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初中数学教材中方程(组)、函数二者同属于数与代数的范畴。从难易程度和由特殊到一般的规律上的顺序:方程(组)即等式→函数,符合认知规律。
下面我们恰恰由一般到特殊即由共性到个性进行分析,即函数→方程(组)。
方程(组) 方程一元一次方程一元二次方程二元一次方程二元二次方程方程组:二元一次方程组
函数一次函数(含正比例函数)二次函数反比例函数
一、一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)的关系
1.一次函数
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2.一元一次方程
当一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量y=0时,表达式为kx+b=0(k≠0),就成为了一元一次方程,方程的解为x=-■,图象是直线x=-■,平行于y轴。直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的坐标为(-■,0),横坐标的值即为一元一次方程kx+b=0的解。
例如:一次函数y=x+1,当y=0时,x+1=0,是一元一次方程,方程的解为x=-1,图象是直线x=-1,平行于y轴。直线y=x+1与x轴的交点的坐标为(-1,0),横坐标的值x=-1即为一元一次方程x+1=0的解。
3.二元一次方程
当把一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量x、y当作未知数时,就成为了二元一次方程,变形为kx-y+b=0(k≠0)时,图象是直线y= kx+b,这条直线上的任何一个点的坐标所对应的一对数值都是二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解,同样把二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的每一个解中的x、y值作为一个点的横纵坐标,则这些点恰好构成直线y=kx+b(k≠0),也正是因为每条直线上有无数个点,所以二元一次方程的解有无数个。
4.二元一次方程组
对于变量x、y,某一变化过程同时满足两种关系:y= k1x+b1 和y=k2 x+b2,即构成了二元一次方程组函y= k1x+b1 y=k2 x+b2 一方面其解是这两条直线的交点坐标,另一方面这两条直线的交点坐标即为此方程组的解。方程组解的情况有三种:分别是有唯一解,有无穷多解,无解。图象是两条直线,其位置关系分别是相交,重合,平行。
例如:(1)某一变化过程同时满足两种关系:y=x+1和y=-x-3,即构成了二元一次方程组y=x+1 y=-x-3 一方面其解x=-2 y=-1 是这两条直线的交点坐标(-2,-1),另一方面这两条直线的交点坐标(-2,-1)即为此方程组的解x=-2 y=-1。方程组有唯一解,图象是两条直线,其位置关系分别是相交。
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(2)某一变化过程同时满足两种关系:y=x+1和2y=2x+2,即构成了二元一次方程组y=x+1 2y=2x+2 一方面其解有无穷多个,说明这两条直线的交点有无穷多个,另一方面这两条直线的交点有无穷多个,表明此方程组的解有无穷多个,图象是两条重合的直线。
(3)某一变化过程同时满足两种关系:y=x+1和y=x-2,即构成了二元一次方程组y=x+1 y=x-2 一方面此方程组无解表明这两条直线无交点,另一方面这两条直线无交点坐标,也表明此方程组无解。图象是两条直线,其位置关系是平行。
二、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数
■
2.一元二次方程
当二次函数y=ax2bx+c(a≠0)中的变量y=0时,表达式为ax2+bx+c=0(a≠0)就成了一元二次方程,方程的解为x1,2=■,抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点的坐标为(■,0)和(■,0),横坐标的值即为一元二次方程ax2 +bx+c(a≠0)的解,当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴无交点时,表明一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无解。
例如:
当二次函数y=x2-2x-3中的变量y=0时,表达式为x2-2x-3=0就成为了一元二次方程,方程的解为 x1=-1,x2=3,抛物线y=x2-2x-3与x轴的两交点的坐标为(-1,0)和(3,0),横坐标的值即为一元二次方程 x2-2x-3=0的解。
又如:一元二次方程x2-2x+3=0无实数根,表明抛物线y=x2-2x+3与x轴无交点;同样由抛物线y=x2-2x+3与x轴无交点也表明一元二次方程x2-2x+3=0无实数根。
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三、反比例函数与二元二次方程的关系
1. 反比例函数
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2.二元二次方程
在反比例函数xy=k(k≠0)中,当把变量x、y当作未知数时,就成了二元二次方程,图象是双曲线,与普通的二元二次方程相比,其解不能为0,即x≠0,y≠0,因为双曲线与坐标轴无交点。双曲线上的任何一个点的坐标所对应的一对数值都是二元二次方程xy=k(k≠0)的解,同样把二元二次方程xy=k(k≠0)的每一个解中的x、y值作为一个点的横纵坐标,则这些点恰好构成双曲线xy=k(k≠0),也正是因为双曲线上有无数个点,所以二元二次方程的解有无数个。
例如:①反比例函数y=■ 变形为:xy=2,就是二元二次方程。
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②反比例函数y=-■变形为:xy=-2,就是二元二次方程。
综上所述,方程(组)、函数二者之间相互联系,相互转化,而且在数与代数中又占有很大的比例,是初中代数中的重要内容,教学中为了分散难点,把这些内容编排在七至九年级的教材中,只要理解了它们之间的内在联系,就会把原本很杂的数学知识统一起来,学生在复习时就会有融会贯通的感觉,这在学生的阶段复习中尤为重要,特别是中考复习,当然,数学中类似这二者之间关系的例子还有很多,只要同学们细心归纳,总结,就会使知识由复杂变得简单,使繁重的复习变得轻松。
