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【摘 要】数学预见力是指根据已有的知识和经验，抓住思维跳跃性和突发性灵感，运用创新性的组合分析，洞察或领悟数学对象或问题的本质，创造新假设或得出新结论的一种能力。数学教学中帮助儿童构造有生长力的认知结构，培养多元化的数学思维，提供实践数学预见的平台，可以为数学预见力的萌发提供基础。
【关键词】数学预见力；认知结构；多元思维；理性判断
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）25-0037-03
【作者简介】许冰彬，江苏省连云港师范高等专科学校第一附属小学教育集团（江苏连云港，222006）教师，一级教师。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：培养儿童的创新意识是义务教育阶段数学教育的重要部分。纵观社会发展过程，从牛顿被苹果砸到头以后发现万有引力定律，到凯库勒梦见蛇咬住自己的尾巴悟出苯分子的环状结构，似乎伟大的发明都伴随着一个奇思妙想的猜测。这种猜测是一种预见，它依赖于人对知识的把握、深刻的思考和个人的悟性等。儿童的数学学习过程与人类社会的发展历程相似，知觉思维始终隐藏在观察、实验、猜想、验证等活动的深处，孕育着理性判断和预见力。
探寻儿童的数学预见力，是儿童根据已有的知识和经验，抓住思维跳跃性和突发性的灵感，运用新颖的组合分析，洞察或领悟数学问题的本质，从而创造新假设或得出新结论的一种能力。数学预见力分为经验型预见力和创造性预见力两种。小学阶段以培养经验型预见为主，创造性预见占少数。数学预见力的培养对完善儿童思维结构，提升儿童的数学能力，激发儿童的创新思维具有重要影响。因此，在小学阶段培养儿童早期数学预见力是发展儿童数学核心素养的关键。
儿童数学预见力的获得依赖于教师的培养，更依赖于儿童经历的能够启发积极思考的数学活动。因此教师应帮助儿童构造生长性的认知结构，培养多元化的数学思维，并提供实践数学预见的平台，从而为儿童数学预见力的萌发奠定基础。
一、构造生长性的认知结构，夯实数学预见力的基础
数学预见力根植于儿童完善的认知结构中。由于在接收、理解上的失误和遗忘等原因，儿童的认知结构在内容上常常是有缺口的，不完备的。因此，构造有生长性的认知结构必须具有稳定的知识基础、多元化的表征方式以及丰富的数学经验。[1]
1.较稳定的知识储备为直觉猜测的萌发奠定基础。
如果学生原有认知结构中的相关概念不稳定甚至模糊不清，就不能为新学习提供适当的关系和强有力的固定作用。例如教学苏教版六下《圆柱的体积》思考圆柱的体积怎样计算时，有的尝试从长方体体积入手来猜测，有的通过观察发现圆柱的底面是个圆形，猜测能否从圆面积的推导方式来推导圆柱的体积。不管儿童采取哪一种方式来思考，都依赖于儿童头脑中是否存在有关长方体的体积、圆的面积的知识。只有拥有稳定的知识储备，才能夯实认知结构的基础，为数学预见力的勃发提供可能。
2.可辨别的表征方式为直觉预测提供清晰的图式。
数学知识在儿童的头脑中建立相对稳定与清晰的图式，从而形成稳定的认知结构。例如教学苏教版五下《解决问题的策略—转化》时，计算1/2 1/4 1/8 1/16，通过把分数转化成图形面积表征的方式，将繁琐的分数加法转化为直观图形表示。儿童认知结构中对图形和符号有较强的识别，方可达到熟练提取的目的。相同知识采取不同存储方式，可以加深对知识本质的理解。不同的知識采用相同存储方式，可以对知识进行系统的整理。教学中帮助儿童建立多种形式的表征方式，突出图式本身的可辨别性，让儿童在数学预见时可以快速提取，从而激发创造性预见。
3.可利用的数学经验为直觉预测提供有力支持。
在数学新知的学习中，儿童原有认知结构中是否有与新知识发生同化的适当观念，是决定数学学习活动能不能顺利进行的关键因素。例如教学苏教版五上《三角形的面积》时，拼和分平行四边形操作经验为“倍拼法”介入三角形面积的学习提供了支持。丰富的活动经验成为儿童知识结构的强大基础，有效的活动经验为儿童后续的数学学习提供了潜能，同时也为儿童数学预见提供了强大的背景支持。[2]
二、培养多元化的数学思维，增加数学预见力的可能
数学预见力的培养通过多侧面的数学观察、多角度的问题思考、多层次的反思来突破儿童的思维定式，培养儿童多元化的思维品质，达到对儿童预见力培养的目的。
