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摘要：工程制图中经常需要求解直线的实长，可见其重要性。但是对于空间想象能力一般的学生，现有方法具有一定的难度。现在新的教学思路的启发下创造一种新的求解直线实长的方法，其相比于现有方法具有更加简单直观、易于理解掌握的特点。由此可见教学思路的改革具有很重要的现实意义和推广价值。
关键词：全等四边形 矩形对边
中图分类号：TH126 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2017）17-0183-02
工程制图是一门工程院校的基础课，其中的画法几何部分是整门课程的基础。其特点是既有严密的逻辑性同时又要求学习者具有较好的空间想象能力，从而能够正确地建立空间立体与投影面投影的关系。为了适应当前科学技术的进展以及我国大多数院校机械类、近机械类各专业课程的教学现状和教学改革发展趋势，针对该课程的上述特点，教师在授课时既要培养学生的空间想象、空间思维能力、创造性构型设计能力，提高学生的“入门”水平，同时又要降低“入门”的门槛，在不删减教学内容的前提下尽量简化尤其是涉及空间思维的过程，通过两方面的努力来提高教学质量、保证教学效果。当前该课程教学改革的重点是加强学生空间想象、空间思维能力的培养[1]，但学生的空间想象能力良莠不齐，能力的提高也并非是一朝一夕所能够达到的，基于这种实际情况，本着坚持理论联系实际的方针，适当降低“入门”的门槛，尽量简化涉及空间想象的思维过程也是一种非常现实的教学思路，有时能够达到事半功倍的教学效果，就是在这种教学思路的启发下创造出了一种新的工程制图中求解空间直线实长的新方法。以下是对该方法的具体阐述以及几何原理推导。
一、方法介绍
首先通过一个例子，介绍一下该方法的具体步骤：
空间直线AB的正面投影为a′b′，水平投影为ab，求空间直线AB的实长。新方法将通过（a）-（d）四步求解直线AB的实长：
步骤（a）：分别连接直线两个端点的水平投影和正面投影，两条直线分别交投影轴于O1、O2。
步骤（b）：分别过直线两个端点的水平投影作垂线垂直于直线的水平投影。
步骤（c）：分别在两条垂线上截取对应的两条直线在投影轴之上的部分。
步骤（d）：连接两截点，所得到的直线的长度即为空间直线AB的实长。
二、 几何原理推导
接下来阐述一下新方法的推导过程：
首先通过步骤（a）连接a′a、b′b，再使V面与H面相互垂直，然后以此为已知部分，在此基础上画出空间直线AB并表达出AB与其投影的投影关系。这里我们要求解的是直线AB的实长，但是此时我们无法直接测量出空间直线AB的长度。关于这个问题，现有的解决方法是：
直接在空间中以空间直线AB为斜边建立直角三角形ABC，然后通过找出直角三角形ABC中直角边与已知直线的对应关系使直角边的长度得到确定，从而最终确定空间直线AB的长度。对于现有的方法，虽然空间直角三角形的建立是我们比较容易想到的，但并不是两个直角边都与已知直线有着直接的对应关系。其中一个直角边的长度与a′b′两端点到H面的距离差有关。[2]而将这个距离差与a′、b′两端点到H面的距离差等同起来则需要具备较好的空间想象能力，这无疑增加了现有方法的理解难度！而本文采用的方法则是：
通过将AB所在的四边形ABba映射到H面的方法在H面上得到四边形ABba的全等四面形，再通过测量这个四边形中与AB对应的直线，来得到AB的实长。全等四边形的具体画法如图1所示：
