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我国著名数学家华罗庚说过:“形缺数时难入微,数缺形时少直观”,面对一个比较复杂的、比较抽象的代数问题,如果我们能构造几何模型,变“数”为“形”,用图形的办法,把它描述刻画出来,把数量关系的问题转化为图形性质和位置关系的问题,会使这个对象简明、形象,更容易理解,有助于探索解决问题的思路,这就是解题攻略之“变形“计,下举几例说明.
一、变多元等式问题为两条曲线的位置关系
解题攻略反思:该题涉及到三个变量,用代数法处理有些棘手,我们首先设b=x,c=y,把a看成是参系数,这样问题就转化为含参数的二元方程组有解的问题,进一步转化为直线与圆的位置关系问题,利用几何法较容易得到问题的解.
问题转化为:求直线y=x 2上的点到曲线y=-x2 3lnx的最小距离的平方.
如图,利用导数法易求得最小距离为:22,
所以本题答案为8.
解题攻略反思:此题含有四个参数,观察已知条件和所求的目标式把四个参数两两分组,再分别看成是两个动点的坐标,而这两个动点又分别在两条已知曲线上,这样问题就巧妙转化为同学们非常熟悉的“两条曲线上点的最小距离问题”,这时导数法就可以使用了!
二、变向量的模为两点间的距离
解题攻略反思:本题首先利用坐标法将向量问题转化为代数问题,再利用几何意义转化为求圆上一点到原点的距离的最大最小问题,从而使问题顺利解决.
三、变不等式问题为线性规划问题
解题攻略反思:本题通过换元巧妙地把问题转化为约束条件下求目标函数的最值,把一个较难的不等式条件下最值问题变成一个较容易的线性规划问题,利用几何意义加以解决.
四、变问题为平面几何中的对称问题
由此问题转化为:在线段AB上取一点C,使MC NC最小.
利用对称性问题得以轻松的解决.答案应为13.
解题攻略反思:本题有点儿那种“数缺形时少直观”的感觉.而且用纯代数方法不易寻得解题思路,而如果变数为形,构造展示题目特点的图形,则可轻松获解.
五、变数列问题为函数图象问题
解题攻略反思:此题可以从代数角度加以解决,但是其中的运算与化简要费一定的功夫.若能从“形”的角度审视,利用图象的对称性,就可以避免较繁琐的运算,较轻松的得到结果.
在解题过程中我们多角度的思考问题,养成多维的思考习惯.面对一个问题时,要注意从问题的多元表征思考.比如有些问题如果从数的角度考虑就会很难下手,但是我们转换角度,从它的图形表征去考虑,把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,一句话就是“变数为形,化难为易”,使问题迎刃而解.
一、变多元等式问题为两条曲线的位置关系
解题攻略反思:该题涉及到三个变量,用代数法处理有些棘手,我们首先设b=x,c=y,把a看成是参系数,这样问题就转化为含参数的二元方程组有解的问题,进一步转化为直线与圆的位置关系问题,利用几何法较容易得到问题的解.
问题转化为:求直线y=x 2上的点到曲线y=-x2 3lnx的最小距离的平方.
如图,利用导数法易求得最小距离为:22,
所以本题答案为8.
解题攻略反思:此题含有四个参数,观察已知条件和所求的目标式把四个参数两两分组,再分别看成是两个动点的坐标,而这两个动点又分别在两条已知曲线上,这样问题就巧妙转化为同学们非常熟悉的“两条曲线上点的最小距离问题”,这时导数法就可以使用了!
二、变向量的模为两点间的距离
解题攻略反思:本题首先利用坐标法将向量问题转化为代数问题,再利用几何意义转化为求圆上一点到原点的距离的最大最小问题,从而使问题顺利解决.
三、变不等式问题为线性规划问题
解题攻略反思:本题通过换元巧妙地把问题转化为约束条件下求目标函数的最值,把一个较难的不等式条件下最值问题变成一个较容易的线性规划问题,利用几何意义加以解决.
四、变问题为平面几何中的对称问题
由此问题转化为:在线段AB上取一点C,使MC NC最小.
利用对称性问题得以轻松的解决.答案应为13.
解题攻略反思:本题有点儿那种“数缺形时少直观”的感觉.而且用纯代数方法不易寻得解题思路,而如果变数为形,构造展示题目特点的图形,则可轻松获解.
五、变数列问题为函数图象问题
解题攻略反思:此题可以从代数角度加以解决,但是其中的运算与化简要费一定的功夫.若能从“形”的角度审视,利用图象的对称性,就可以避免较繁琐的运算,较轻松的得到结果.
在解题过程中我们多角度的思考问题,养成多维的思考习惯.面对一个问题时,要注意从问题的多元表征思考.比如有些问题如果从数的角度考虑就会很难下手,但是我们转换角度,从它的图形表征去考虑,把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,一句话就是“变数为形,化难为易”,使问题迎刃而解.