(责任编辑:张华伟)
下面我们恰恰由一般到特殊即由共性到个性进行分析,即函数→方程(组)。
方程(组) 方程一元一次方程一元二次方程二元一次方程二元二次方程方程组:二元一次方程组
函数一次函数(含正比例函数)二次函数反比例函数
一、一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)的关系
1.一次函数
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2.一元一次方程
当一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量y=0时,表达式为kx+b=0(k≠0),就成为了一元一次方程,方程的解为x=-■,图象是直线x=-■,平行于y轴。直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的坐标为(-■,0),横坐标的值即为一元一次方程kx+b=0的解。
例如:一次函数y=x+1,当y=0时,x+1=0,是一元一次方程,方程的解为x=-1,图象是直线x=-1,平行于y轴。直线y=x+1与x轴的交点的坐标为(-1,0),横坐标的值x=-1即为一元一次方程x+1=0的解。
3.二元一次方程
当把一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量x、y当作未知数时,就成为了二元一次方程,变形为kx-y+b=0(k≠0)时,图象是直线y= kx+b,这条直线上的任何一个点的坐标所对应的一对数值都是二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解,同样把二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的每一个解中的x、y值作为一个点的横纵坐标,则这些点恰好构成直线y=kx+b(k≠0),也正是因为每条直线上有无数个点,所以二元一次方程的解有无数个。
4.二元一次方程组
对于变量x、y,某一变化过程同时满足两种关系:y= k1x+b1 和y=k2 x+b2,即构成了二元一次方程组函y= k1x+b1 y=k2 x+b2 一方面其解是这两条直线的交点坐标,另一方面这两条直线的交点坐标即为此方程组的解。方程组解的情况有三种:分别是有唯一解,有无穷多解,无解。图象是两条直线,其位置关系分别是相交,重合,平行。
例如:(1)某一变化过程同时满足两种关系:y=x+1和y=-x-3,即构成了二元一次方程组y=x+1 y=-x-3 一方面其解x=-2 y=-1 是这两条直线的交点坐标(-2,-1),另一方面这两条直线的交点坐标(-2,-1)即为此方程组的解x=-2 y=-1。方程组有唯一解,图象是两条直线,其位置关系分别是相交。
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(2)某一变化过程同时满足两种关系:y=x+1和2y=2x+2,即构成了二元一次方程组y=x+1 2y=2x+2 一方面其解有无穷多个,说明这两条直线的交点有无穷多个,另一方面这两条直线的交点有无穷多个,表明此方程组的解有无穷多个,图象是两条重合的直线。
(3)某一变化过程同时满足两种关系:y=x+1和y=x-2,即构成了二元一次方程组y=x+1 y=x-2 一方面此方程组无解表明这两条直线无交点,另一方面这两条直线无交点坐标,也表明此方程组无解。图象是两条直线,其位置关系是平行。
二、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数
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2.一元二次方程
当二次函数y=ax2bx+c(a≠0)中的变量y=0时,表达式为ax2+bx+c=0(a≠0)就成了一元二次方程,方程的解为x1,2=■,抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点的坐标为(■,0)和(■,0),横坐标的值即为一元二次方程ax2 +bx+c(a≠0)的解,当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴无交点时,表明一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无解。
例如:
当二次函数y=x2-2x-3中的变量y=0时,表达式为x2-2x-3=0就成为了一元二次方程,方程的解为 x1=-1,x2=3,抛物线y=x2-2x-3与x轴的两交点的坐标为(-1,0)和(3,0),横坐标的值即为一元二次方程 x2-2x-3=0的解。
又如:一元二次方程x2-2x+3=0无实数根,表明抛物线y=x2-2x+3与x轴无交点;同样由抛物线y=x2-2x+3与x轴无交点也表明一元二次方程x2-2x+3=0无实数根。
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三、反比例函数与二元二次方程的关系
1. 反比例函数
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2.二元二次方程
在反比例函数xy=k(k≠0)中,当把变量x、y当作未知数时,就成了二元二次方程,图象是双曲线,与普通的二元二次方程相比,其解不能为0,即x≠0,y≠0,因为双曲线与坐标轴无交点。双曲线上的任何一个点的坐标所对应的一对数值都是二元二次方程xy=k(k≠0)的解,同样把二元二次方程xy=k(k≠0)的每一个解中的x、y值作为一个点的横纵坐标,则这些点恰好构成双曲线xy=k(k≠0),也正是因为双曲线上有无数个点,所以二元二次方程的解有无数个。
例如:①反比例函数y=■ 变形为:xy=2,就是二元二次方程。
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②反比例函数y=-■变形为:xy=-2,就是二元二次方程。
综上所述,方程(组)、函数二者之间相互联系,相互转化,而且在数与代数中又占有很大的比例,是初中代数中的重要内容,教学中为了分散难点,把这些内容编排在七至九年级的教材中,只要理解了它们之间的内在联系,就会把原本很杂的数学知识统一起来,学生在复习时就会有融会贯通的感觉,这在学生的阶段复习中尤为重要,特别是中考复习,当然,数学中类似这二者之间关系的例子还有很多,只要同学们细心归纳,总结,就会使知识由复杂变得简单,使繁重的复习变得轻松。
(责任编辑:张华伟)