顺. 无论学生最终能否将例题正确地解答出来，其中所出现的困惑疑难之处都应当被教师捕捉并加以关注，这将是促进学生解题能力提升的关键所在. 让学生经历失败、分析失败、战胜失败，才能真正让失败成为成功之母. 在学习时，教师一定要引导学生不要过多地关注自己会什么，而应勇敢地面对自己不会什么. 通过对例题解答过程当中出现的薄弱环节进行分析与强化，能让学生的学习弱点得到及时弥补，并从中总结出更为凝练的问题解答方法，教学效果远比单纯地引导学生解答问题要理想得多.
学以致用，以生活释理论
在数学知识的教授过程中，时常会谈到生活的元素. 在实际生活当中，也总是可以找到数学知识的影子. 这不仅表明了数学理论与实际生活当中的密切联系，更明确了在数学的理论学习当中渗透实际生活的重要性. 这也为教师的例题选择提供了指引，即只有在例题当中融入实际生活的内容，才是完整、有效的. 也只有这样，才能让学生感受到数学学习的价值所在，更能激发学生对数学的内在学习动力. 例如，在对一元二次方程的内容进行教学时，笔者向同学们提出了这样一个问题：小张所在的公司在每年一月份都会给员工涨月工资. 小张2008年的月工资是2000元，到了2010年，涨到了2420元，且2011年的月工资继续按照2008年到2010年的月工资平均增长率增长. 那么，小张2011年的月工资是多少？这道例题的难度并不算太大，但其解答思路却非常明确地指向了一元二次方程. 通过将月工资的平均增长率设为x，列出方程2000（1 x）2=2420之后，问题顺利求解，这也是数学理论知识在实际生活当中的直接体现.
加入生活元素之后，原本抽象枯燥的数学理论一下子具体、灵动起来了. 实际生活以其特有的方式阐释了理论的内涵，并向学生指明了拓展知识视野的方向. 在实际生活的辅助之下，学生以全新的视角认知了理论知识，并在解决实际问题的同时延伸了思维，实现了理论方法的灵活适用.
提炼总结，提升思维水平
例题之所以能够成为当前所学知识内容的示范，就是因为其中具有比较明确的代表性. 这种代表性不仅表现在知识内容本身，还有其背后的思维方法. 初中阶段的学生还没有形成成熟、完善的数学思想，很少能够站在宏观角度总结解题规律，这也是解题效率不高的原因之一. 教师们正好可以从例题入手，提炼总结，为学生的解题打开捷径.
例如，在带领学生学习了全等三角形的基本知识内容后，笔者请同学们尝试思考这样一道例题：
如图2，在△ABC中，∠CAB=60°，∠BCA=40°，点P和点Q分别为BC，AC上的点，且PA，QB分别为∠CAB和∠CBA的平分线. 求证：QB QA=BA BP.
这个问题的证明过程采取了延长AB至点E使BE=BP，连接PE的辅助线构造方法，通过证明△APC和△APE全等得出AC=AE，进而将相等线段进行转换，结论得证. 从这个问题当中可以总结出，当需要证明线段之间的和、差以及倍数关系时，将长线段进行分解或将短线段加长，是一个管用的规律性方法.
可以说，只有抓住每一道例题，将其中的思想方法总结出来，才算是将这道题真正解答明白了. 这个过程也将学生的思维水平提升到了一个新高度. 将这种思想用于具体问题的解答当中，无疑是一种效果的升华.
以具体问题阐述知识内容，是初中阶段数学课堂教学当中，经常会运用到的方式. 然而，验证理论知识并不是例题存在的全部意义，它在呈现代表性知识内容、为灵活的数学变化提供根本依据当中也起到了决定性作用，这不仅完善了我们对于数学例题价值的认知，更为教师们的例题选择与设计提供了更多启示. 我们一定要尽可能地让例题的示范性作用达到最大化，让同学们在掌握了一道例题之后，便可以对相关的整个知识链有所感知，并以例题为抓手，实现知识内容学习的深入与知识能力的提升.