1.多侧面观察，为数学预见力提供灵活的思维。
数学的观察能力是对符号、字母、数字或文字等所表示的数学关系、命题、图像或图形结构等迅速知觉的能力。例如教学苏教版三上《解决问题的策略》练习题，如图1所示：
题目用图表述小力、小英、小军身高之间的关系，可以先求小英的身高，再求小军的身高。将题意用线段图表达后，可以得出第二种思路，利用小军的身高比小力高6厘米，直接求出小军的身高。同样的数量关系，变换观察的角度，巧妙地减轻了思考和计算的负担。教学时不仅要观察数学对象本身，还要尝试从多个侧面观察，实现对观察对象的整体把握，从而为养成数学预见力培养敏锐的观察力和灵活的思维习惯。
2.多角度思考，为数学预见力提供敏捷的思维。
从不同角度进行问题思考，会帮助我们获得某些最佳的或最有效的问题解决策略和方法，甚至还有可能获得某些创造性的问题解决方式。例如教学苏教版六下《确定位置》时，教材提供由面到线再到点确定物体在平面图上的位置； 同时也可以引导以圆和射线相交确定物体的位置。（图2）两个不同角度的思考，体现了丰富性，加深了对知识的理解。数学学习中倡导从不同的角度引导儿童思考，从问题的不同层次引导儿童思考，从而提高儿童对数学规律的把握和推演的能力，培养儿童思维的敏捷性。
3.多层次反思，为数学预见力提供批判性思维。 反思是对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程。例如苏教版五下《解决问题的策略》，设计两个层次的反思环节。第一层次在新授部分，通过如何选择合适的转化方法培养反思性思维。第二层次在本课小结时，引导儿童对本课涉及的转化和已学知识中的转化梳理再次反思。由表及里的层次型反思训练帮助儿童正确地对待数学学习的过程，矫正思考的方向，归纳学习的内容，形成合理的认知结构，培养儿童批判性思维。[3]
三、搭建全方位的实践平台，检验数学预见力的成果
儿童有了富有生长力的认知结构，多元化的思维品质，还要借助于自身积累的数学经验，才能更好地实现数学预见。因此，数学阅读、数学实验以及数学日记为儿童提供锻炼数学预见力的实践平台。
1.数学阅读，拓宽儿童预见的背景。
数学阅读不仅包括阅读数学教材、数学绘本故事，更包括生活中与数学息息相关的材料等。儿童对熟悉素材的预见力显优于背景素材不熟悉的问题。例如，六年级毕业测试中有一道考查复式折线统计图的题目，涉及干砂和水温度变化的相关知识。干砂作为不熟悉的材料出现时，大部分儿童把握不够准确，导致在预测结果时产生偏差，从而说明广泛的数学阅读不仅为儿童提供了更开阔的数学视野，更为儿童数学预见提供了强大的背景支持。
2.数学实验，试验儿童预见的结果。
数学实验可以让学生经历探索的过程，验证数学预见的结果，养成科学的观念。例如教学苏教版五上《三角形的面积》时，设计了两次操作试验。第一次试验借鉴平行四边形面积等积转化的方式，将三角形沿着高剪开，发现除了等腰三角形和等边三角形外，其他三角形无法拼成平行四边形，产生认知冲突。实验的过程中发现实验结果和方式超出预期或实验中需要的知识无法提取时，必须进行第二次试验。通过对三角形相关的数学知识进行梳理，调整实验的步骤和方法，最终得出结论。在数学教学中让儿童通过操作、实验等形式验证数学预见的结果，验证预见与结果之间的偏差，反思出現偏差的原因，矫正数学预见的结果。
3.数学日记，记录儿童预见的过程。
利用数学日记的形式记录数学事实、反思过程，引导儿童通过归纳、整理分析，明晰对数学问题的预见的具体步骤，反思并形成相应的策略，从而经历数学预见的整个过程。例如，教学苏教版六下《正比例反比例》单元中的“动手做”时，儿童在数学日记中有的记录详细的操作过程，从自己对问题的思考到详细的操作步骤；还有自己操作步骤和思路的调整、自己预见结果的矫正等。最终达到在操作前有思考，操作中有调整，操作后有反思。
在儿童的数学学习中，数学预见力对于准确把握数学学习的方向，掌握数学知识有着重要的作用。在数学教学中，既追求直觉猜测，更强调理性判断，以数学预见力培养为载体，帮助儿童构造富有生长力的认知结构，培养儿童多元化的数学思维，为儿童提供实践数学预见力的平台，保护儿童数学预见力的萌芽，鼓励儿童创造性预见，进而培养儿童的创新意识，提升儿童数学核心素养。
【参考文献】
[1]马云鹏.小学数学教学论（第4版）[M].北京：人民教育出版社，2013.
