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摘要：在初中数学课堂教学中，学生学习中的错误形形色色，我们要允许学生出错，理解他们错误生成的根本所在，小心呵护，重视错误带来的教育价值，并巧妙利用错误，使其成为宝贵的课堂衍生资源，提高学生的学习能力。
关键词：错误；课堂；初中数学
中图分类号：G631文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）21-089-2
俗话说：“人无完人，金无足赤。”作为教师，要允许学生在课堂上出错。并将错误作为一种促进学生情感发展、智力发展的教育资源，正确地、巧妙地加以利用。在初中数学教学实践中，我们要重视错误带来的教育价值，进行有益的探索与实践，引发思维碰撞，促进动态生成，变“废”为“宝”。
在课堂教学中，学生的错误既能让学生在思维能力、情感态度方面得到很好的训练，又能让他们感受到如何去认识和理解错误。教师应在教学中有意识创造一些让学生暴露错误的机会，引起学生的思维碰撞，让学生在错误中理解和感悟知识。只有这样，才能更好的加深印象，减少错误的再次发生。
一、理解错误生成的根本所在
课堂错误分成：预设生成性错误，非预设生成性错误。
预设生成性错误，指教师在备课时，以逆向思维的角度切入教学，有意给学生设计错误，设置一些思维“陷阱”。这类错误是教师有意识地激发学生去探究、思考、辨析、比较的一种教学策略，从而帮助学生更好地理解知识。音乐界有这样一个故事，世界著名指挥家小泽征尔当初参加一次世界性的比赛时，曾连续三次中断了指挥，因为他认定乐谱中出现了“错误”。其实，这正是评委们故意设下的“陷阱”。事实上，对这个“陷阱”的大胆否定，正验证了小泽征尔作为音乐指挥家的真正实力。教师也应善于恰当设置一些这样的“陷阱”，让学生在这种真实、饶有兴趣的考验中摔打，这样，他们的选择、质疑、批判能力将会得到很大的提高。
非预设生成性错误，是学生在课堂学习活动中，由于遗忘、粗心、理解不到位、表述不严密、基础能力差异等因素而出现的错误。课堂教学是一个动态生成的过程，学生的学习错误具有不可预见性，而这样的错误又往往是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，则能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。
所以，理解错误，了解错误是教师在课堂教学中的根本所在。唯有此，教师方能在课堂上挥洒自如地利用错误资源，运筹帷幄。
（一）寻找错因，精心预设
要合理有效地利用课堂上出现的错误资源，需要教师对错误要有足够的预见性，如果教师在之前不能预见学生可能走上哪些岔道，也就不能保证教师在课堂上产生错误的“瞬间”，能准确把握错误的价值，采用积极的应对策略，引发学生的认知冲突，激起学生的求知欲和探索心向，与老师、同学发生思维的碰撞，在讨论中明晰错误中存在的问题，找到出错的原因。因此，教师有必要对课堂上出现的错误进行分类整理，并且深入地分析错误出现的原因，根据原因来思考采用什么具体的方法将错误暴露给学生并引导学生进行讨论。
（二）理解错误，让错误生存
互相支持的课堂是学习错误资源化的重要保证。错误的价值有时并不在于错误本身，而在于通过师生的活动促进相互的发展。我们应该积极营造一个互相支持的、真实的课堂，理解错误，给错误以一席之地。
1.善于倾听，发现错误的价值
“教育成功的秘密在于尊重。”面对学生的错误，首先要做的就是倾听，了解其内在的想法，有时学生的思维角度、思维方式和思考过程比错误的答案本身更有价值，学生犯错的过程其实也是一种尝试和创新的过程。
2.循循善诱，收获错误的精彩
学生的不少错误直接暴露了学生的思维状况和真切体验。如能顺藤摸瓜，从发展的角度认识这些错误的价值，围绕错误展开非预设性“生成教学”，则能收获意料之外的“精彩”。
二、小心呵护错误，重视错误的教育价值
教师要以宽容的心态尊重和保护学生的自尊。学生在学习时产生“错误”总是有原因的。教师对“错误”的宽容就是对学生尊严的一种保护，如果“错误”让学生产生羞耻感，学生纯洁的心灵就会留下阴影。教师对学生“错误”的点评，要让大家都清楚，这样的失误大家都有可能发生，情有可原，但要引起警惕。在可能的情况下，教师要尽量利用错误，把学生的“错误”转化为可贵的教学资源，这是对学生最大的尊重。