首先，以ab边作为全等四边形与四边形ABba的公共边；其次，根据全等关系：ac=Aa，bd=Bb，但是Aa和Bb是空间直线，无法直接得到它们的实际长度以作为在H投影面上绘制ac、bd的依据，不过由点的投影定义以及V面与H面的垂直关系可得：Bb′O2b和Aa′O1a均为矩形，因此Bb=b′O2，Aa=a′O1，而b′O2和a′O1均可通过步骤（a）获得，由此ac、bd的长度得到了确定；
最后，根据全等关系：∠cab=∠baA=90°，∠dba=∠abB=90°。
到此为止，绘制全等四边形abdc的所有参数均得到确定：即可在水平H面上通过步骤（b）-（d）确定四边形abdc，最终得到与空间直线AB等长的、可测量的直线cd。
现对两种方法各自的特点进行分析：
（1）现有方法通过在空间建立一个以直线AB为斜边的空间直角三角ABC来求解AB的实长，而本文中的新方法则直接利用图中已有的空间四边形ABba进行求解。
（2）现有方法在确定空间三角形直角边的长度时并不能直接建立直角边与图中已知直线的对应关系，这种关系的建立需要通过较为复杂的空间分析过程才能得到，与此形成对比的是：本文的方法所利用的空间四边形ABba，其中Aa=a′O1，ab=ab，Bb=b′O2，可见用来确定空间四边形ABba形状的三条边Aa、ab、Bb的长度均能与图中的已知直线建立直接的对应关系，因此能够很方便地确定四边形的形状并映射到H投影面上，从而确定空间直线AB的长度。
（3）当空间直线是正平线、水平线或侧垂线时，按照现有的方法无法建立直角三角形，需要利用特殊位置直线的性质解决问题。新方法则不存在这个缺点，适用性强。
（4）此外相比于现有的另一种方法——换面法，本文的方法节省了两个步骤：一是建立与空间直线平行的铅垂面；二是以铅垂面为投影面作空间直线AB的投影。而恰恰是将这两个步骤在纸面上实现以便从原理上对换面法进行理解这个操作，对于空间感不强的学习者来说本身就是一个难题，就更谈不上对换面法的理解了。因此利用本文的方法求解空间直线的实长更具有思路简明好理解、步骤紧凑易操作的特点，学生独自进行原理推导会变得更加容易实现，从而真正做到在理解的基础上掌握。
三、结论
现有方法的基本原理是以所要求解长度的空间直线为斜边，通过在空间中建立一个直角三角行进行求解的。虽然实现步骤上并不繁琐，但是推导过程的进行很大程度上有赖于良好的空间想象能力，增加了学生理解的难度。而本文中介绍的方法则直接利用已经存在的四边形作为问题求解的载体，对四边形的确定过程也简单直接，因此最大程度地简化思路，便于理解和记忆，达到了降低“门槛”的目的，新方法在现实教学中实践获得了更好的教学效果，具有很强的推广应用价值。
四、教学思路改革的意义
新方法实践成功的事实再次证明，对于工程制图这种以观察实践为主要教学方法和教学手段的课程，如果不进行与时俱进的创新改革，用创新的方式降低工程制图的学习难度，而是照本宣科地进行教学，一味地强调提高学生的空间想象能力，短时间内很难达到理想的效果。学生甚至会被其抽象的空间思维方式所难倒，大大限制了学生学习的积极性，最终使这门课程变得枯燥无味，毫无吸引力可言。只有对教学思路进行适当的改革，有效地降低难度，才能打破工程制图在学生心目中的神秘感和恐惧感，让学生意识到即使空间感不是很好，依然能够通过创新出的新方法理解并学好工程制图，从而培养学生学习工程制图的兴趣、建立信心，甚至鼓励学生在学好的基础上进行独立的思考，由学习者变为创新者，在学习知识的同时获得成就感。更重要的是通过对工程制图的学习，保持学生思考的独立性，不墨守成规，勇于创新，用创造性的方法解决学习当中遇到的实际问题，培养学生走向社会后独立工作的能力。因此可以说，新方法给我们带来的工程制图教学思路改革的启示，要比新方法本身帮助学生解决的某些具體问题更具有实际意义。
参考文献：
[1]吴碧金，胡志超，崔晓梅.“画法几何及工程制图”教学改革研究与实践[J].集美大学学报，2007，8（2）：82.