[关键词] 递进；薄弱；思维；解题能力
初中数学知识具有数量多、分散广、变化活等特点，这些特征让很多学生无法把握难点，在一些综合性问题的应用过程中感觉无从下手，这也是让很多学生感到知识接受困难的原因所在，也是教师们在开展教学活动时的关键着眼点. 对于数学知识与技能，似乎很难将其内容一一罗列出来，因为它的变化可能性太多了，综合性也比较强. 既然如此，我们就需要转换思维对其进行分析. 正所谓“万变不离其宗”，数学知识的变化一定是按照其内在规律和基本起点进行的，如果我们能够抓住这个核心内容，便可以提纲挈领地将整个知识体系予以掌握. 例题在数学教学过程当中就起到了这样的重要作用.
逐层递进，搭建问题梯度
例题经常会被运用在新知识的首次呈现过程中. 由于每个学生的知识基础与接受能力存在差异，对于以新知识为内容的例题自然也会产生不同的感知. 这时，如果教师只在例题当中为学生提供唯一的接受选择，难免会造成不同能力水平的学生无法找到真正适合自己的学习训练平台，进而造成知识学习效果的弱化. 因此，在课堂上设置有一定难度、梯度的例题便显得尤为重要.
例如，在对抛物线内容进行深度讲解时，笔者采用了这样一道例题：
如图1，抛物线过直角坐标系的原点O和x轴上一点A，其对称轴是x=2，且与x轴交于点C. 直线y=-2x-1经过抛物线上的点B（-2，m），且与y轴及x=2分别交于点D和点E.
（1）求m的值及抛物线的函数解析式；
（2）求证：BC=CE，且点D是BE的中点；
（3）若点P（x，y）是抛物线上的动点，是否存在合适的点P使得BP=EP？
这道例题呈现出了十分明显的难度梯度，解答问题的同时，学生们的思维能力自然而然地随之深化了.
问题梯度的存在对于数学教学来讲具有三个方面的意义：第一，将一个难度较大的问题划分为几个层次分别呈现出来，无形之中缩小了每一个问题之间的难度差距，学生接受起来也就更加轻松，不但能激发学生的参与兴趣，还能满足班级不同层面学生的需求，能真正达成隐性分层的效果. 第二，分梯度的问题为学生们的知识接受提供了更多选择，大家可以根据自己的现有能力去选择相应问题进行解答，既能实现能力的有效提升，又不致由于问题难度过大而打击信心. 第三，问题的分层递进无形之中也暗示了这类问题的解决方法，让学生学会将一个较为复杂的问题分解成几个简单的问题，从问题的根源慢慢挖掘、分析，以此达成方法建构的效果.
找寻捷径，提高解题效率
随着初中数学知识的逐步加深，复杂的问题出现得越来越多. 笔者将学生认为困难或错误率较高的问题进行总结后发现，学生之所以会出现解题错误，很大一部分原因在于没有找到解题捷径. 特别是对于一些计算类型的问题来说，“绕路走”往往会增加很大的错误风险.
例如，学习因式分解的内容时，笔者以（x2-3x 2）（x2-3x-4）-72为例向大家进行了讲解. 面对这道题，我没有让学生立刻动手计算，而是先耐心观察，寻找其中的特点. 果然，大家发现，在两个括号当中，（x2-3x 2）可以视为一个共有的整体，以此为基础进行十字相乘. 于是，学生试着将（x2-3x 2）设为t，原式则转化为t（t-6）-72，进而展开后得t2-6t-72. 这便成为学生所熟悉的因式分解类型，问题自然迎刃而解. 相比于直接将题目当中的两个括号相乘展开成四次多项式再进行分解，这个方法显然快捷得多.
解答数学问题的捷径多种多样，教师不可能将所有的技巧向学生讲述完全. 教师要给予学生的，是发现捷径的眼睛，让学生学会用自己的思维去分析、筛选方法，并选择一种最适合的方法去解决相应的问题. 如果学生都能从每一道典型例题当中总结出一个解题方法，日积月累下来，将是极大的财富，同时，学生的解题能力也会逐渐得到提升.
找准失误，修补薄弱环节
一道例题提出之后，把它的答案解出来就结束了吗？当然不是. 例题不仅仅是对所学知识进行实践练习的工具，更是建立完善相应知识体系的绝佳契机. 如果教师能够带领学生以这个更高的视角对例题的作用进行认知，那么对于高效运用例题、有效强化数学问题解答，很有好处.