数学学习是不断地提出假设、修正假设并逐渐完善的过程。从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习中某个阶段的水平，而不能代表其最终的水平。正是对于错误的不断出现与修正，才使学生的能力不断提高。教师只有具备这样的心理承受能力和宽容态度，才会耐心寻找学生解题错误的原因，并做出恰当处理。教师对待“错误”的宽容态度能使学生得到潜移默化的情感、态度、价值观教育。师生间心平气和地讨论“错误”的对话，能让学生体会到人格尊严的神圣和礼貌待人的意义。最重要的是教师对待“错误”的宽容、谨慎的态度，无形中在暗示学生：宽容是一种美德，是一种策略，是一种境界；实事求是、追求本源是对待“错误”应有的态度。
要把学生学习活动中的“错误”转变成一种教学资源，关键在于教师的点拨与引导。教师必须具备敏锐的观察能力，善于发现和捕捉课堂上转瞬即逝却利于促进学生可持续发展的因素，通过放大、解剖、沉淀、过滤等手段，从而点燃学生智慧的火花，让课堂充满成长的快乐。
三、巧妙利用错误，提高學生的学习能力
（一）巧用错误资源，培养学生的发现意识
在学习一元二次方程根的判别式时候，有一道题：若方程kx2-6x 1=0有实数根，求k的取值范围。大部份学生都是通过Δ≥0k≠0解得k≥9且k≠0。此时，设问：k为什么不能为0？k等于0会怎样？有解吗？学生通过思考，恍然大悟。 学生获得数学知识本来就应该是在不断的探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法是各不相同的，因此，出现偏差和错误是很正常的，关键是在于教师如何利用错误这一资源。上面的例子中，我从学生的现实学习中选取错例，充分挖掘错误中潜在的智力因素，提出具有针对性和启发性的问题，创设一个自主探究的问题情境，引导学生从不同角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现了问题，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握，培养了学生的发现意识。
（二）利用错误资源，培养学生的创造性思维
学习过程中产生的错误是一种来源于学习活动本身，直接反映学生学习情况的生成性教学资源。面对学生自己“创造”出来的宝贵的教学资源，教师若能善于捕捉，灵活处理，以新的观念、新的眼光，站在新的视角对其价值进行重新定位，对其进行新的探索和实践。让学生在犯错、纠错、改错中感悟道理，培养发现意识，激活创新思维，提高反思能力，从而促进学生的全面发展。
我在教学中遇到这样一个概率的实例：历史上曾经有一个著名的例子，法国数学家达郎贝尔认为先后抛掷两枚均匀的硬币，共有3种可能的情形，即（正，正），（反，反），（一正一反）。由此，他得出的结论，（一正一反）出现的概率是1/3，你认为这个结论正确吗？出现了这样一个场面：绝大多数同学都认为它是正确的，这时，有一个学生却站起来说：“老师，不对，应该是1/2。”……一石激起千层浪，霎时，教室里响起了一片争论声，一双双眼睛都看着我，期盼着我一槌定音。究竟是正确还是错误呢？既然有学生提了不同意见，何不将学生抛过来的球再抛给学生，让出现的问题转化成一种教学的资源，由学生主动去探究呢？我微笑着对同学们说：“请大家安静，正确还是错误？口说无凭，你们能想办法证明一下吗？”“能”同学们异口同声地说。“那就请大家以四人小组为单位研究一下吧。”我吩咐道。过了两分多钟，有学生叫了起来：“老师，真的是错误的！”，“我们拿了硬币动手做实验了。因为给出的3种情形不是等可能的，第三种结果（一正一反）是由两种情形产生的，即可以是第一枚抛掷出正面第二枚抛掷反面，或者第一枚抛掷出反面第二枚抛掷正面，实际上就是有4种可能情形：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正）。所以（一正一反）出现的概率是2/4=1/2”。
