论文部分内容阅读
目前，高中数学课堂上教师缺少对学生学习的情感、态度以及个体差异的关注，忽视学生探究精神和实践能力的培养，使学生在学习活动中的自主性、主动性和创造性受到压抑．因此，进行高中数学研究性学习的课堂教学实践，寻找一种与时代发展要求相适应的教与学的方式是势在必行的．
一、在概念的教学中开展研究性学习
数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，它具有抽象性的特点，若直接就概念而讲概念，学生难以理解和掌握．“从具体到抽象，从特殊到一般”是认识发展的规律，教师应该铺设知识台阶，从概念的产生背景和形成过程中设计具体问题，引导学生进行研究活动，让学生感受并体验知识的产生与发展的过程．
如在学习“椭圆”定义时，把学生分成八个小组并设置下列实验及问题串．
实验工具：图钉、一根绳子（无弹性）、一块白色的图板、铅笔．
实验一：请试着将绳子的两端固定在两个不同的点上作图．
实验步骤：（1）在木板上取两个定点F1，F2；（2）把细线的两端分别固定在F1，F2两点上；（3）用笔尖把细线拉紧，在木板上慢慢移动画出图形．
师：画出的轨迹是什么曲线？
生：是椭圆．
师：你能说出画出椭圆的笔尖(动点)满足的几何条件吗？
生：到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹是椭圆．
注：让学生通过动手画椭圆，获得椭圆形成过程的感性认识，为准确归纳出椭圆定义作铺垫．
实验二：请试着不断增大两定点的距离作图．
师：如何修正实验一的结论？
生：平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆．
注：在动手实践的过程中进一步完善椭圆的定义．
在探究过程中，学生经历了概念的产生与形成过程的体验，对椭圆定义有了明确的认识．由具体到抽象的探究过程，不仅能帮助学生理解、掌握新概念，而且有利于培养学生的观察能力和抽象能力．
二、在定理、公式的教学中开展研究性学习
数学定理、公式、性质是前人的发现成果，其发现过程是创造活动的过程，是一种高级思维活动的过程．如果能够充分暴露这个思维过程，让学生亲身去体验，对于发展学生的思维能力，提高学生的创造力将大有裨益．为此，教师在教学中可以结合具体内容，设计一些与定理、公式相关联的探究问题，引发学生主动进行探索．
如在“组合公式” 的教学中，可设置下列问题串．
1.先回答下列问题是组合问题还是排列问题，再完成表格：（1）从集合1,2,3中取出3个元素组成三元子集．（2）从集合1,2,3中取出3个元素后，组成三位数，写出所有的三位数．
答：（1)____问题，符号表示为____；（2）____问题，符号表示为___；三元子集有______；三位数有_______；三元子集个数为_______；三位数个数为______．观察两边个数的关系，可以得出结论：__________．你能否从分步计数原理的角度，解释排列与组合之间的关系？两者联系：_______．
2. 由特殊情况推广到一般：n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数，可以看作由以下步骤得到：第1步，从这n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，共有几种不同的取法；第2步，再将取出的m个元素作全排列，共有几种不同的排法．
由分步计数原理有：Amn=______；结论：_______．
3. 导出组合数公式：Cmn= ________
= ；变形后还可以写为:Cmn=_______，特别规定Con=_______．
课堂上，学生通过自己的探索而发现公式，这比教师直接灌输的印象更为深刻．在探索过程中，既培养了学生的创新意识，又发展了学生的推理能力和抽象能力．
三、在例题、习题的教学中开展研究性学习
例题、习题是教科书的重要组成部分，是学生获取知识的载体，也是把知识转化为能力的桥梁．例题和习题都蕴含着重要的数学思想方法，对这些数学问题进行适度变形或拓展，引导学生分析研究，这样可以提高学生综合分析问题和解决问题的能力．
例：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围（见人教版高中数学2-1复习参考题A组P80第5题）．
简析：对于本题的求解，学生一般都能将直线和双曲线的方程联立，消掉y后，由所得的关于x的方程的二次项系数不为零，且判别式小于零，即可解得k＞■或k＜-■，但如果就此戛然而止，则会错过一次提高学生能力的绝佳机会，我们可以通过下面的变式，来透视直线和双曲线的各种位置关系．
变式1：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的范围．
变式2：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公共点，求k的范围．
变式3：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左支有两个公共点，求k的范围．
变式4：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的两支各有1个公共点，求k的范围．
四、在复习课的教学中开展研究性学习
在复习课中，教师对探究问题的设计不能拘泥于课本一般问题的呈现形式与解答要求，应在问题的条件、结论、解题策略方面设计有一定的开放程度，让学生在研究性学习活动中建立数学知识的联系，实现新的认知结构的主动建构．
例：求曲线y2=-4-2x上与原点距离最近的点的坐标．
略解：设所求的点为P（x，y），则
OP=■=■=■(x≤-2)，当x=-2时，OPmin=2，这时y=0，点(-2，0)为所求的坐标．