例如，在对圆的内容进行教学时，笔者以这样一道例题予以强调：在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在平面内作圆，那么，当圆O与坐标轴有1个、2个、3个、4个交点时，r所对应的取值情况分别是怎样的？这个问题看似简单，却不容易答对，特别是在后两个问题的解答中，很多学生没有将情况考虑完全. 问题解答完毕后，笔者特别对此进行了分析，并引导大家找到出现错误的原因. 在圆的问题分析中，对基本概念的理解以及数形结合方法的运用，得到了大家的关注.
对例题的解答一定不会总是一帆风顺. 无论学生最终能否将例题正确地解答出来，其中所出现的困惑疑难之处都应当被教师捕捉并加以关注，这将是促进学生解题能力提升的关键所在. 让学生经历失败、分析失败、战胜失败，才能真正让失败成为成功之母. 在学习时，教师一定要引导学生不要过多地关注自己会什么，而应勇敢地面对自己不会什么. 通过对例题解答过程当中出现的薄弱环节进行分析与强化，能让学生的学习弱点得到及时弥补，并从中总结出更为凝练的问题解答方法，教学效果远比单纯地引导学生解答问题要理想得多.
学以致用，以生活释理论
在数学知识的教授过程中，时常会谈到生活的元素. 在实际生活当中，也总是可以找到数学知识的影子. 这不仅表明了数学理论与实际生活当中的密切联系，更明确了在数学的理论学习当中渗透实际生活的重要性. 这也为教师的例题选择提供了指引，即只有在例题当中融入实际生活的内容，才是完整、有效的. 也只有这样，才能让学生感受到数学学习的价值所在，更能激发学生对数学的内在学习动力. 例如，在对一元二次方程的内容进行教学时，笔者向同学们提出了这样一个问题：小张所在的公司在每年一月份都会给员工涨月工资. 小张2008年的月工资是2000元，到了2010年，涨到了2420元，且2011年的月工资继续按照2008年到2010年的月工资平均增长率增长. 那么，小张2011年的月工资是多少？这道例题的难度并不算太大，但其解答思路却非常明确地指向了一元二次方程. 通过将月工资的平均增长率设为x，列出方程2000（1 x）2=2420之后，问题顺利求解，这也是数学理论知识在实际生活当中的直接体现.
加入生活元素之后，原本抽象枯燥的数学理论一下子具体、灵动起来了. 实际生活以其特有的方式阐释了理论的内涵，并向学生指明了拓展知识视野的方向. 在实际生活的辅助之下，学生以全新的视角认知了理论知识，并在解决实际问题的同时延伸了思维，实现了理论方法的灵活适用.
提炼总结，提升思维水平
例题之所以能够成为当前所学知识内容的示范，就是因为其中具有比较明确的代表性. 这种代表性不仅表现在知识内容本身，还有其背后的思维方法. 初中阶段的学生还没有形成成熟、完善的数学思想，很少能够站在宏观角度总结解题规律，这也是解题效率不高的原因之一. 教师们正好可以从例题入手，提炼总结，为学生的解题打开捷径.
例如，在带领学生学习了全等三角形的基本知识内容后，笔者请同学们尝试思考这样一道例题：
如图2，在△ABC中，∠CAB=60°，∠BCA=40°，点P和点Q分别为BC，AC上的点，且PA，QB分别为∠CAB和∠CBA的平分线. 求证：QB QA=BA BP.
这个问题的证明过程采取了延长AB至点E使BE=BP，连接PE的辅助线构造方法，通过证明△APC和△APE全等得出AC=AE，进而将相等线段进行转换，结论得证. 从这个问题当中可以总结出，当需要证明线段之间的和、差以及倍数关系时，将长线段进行分解或将短线段加长，是一个管用的规律性方法.
可以说，只有抓住每一道例题，将其中的思想方法总结出来，才算是将这道题真正解答明白了. 这个过程也将学生的思维水平提升到了一个新高度. 将这种思想用于具体问题的解答当中，无疑是一种效果的升华.
以具体问题阐述知识内容，是初中阶段数学课堂教学当中，经常会运用到的方式. 然而，验证理论知识并不是例题存在的全部意义，它在呈现代表性知识内容、为灵活的数学变化提供根本依据当中也起到了决定性作用，这不仅完善了我们对于数学例题价值的认知，更为教师们的例题选择与设计提供了更多启示. 我们一定要尽可能地让例题的示范性作用达到最大化，让同学们在掌握了一道例题之后，便可以对相关的整个知识链有所感知，并以例题为抓手，实现知识内容学习的深入与知识能力的提升.