[2]何铭新，钱可强，徐祖茂.机械制图[M].高等教育出版社，2010.
责任编辑：孙 瑶
关键词：全等四边形 矩形对边
中图分类号：TH126 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2017）17-0183-02
工程制图是一门工程院校的基础课，其中的画法几何部分是整门课程的基础。其特点是既有严密的逻辑性同时又要求学习者具有较好的空间想象能力，从而能够正确地建立空间立体与投影面投影的关系。为了适应当前科学技术的进展以及我国大多数院校机械类、近机械类各专业课程的教学现状和教学改革发展趋势，针对该课程的上述特点，教师在授课时既要培养学生的空间想象、空间思维能力、创造性构型设计能力，提高学生的“入门”水平，同时又要降低“入门”的门槛，在不删减教学内容的前提下尽量简化尤其是涉及空间思维的过程，通过两方面的努力来提高教学质量、保证教学效果。当前该课程教学改革的重点是加强学生空间想象、空间思维能力的培养[1]，但学生的空间想象能力良莠不齐，能力的提高也并非是一朝一夕所能够达到的，基于这种实际情况，本着坚持理论联系实际的方针，适当降低“入门”的门槛，尽量简化涉及空间想象的思维过程也是一种非常现实的教学思路，有时能够达到事半功倍的教学效果，就是在这种教学思路的启发下创造出了一种新的工程制图中求解空间直线实长的新方法。以下是对该方法的具体阐述以及几何原理推导。
一、方法介绍
首先通过一个例子，介绍一下该方法的具体步骤：
空间直线AB的正面投影为a′b′，水平投影为ab，求空间直线AB的实长。新方法将通过（a）-（d）四步求解直线AB的实长：
步骤（a）：分别连接直线两个端点的水平投影和正面投影，两条直线分别交投影轴于O1、O2。
步骤（b）：分别过直线两个端点的水平投影作垂线垂直于直线的水平投影。
步骤（c）：分别在两条垂线上截取对应的两条直线在投影轴之上的部分。
步骤（d）：连接两截点，所得到的直线的长度即为空间直线AB的实长。
二、 几何原理推导
接下来阐述一下新方法的推导过程：
首先通过步骤（a）连接a′a、b′b，再使V面与H面相互垂直，然后以此为已知部分，在此基础上画出空间直线AB并表达出AB与其投影的投影关系。这里我们要求解的是直线AB的实长，但是此时我们无法直接测量出空间直线AB的长度。关于这个问题，现有的解决方法是：
直接在空间中以空间直线AB为斜边建立直角三角形ABC，然后通过找出直角三角形ABC中直角边与已知直线的对应关系使直角边的长度得到确定，从而最终确定空间直线AB的长度。对于现有的方法，虽然空间直角三角形的建立是我们比较容易想到的，但并不是两个直角边都与已知直线有着直接的对应关系。其中一个直角边的长度与a′b′两端点到H面的距离差有关。[2]而将这个距离差与a′、b′两端点到H面的距离差等同起来则需要具备较好的空间想象能力，这无疑增加了现有方法的理解难度！而本文采用的方法则是：
通过将AB所在的四边形ABba映射到H面的方法在H面上得到四边形ABba的全等四面形，再通过测量这个四边形中与AB对应的直线，来得到AB的实长。全等四边形的具体画法如图1所示：
首先，以ab边作为全等四边形与四边形ABba的公共边；其次，根据全等关系：ac=Aa，bd=Bb，但是Aa和Bb是空间直线，无法直接得到它们的实际长度以作为在H投影面上绘制ac、bd的依据，不过由点的投影定义以及V面与H面的垂直关系可得：Bb′O2b和Aa′O1a均为矩形，因此Bb=b′O2，Aa=a′O1，而b′O2和a′O1均可通过步骤（a）获得，由此ac、bd的长度得到了确定；