通过这个教学实例，我认为：教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教学资源，机智、灵活地引导学生从正反不同角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是深化认识，培养学生创造性思维的有效办法。
在教学实践中，我们每个数学老师都可能经常遇到与上面这个教学中的实例类似的情况，但不同的处理方法所得到的教学效果却是完全不同的，试想：如果我当时在课堂上轻易地包办代替，将正确的结论呈现出来，而不就错因势利导，那么，这么好的教学契机就会错过，而学生就不会获得良好的思维空间，更不会碰撞出这么多的智慧的火花。
（三）利用错误资源，提高学生的反思能力
中学生往往不善于反思自己的学习活动，对已完成的思维过程缺乏一种批评性思考，忽视必要的检查，导致错误。教师应重视培养学生的自我反思能力，促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考。让学生学会反思，通常可从如下几方面入手：a.反思审题是否正确，防止看错、读错、抄错数字或题目。b.反思所运用的知识（概念、法则、性质、公式）的正确性。如计算中，有没有遵循运算顺序，所运用的公式是否正确无误等。c.反思自己的思维方法是否正确合理，若不合理，该如何调整；方法合理，是不是捷径等。d.反思数学问题本身有何特点。特别注意挖掘隐含条件，谨防考虑不周出错。e.反思结果是否合理，学会估算，判断答案是否符合题意。学生个体的错误价值绝不仅仅体现在个别学生身上。在个体所犯的错误之中，经常蕴涵着一些普遍性的东西，其他学生也应从中得到启发或教训。
在学习二次根式时，有这样一题：化简：-y2x·-yx2·x5y，绝大都数学生化简的结果是xy2。此时引导学生反思x、y的取值范围，从而使明白该题中隐含着x<0和y<0的条件。
错误的价值有时并不在于错误本身，而在于师生從中获得新的启迪。对教师来说，学生的“出错”是机遇，是挑战，更是教育智慧的折射。“阳光总在风雨后”。我们要现实地面对学生的错误，努力化“错误”为“精彩”，让“错误”美丽起来。在“出错”、“纠错”的探究学习过程中，让学生得以成长，教师得以发展。
关键词：错误；课堂；初中数学
中图分类号：G631文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）21-089-2
俗话说：“人无完人，金无足赤。”作为教师，要允许学生在课堂上出错。并将错误作为一种促进学生情感发展、智力发展的教育资源，正确地、巧妙地加以利用。在初中数学教学实践中，我们要重视错误带来的教育价值，进行有益的探索与实践，引发思维碰撞，促进动态生成，变“废”为“宝”。
在课堂教学中，学生的错误既能让学生在思维能力、情感态度方面得到很好的训练，又能让他们感受到如何去认识和理解错误。教师应在教学中有意识创造一些让学生暴露错误的机会，引起学生的思维碰撞，让学生在错误中理解和感悟知识。只有这样，才能更好的加深印象，减少错误的再次发生。
一、理解错误生成的根本所在
课堂错误分成：预设生成性错误，非预设生成性错误。
预设生成性错误，指教师在备课时，以逆向思维的角度切入教学，有意给学生设计错误，设置一些思维“陷阱”。这类错误是教师有意识地激发学生去探究、思考、辨析、比较的一种教学策略，从而帮助学生更好地理解知识。音乐界有这样一个故事，世界著名指挥家小泽征尔当初参加一次世界性的比赛时，曾连续三次中断了指挥，因为他认定乐谱中出现了“错误”。其实，这正是评委们故意设下的“陷阱”。事实上，对这个“陷阱”的大胆否定，正验证了小泽征尔作为音乐指挥家的真正实力。教师也应善于恰当设置一些这样的“陷阱”，让学生在这种真实、饶有兴趣的考验中摔打，这样，他们的选择、质疑、批判能力将会得到很大的提高。
非预设生成性错误，是学生在课堂学习活动中，由于遗忘、粗心、理解不到位、表述不严密、基础能力差异等因素而出现的错误。课堂教学是一个动态生成的过程，学生的学习错误具有不可预见性，而这样的错误又往往是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，则能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。