[2]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010.
[3]杨庆余.小学数学教学研究[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.
【关键词】数学预见力；认知结构；多元思维；理性判断
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）25-0037-03
【作者简介】许冰彬，江苏省连云港师范高等专科学校第一附属小学教育集团（江苏连云港，222006）教师，一级教师。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：培养儿童的创新意识是义务教育阶段数学教育的重要部分。纵观社会发展过程，从牛顿被苹果砸到头以后发现万有引力定律，到凯库勒梦见蛇咬住自己的尾巴悟出苯分子的环状结构，似乎伟大的发明都伴随着一个奇思妙想的猜测。这种猜测是一种预见，它依赖于人对知识的把握、深刻的思考和个人的悟性等。儿童的数学学习过程与人类社会的发展历程相似，知觉思维始终隐藏在观察、实验、猜想、验证等活动的深处，孕育着理性判断和预见力。
探寻儿童的数学预见力，是儿童根据已有的知识和经验，抓住思维跳跃性和突发性的灵感，运用新颖的组合分析，洞察或领悟数学问题的本质，从而创造新假设或得出新结论的一种能力。数学预见力分为经验型预见力和创造性预见力两种。小学阶段以培养经验型预见为主，创造性预见占少数。数学预见力的培养对完善儿童思维结构，提升儿童的数学能力，激发儿童的创新思维具有重要影响。因此，在小学阶段培养儿童早期数学预见力是发展儿童数学核心素养的关键。
儿童数学预见力的获得依赖于教师的培养，更依赖于儿童经历的能够启发积极思考的数学活动。因此教师应帮助儿童构造生长性的认知结构，培养多元化的数学思维，并提供实践数学预见的平台，从而为儿童数学预见力的萌发奠定基础。
一、构造生长性的认知结构，夯实数学预见力的基础
数学预见力根植于儿童完善的认知结构中。由于在接收、理解上的失误和遗忘等原因，儿童的认知结构在内容上常常是有缺口的，不完备的。因此，构造有生长性的认知结构必须具有稳定的知识基础、多元化的表征方式以及丰富的数学经验。[1]
1.较稳定的知识储备为直觉猜测的萌发奠定基础。
如果学生原有认知结构中的相关概念不稳定甚至模糊不清，就不能为新学习提供适当的关系和强有力的固定作用。例如教学苏教版六下《圆柱的体积》思考圆柱的体积怎样计算时，有的尝试从长方体体积入手来猜测，有的通过观察发现圆柱的底面是个圆形，猜测能否从圆面积的推导方式来推导圆柱的体积。不管儿童采取哪一种方式来思考，都依赖于儿童头脑中是否存在有关长方体的体积、圆的面积的知识。只有拥有稳定的知识储备，才能夯实认知结构的基础，为数学预见力的勃发提供可能。
2.可辨别的表征方式为直觉预测提供清晰的图式。
数学知识在儿童的头脑中建立相对稳定与清晰的图式，从而形成稳定的认知结构。例如教学苏教版五下《解决问题的策略—转化》时，计算1/2 1/4 1/8 1/16，通过把分数转化成图形面积表征的方式，将繁琐的分数加法转化为直观图形表示。儿童认知结构中对图形和符号有较强的识别，方可达到熟练提取的目的。相同知识采取不同存储方式，可以加深对知识本质的理解。不同的知識采用相同存储方式，可以对知识进行系统的整理。教学中帮助儿童建立多种形式的表征方式，突出图式本身的可辨别性，让儿童在数学预见时可以快速提取，从而激发创造性预见。
3.可利用的数学经验为直觉预测提供有力支持。
在数学新知的学习中，儿童原有认知结构中是否有与新知识发生同化的适当观念，是决定数学学习活动能不能顺利进行的关键因素。例如教学苏教版五上《三角形的面积》时，拼和分平行四边形操作经验为“倍拼法”介入三角形面积的学习提供了支持。丰富的活动经验成为儿童知识结构的强大基础，有效的活动经验为儿童后续的数学学习提供了潜能，同时也为儿童数学预见提供了强大的背景支持。[2]
二、培养多元化的数学思维，增加数学预见力的可能
数学预见力的培养通过多侧面的数学观察、多角度的问题思考、多层次的反思来突破儿童的思维定式，培养儿童多元化的思维品质，达到对儿童预见力培养的目的。
1.多侧面观察，为数学预见力提供灵活的思维。
数学的观察能力是对符号、字母、数字或文字等所表示的数学关系、命题、图像或图形结构等迅速知觉的能力。例如教学苏教版三上《解决问题的策略》练习题，如图1所示：