最后，根据全等关系：∠cab=∠baA=90°，∠dba=∠abB=90°。
到此为止，绘制全等四边形abdc的所有参数均得到确定：即可在水平H面上通过步骤（b）-（d）确定四边形abdc，最终得到与空间直线AB等长的、可测量的直线cd。
现对两种方法各自的特点进行分析：
（1）现有方法通过在空间建立一个以直线AB为斜边的空间直角三角ABC来求解AB的实长，而本文中的新方法则直接利用图中已有的空间四边形ABba进行求解。
（2）现有方法在确定空间三角形直角边的长度时并不能直接建立直角边与图中已知直线的对应关系，这种关系的建立需要通过较为复杂的空间分析过程才能得到，与此形成对比的是：本文的方法所利用的空间四边形ABba，其中Aa=a′O1，ab=ab，Bb=b′O2，可见用来确定空间四边形ABba形状的三条边Aa、ab、Bb的长度均能与图中的已知直线建立直接的对应关系，因此能够很方便地确定四边形的形状并映射到H投影面上，从而确定空间直线AB的长度。
（3）当空间直线是正平线、水平线或侧垂线时，按照现有的方法无法建立直角三角形，需要利用特殊位置直线的性质解决问题。新方法则不存在这个缺点，适用性强。
（4）此外相比于现有的另一种方法——换面法，本文的方法节省了两个步骤：一是建立与空间直线平行的铅垂面；二是以铅垂面为投影面作空间直线AB的投影。而恰恰是将这两个步骤在纸面上实现以便从原理上对换面法进行理解这个操作，对于空间感不强的学习者来说本身就是一个难题，就更谈不上对换面法的理解了。因此利用本文的方法求解空间直线的实长更具有思路简明好理解、步骤紧凑易操作的特点，学生独自进行原理推导会变得更加容易实现，从而真正做到在理解的基础上掌握。
三、结论
现有方法的基本原理是以所要求解长度的空间直线为斜边，通过在空间中建立一个直角三角行进行求解的。虽然实现步骤上并不繁琐，但是推导过程的进行很大程度上有赖于良好的空间想象能力，增加了学生理解的难度。而本文中介绍的方法则直接利用已经存在的四边形作为问题求解的载体，对四边形的确定过程也简单直接，因此最大程度地简化思路，便于理解和记忆，达到了降低“门槛”的目的，新方法在现实教学中实践获得了更好的教学效果，具有很强的推广应用价值。
四、教学思路改革的意义
新方法实践成功的事实再次证明，对于工程制图这种以观察实践为主要教学方法和教学手段的课程，如果不进行与时俱进的创新改革，用创新的方式降低工程制图的学习难度，而是照本宣科地进行教学，一味地强调提高学生的空间想象能力，短时间内很难达到理想的效果。学生甚至会被其抽象的空间思维方式所难倒，大大限制了学生学习的积极性，最终使这门课程变得枯燥无味，毫无吸引力可言。只有对教学思路进行适当的改革，有效地降低难度，才能打破工程制图在学生心目中的神秘感和恐惧感，让学生意识到即使空间感不是很好，依然能够通过创新出的新方法理解并学好工程制图，从而培养学生学习工程制图的兴趣、建立信心，甚至鼓励学生在学好的基础上进行独立的思考，由学习者变为创新者，在学习知识的同时获得成就感。更重要的是通过对工程制图的学习，保持学生思考的独立性，不墨守成规，勇于创新，用创造性的方法解决学习当中遇到的实际问题，培养学生走向社会后独立工作的能力。因此可以说，新方法给我们带来的工程制图教学思路改革的启示，要比新方法本身帮助学生解决的某些具體问题更具有实际意义。
参考文献：
[1]吴碧金，胡志超，崔晓梅.“画法几何及工程制图”教学改革研究与实践[J].集美大学学报，2007，8（2）：82.
[2]何铭新，钱可强，徐祖茂.机械制图[M].高等教育出版社，2010.
责任编辑：孙 瑶