所以，理解错误，了解错误是教师在课堂教学中的根本所在。唯有此，教师方能在课堂上挥洒自如地利用错误资源，运筹帷幄。
（一）寻找错因，精心预设
要合理有效地利用课堂上出现的错误资源，需要教师对错误要有足够的预见性，如果教师在之前不能预见学生可能走上哪些岔道，也就不能保证教师在课堂上产生错误的“瞬间”，能准确把握错误的价值，采用积极的应对策略，引发学生的认知冲突，激起学生的求知欲和探索心向，与老师、同学发生思维的碰撞，在讨论中明晰错误中存在的问题，找到出错的原因。因此，教师有必要对课堂上出现的错误进行分类整理，并且深入地分析错误出现的原因，根据原因来思考采用什么具体的方法将错误暴露给学生并引导学生进行讨论。
（二）理解错误，让错误生存
互相支持的课堂是学习错误资源化的重要保证。错误的价值有时并不在于错误本身，而在于通过师生的活动促进相互的发展。我们应该积极营造一个互相支持的、真实的课堂，理解错误，给错误以一席之地。
1.善于倾听，发现错误的价值
“教育成功的秘密在于尊重。”面对学生的错误，首先要做的就是倾听，了解其内在的想法，有时学生的思维角度、思维方式和思考过程比错误的答案本身更有价值，学生犯错的过程其实也是一种尝试和创新的过程。
2.循循善诱，收获错误的精彩
学生的不少错误直接暴露了学生的思维状况和真切体验。如能顺藤摸瓜，从发展的角度认识这些错误的价值，围绕错误展开非预设性“生成教学”，则能收获意料之外的“精彩”。
二、小心呵护错误，重视错误的教育价值
教师要以宽容的心态尊重和保护学生的自尊。学生在学习时产生“错误”总是有原因的。教师对“错误”的宽容就是对学生尊严的一种保护，如果“错误”让学生产生羞耻感，学生纯洁的心灵就会留下阴影。教师对学生“错误”的点评，要让大家都清楚，这样的失误大家都有可能发生，情有可原，但要引起警惕。在可能的情况下，教师要尽量利用错误，把学生的“错误”转化为可贵的教学资源，这是对学生最大的尊重。
数学学习是不断地提出假设、修正假设并逐渐完善的过程。从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习中某个阶段的水平，而不能代表其最终的水平。正是对于错误的不断出现与修正，才使学生的能力不断提高。教师只有具备这样的心理承受能力和宽容态度，才会耐心寻找学生解题错误的原因，并做出恰当处理。教师对待“错误”的宽容态度能使学生得到潜移默化的情感、态度、价值观教育。师生间心平气和地讨论“错误”的对话，能让学生体会到人格尊严的神圣和礼貌待人的意义。最重要的是教师对待“错误”的宽容、谨慎的态度，无形中在暗示学生：宽容是一种美德，是一种策略，是一种境界；实事求是、追求本源是对待“错误”应有的态度。
要把学生学习活动中的“错误”转变成一种教学资源，关键在于教师的点拨与引导。教师必须具备敏锐的观察能力，善于发现和捕捉课堂上转瞬即逝却利于促进学生可持续发展的因素，通过放大、解剖、沉淀、过滤等手段，从而点燃学生智慧的火花，让课堂充满成长的快乐。
三、巧妙利用错误，提高學生的学习能力
（一）巧用错误资源，培养学生的发现意识
在学习一元二次方程根的判别式时候，有一道题：若方程kx2-6x 1=0有实数根，求k的取值范围。大部份学生都是通过Δ≥0k≠0解得k≥9且k≠0。此时，设问：k为什么不能为0？k等于0会怎样？有解吗？学生通过思考，恍然大悟。 学生获得数学知识本来就应该是在不断的探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法是各不相同的，因此，出现偏差和错误是很正常的，关键是在于教师如何利用错误这一资源。上面的例子中，我从学生的现实学习中选取错例，充分挖掘错误中潜在的智力因素，提出具有针对性和启发性的问题，创设一个自主探究的问题情境，引导学生从不同角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现了问题，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握，培养了学生的发现意识。