题目用图表述小力、小英、小军身高之间的关系，可以先求小英的身高，再求小军的身高。将题意用线段图表达后，可以得出第二种思路，利用小军的身高比小力高6厘米，直接求出小军的身高。同样的数量关系，变换观察的角度，巧妙地减轻了思考和计算的负担。教学时不仅要观察数学对象本身，还要尝试从多个侧面观察，实现对观察对象的整体把握，从而为养成数学预见力培养敏锐的观察力和灵活的思维习惯。
2.多角度思考，为数学预见力提供敏捷的思维。
从不同角度进行问题思考，会帮助我们获得某些最佳的或最有效的问题解决策略和方法，甚至还有可能获得某些创造性的问题解决方式。例如教学苏教版六下《确定位置》时，教材提供由面到线再到点确定物体在平面图上的位置； 同时也可以引导以圆和射线相交确定物体的位置。（图2）两个不同角度的思考，体现了丰富性，加深了对知识的理解。数学学习中倡导从不同的角度引导儿童思考，从问题的不同层次引导儿童思考，从而提高儿童对数学规律的把握和推演的能力，培养儿童思维的敏捷性。
3.多层次反思，为数学预见力提供批判性思维。 反思是对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程。例如苏教版五下《解决问题的策略》，设计两个层次的反思环节。第一层次在新授部分，通过如何选择合适的转化方法培养反思性思维。第二层次在本课小结时，引导儿童对本课涉及的转化和已学知识中的转化梳理再次反思。由表及里的层次型反思训练帮助儿童正确地对待数学学习的过程，矫正思考的方向，归纳学习的内容，形成合理的认知结构，培养儿童批判性思维。[3]
三、搭建全方位的实践平台，检验数学预见力的成果
儿童有了富有生长力的认知结构，多元化的思维品质，还要借助于自身积累的数学经验，才能更好地实现数学预见。因此，数学阅读、数学实验以及数学日记为儿童提供锻炼数学预见力的实践平台。
1.数学阅读，拓宽儿童预见的背景。
数学阅读不仅包括阅读数学教材、数学绘本故事，更包括生活中与数学息息相关的材料等。儿童对熟悉素材的预见力显优于背景素材不熟悉的问题。例如，六年级毕业测试中有一道考查复式折线统计图的题目，涉及干砂和水温度变化的相关知识。干砂作为不熟悉的材料出现时，大部分儿童把握不够准确，导致在预测结果时产生偏差，从而说明广泛的数学阅读不仅为儿童提供了更开阔的数学视野，更为儿童数学预见提供了强大的背景支持。
2.数学实验，试验儿童预见的结果。
数学实验可以让学生经历探索的过程，验证数学预见的结果，养成科学的观念。例如教学苏教版五上《三角形的面积》时，设计了两次操作试验。第一次试验借鉴平行四边形面积等积转化的方式，将三角形沿着高剪开，发现除了等腰三角形和等边三角形外，其他三角形无法拼成平行四边形，产生认知冲突。实验的过程中发现实验结果和方式超出预期或实验中需要的知识无法提取时，必须进行第二次试验。通过对三角形相关的数学知识进行梳理，调整实验的步骤和方法，最终得出结论。在数学教学中让儿童通过操作、实验等形式验证数学预见的结果，验证预见与结果之间的偏差，反思出現偏差的原因，矫正数学预见的结果。
3.数学日记，记录儿童预见的过程。
利用数学日记的形式记录数学事实、反思过程，引导儿童通过归纳、整理分析，明晰对数学问题的预见的具体步骤，反思并形成相应的策略，从而经历数学预见的整个过程。例如，教学苏教版六下《正比例反比例》单元中的“动手做”时，儿童在数学日记中有的记录详细的操作过程，从自己对问题的思考到详细的操作步骤；还有自己操作步骤和思路的调整、自己预见结果的矫正等。最终达到在操作前有思考，操作中有调整，操作后有反思。
在儿童的数学学习中，数学预见力对于准确把握数学学习的方向，掌握数学知识有着重要的作用。在数学教学中，既追求直觉猜测，更强调理性判断，以数学预见力培养为载体，帮助儿童构造富有生长力的认知结构，培养儿童多元化的数学思维，为儿童提供实践数学预见力的平台，保护儿童数学预见力的萌芽，鼓励儿童创造性预见，进而培养儿童的创新意识，提升儿童数学核心素养。
【参考文献】
[1]马云鹏.小学数学教学论（第4版）[M].北京：人民教育出版社，2013.
[2]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010.
[3]杨庆余.小学数学教学研究[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004.