摘 要：近年来全国各地高考数学试题，考查不等式恒成立的试题非常普遍。这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识点交汇等特点。
　　关键词：不等式；恒成立；参数
　　不等式恒成立的考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围。笔者结合自己教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法与注意点。
　　一、不等式恒成立问题的处理方法
　　1.解出参数，等价转化成最值问题
　　例1 对于x∈R，不等式x2-2x-1-a≥0恒成立，求实数a的取值范围.
　　解：等价转化为a≤x2-2x-1恒成立.令f（x）=x2-2x-1，只要a小于等于f（x）=x2-2x-1在x∈R上的最小值即可.所以a≤-2.
　　评注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于x取值范围内的任一个数都有f（x）≥g（a）恒成立，则g（a）≤f（x）min；若对于x取值范围内的任一个数都有f（x）≤g（a）恒成立，则g（a）≥f（x）max.其实这个思想的本质是来源于数形结合，分离参数后，我们将不等式两边构造两个函数，左边是常数函数y=a，右边是二次函数y=f（x）=x2-2x-1，要使得不等式恒成立，从图象上看，只要a小于等于f（x）=x2-2x-1在x∈R的最小值即可.
　　2.转化成函数问题来解决
　　再看例1，令f（x）=x2-2x-1-a，只要f（x）=x2-2x-1-a在x∈R上的最小值大于等于即可.所以f（x）min=-2-a≥0，即a≤-2.
　　上面讲的两种方法是求不等式恒成立中最常用、最重要的两种方法。对于例1，这两种方法都可用，而且解题的复杂程度差不多，但一般考试中，方法的选用会影响到解题的速度，下面我们将例1稍加变形.
　　例2 对于x∈[-1，1]，不等式x2-2ax+a2≥0恒成立，求实数a的取值范围.
　　这样变形之后是不可以分离参数a的，那只能转化成函数问题来解决.
　　评注：当拿到一个恒成立问题时，可以先看一下可不可以采用分离参数，如果可以而且不需要对变量进行讨论，那就采用分离参数的思想方法，如果不能进行分离参数或者分离参数需要对变量进行讨论的，那我们就转化成函数问题来解决。
　　3.数形结合
　　若不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围。
　　例3 不等式x2-logax<0，在x∈（0，■）时恒成立，求a的取值范围.
　　分析：此不等式很明显用上述两种方法都不太好解决，那么这是一个超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设f（x）=x2，g（x）=logax，然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察，只要在x∈（0，■）上，f（x）的图象恒在g（x）圖象的下方即可。
　　当a>1时，显然是不可能的；
　　当0　　由图象得，f（■）≤g（■），即■≤loga■，即■≤a<1.
　　评注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图象的上下位置关系来确定参数的范围。利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象。
　　二、不等式恒成立问题的注意点
　　在恒成立问题中，还有一个重要的问题：搞清楚哪个是变量，哪个是参数。
　　例4 已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
　　若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围。
　　解：此题涉及两个恒成立，需一个一个依次解决。
　　先是f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]恒成立，那么自变量是x，而t，a是参数，所以只要t2-2at+1≥f（x）max=f（1）=1，即t2-2at≥0.
　　接下来是t2-2at≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，那么自变量是a，而t是参数，因为这里不好分离参数，我们构造函数g（a）=t2-2at，只要g（a）min≥0即可.
　　（1）t>0g（a）min=g（1）=t2-2t≥0？圯t>2；
　　（2）t=0恒成立，符合；
　　（3）t<1g（a）min=g（-1）=t2+2t≥0？圯t<-2.
　　综上所述，t<-2或t=0或t>2.
　　当然这里我们也可以采用数形结合，利用一次型函数图像的特点，只要g（1）≥0g（-1）≥0即可.
　　评注：在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数。
　　参考文献：
　　孟凡栋.恒成立型不等式中参数范围的几种求法[J].数学教学通讯，2004，（01）.