（二）利用错误资源，培养学生的创造性思维
学习过程中产生的错误是一种来源于学习活动本身，直接反映学生学习情况的生成性教学资源。面对学生自己“创造”出来的宝贵的教学资源，教师若能善于捕捉，灵活处理，以新的观念、新的眼光，站在新的视角对其价值进行重新定位，对其进行新的探索和实践。让学生在犯错、纠错、改错中感悟道理，培养发现意识，激活创新思维，提高反思能力，从而促进学生的全面发展。
我在教学中遇到这样一个概率的实例：历史上曾经有一个著名的例子，法国数学家达郎贝尔认为先后抛掷两枚均匀的硬币，共有3种可能的情形，即（正，正），（反，反），（一正一反）。由此，他得出的结论，（一正一反）出现的概率是1/3，你认为这个结论正确吗？出现了这样一个场面：绝大多数同学都认为它是正确的，这时，有一个学生却站起来说：“老师，不对，应该是1/2。”……一石激起千层浪，霎时，教室里响起了一片争论声，一双双眼睛都看着我，期盼着我一槌定音。究竟是正确还是错误呢？既然有学生提了不同意见，何不将学生抛过来的球再抛给学生，让出现的问题转化成一种教学的资源，由学生主动去探究呢？我微笑着对同学们说：“请大家安静，正确还是错误？口说无凭，你们能想办法证明一下吗？”“能”同学们异口同声地说。“那就请大家以四人小组为单位研究一下吧。”我吩咐道。过了两分多钟，有学生叫了起来：“老师，真的是错误的！”，“我们拿了硬币动手做实验了。因为给出的3种情形不是等可能的，第三种结果（一正一反）是由两种情形产生的，即可以是第一枚抛掷出正面第二枚抛掷反面，或者第一枚抛掷出反面第二枚抛掷正面，实际上就是有4种可能情形：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正）。所以（一正一反）出现的概率是2/4=1/2”。
通过这个教学实例，我认为：教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教学资源，机智、灵活地引导学生从正反不同角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是深化认识，培养学生创造性思维的有效办法。
在教学实践中，我们每个数学老师都可能经常遇到与上面这个教学中的实例类似的情况，但不同的处理方法所得到的教学效果却是完全不同的，试想：如果我当时在课堂上轻易地包办代替，将正确的结论呈现出来，而不就错因势利导，那么，这么好的教学契机就会错过，而学生就不会获得良好的思维空间，更不会碰撞出这么多的智慧的火花。
（三）利用错误资源，提高学生的反思能力
中学生往往不善于反思自己的学习活动，对已完成的思维过程缺乏一种批评性思考，忽视必要的检查，导致错误。教师应重视培养学生的自我反思能力，促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考。让学生学会反思，通常可从如下几方面入手：a.反思审题是否正确，防止看错、读错、抄错数字或题目。b.反思所运用的知识（概念、法则、性质、公式）的正确性。如计算中，有没有遵循运算顺序，所运用的公式是否正确无误等。c.反思自己的思维方法是否正确合理，若不合理，该如何调整；方法合理，是不是捷径等。d.反思数学问题本身有何特点。特别注意挖掘隐含条件，谨防考虑不周出错。e.反思结果是否合理，学会估算，判断答案是否符合题意。学生个体的错误价值绝不仅仅体现在个别学生身上。在个体所犯的错误之中，经常蕴涵着一些普遍性的东西，其他学生也应从中得到启发或教训。
在学习二次根式时，有这样一题：化简：-y2x·-yx2·x5y，绝大都数学生化简的结果是xy2。此时引导学生反思x、y的取值范围，从而使明白该题中隐含着x<0和y<0的条件。
错误的价值有时并不在于错误本身，而在于师生從中获得新的启迪。对教师来说，学生的“出错”是机遇，是挑战，更是教育智慧的折射。“阳光总在风雨后”。我们要现实地面对学生的错误，努力化“错误”为“精彩”，让“错误”美丽起来。在“出错”、“纠错”的探究学习过程中，让学生得以成长，教师得以发展。