说明：此点即为抛物线的顶点．
1. 改变条件，挖掘内在联系
变式1：求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标．
解法：同上，答案为(1，±■)．
说明：此点不是抛物线的顶点．
2. 将条件一般化，提高综合分析能力
将课本习题条件一般化,是设计变式题一种常用方法．
变式2：在曲线y2=-4-2x上求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短,并求最短距离．
解：设点M的坐标为（x，y）
则OP=■=■=■(x≤-2)，若a≥-3，则当x=-2时，MAmin=a+2，这时点M的坐标为(-2，0)；若a＜-3，则当x=a+1时，MAmin=■，这时点M的坐标为（a+1，±■）．
说明：本题实际上是前两题的归纳和总结．
3. 添加背景材料，提高应变能力
在教学过程中,善于引导学生变换习题的形式,可激发学生的求知欲望,提高学生的应变能力．
变式3：抛物线C1∶y2=-4-2x与动圆C2∶（x-a）2+y2=1没有公共点,求a的取值范围．
解：∵抛物线C1与圆没有公共点,
∴方程组y2=-4-2x（x-a）2+y2=1无解,
∴x2-2（a+1）x+a2-5=0在（-∞，-2]内无实数根．
令f（x）=x2-2（a+1）x+a2-5对称轴：x=a+1
则△≥0a+1＞-2f（-2）＞0,或△＜0, 得a≥-3a＞-3a＞-1或＜-3,或a＜-3
∴a的取值范围为a＞-1或a＜-3．
说明：如果变为只有一个公共点呢？则引出变式4．
责任编辑 罗 峰
一、在概念的教学中开展研究性学习
数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，它具有抽象性的特点，若直接就概念而讲概念，学生难以理解和掌握．“从具体到抽象，从特殊到一般”是认识发展的规律，教师应该铺设知识台阶，从概念的产生背景和形成过程中设计具体问题，引导学生进行研究活动，让学生感受并体验知识的产生与发展的过程．
如在学习“椭圆”定义时，把学生分成八个小组并设置下列实验及问题串．
实验工具：图钉、一根绳子（无弹性）、一块白色的图板、铅笔．
实验一：请试着将绳子的两端固定在两个不同的点上作图．
实验步骤：（1）在木板上取两个定点F1，F2；（2）把细线的两端分别固定在F1，F2两点上；（3）用笔尖把细线拉紧，在木板上慢慢移动画出图形．
师：画出的轨迹是什么曲线？
生：是椭圆．
师：你能说出画出椭圆的笔尖(动点)满足的几何条件吗？
生：到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹是椭圆．
注：让学生通过动手画椭圆，获得椭圆形成过程的感性认识，为准确归纳出椭圆定义作铺垫．
实验二：请试着不断增大两定点的距离作图．
师：如何修正实验一的结论？
生：平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆．
注：在动手实践的过程中进一步完善椭圆的定义．
在探究过程中，学生经历了概念的产生与形成过程的体验，对椭圆定义有了明确的认识．由具体到抽象的探究过程，不仅能帮助学生理解、掌握新概念，而且有利于培养学生的观察能力和抽象能力．
二、在定理、公式的教学中开展研究性学习
数学定理、公式、性质是前人的发现成果，其发现过程是创造活动的过程，是一种高级思维活动的过程．如果能够充分暴露这个思维过程，让学生亲身去体验，对于发展学生的思维能力，提高学生的创造力将大有裨益．为此，教师在教学中可以结合具体内容，设计一些与定理、公式相关联的探究问题，引发学生主动进行探索．
如在“组合公式” 的教学中，可设置下列问题串．
1.先回答下列问题是组合问题还是排列问题，再完成表格：（1）从集合1,2,3中取出3个元素组成三元子集．（2）从集合1,2,3中取出3个元素后，组成三位数，写出所有的三位数．
答：（1)____问题，符号表示为____；（2）____问题，符号表示为___；三元子集有______；三位数有_______；三元子集个数为_______；三位数个数为______．观察两边个数的关系，可以得出结论：__________．你能否从分步计数原理的角度，解释排列与组合之间的关系？两者联系：_______．
2. 由特殊情况推广到一般：n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数，可以看作由以下步骤得到：第1步，从这n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，共有几种不同的取法；第2步，再将取出的m个元素作全排列，共有几种不同的排法．
由分步计数原理有：Amn=______；结论：_______．
3. 导出组合数公式：Cmn= ________
= ；变形后还可以写为:Cmn=_______，特别规定Con=_______．
课堂上，学生通过自己的探索而发现公式，这比教师直接灌输的印象更为深刻．在探索过程中，既培养了学生的创新意识，又发展了学生的推理能力和抽象能力．
三、在例题、习题的教学中开展研究性学习
例题、习题是教科书的重要组成部分，是学生获取知识的载体，也是把知识转化为能力的桥梁．例题和习题都蕴含着重要的数学思想方法，对这些数学问题进行适度变形或拓展，引导学生分析研究，这样可以提高学生综合分析问题和解决问题的能力．
例：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围（见人教版高中数学2-1复习参考题A组P80第5题）．
简析：对于本题的求解，学生一般都能将直线和双曲线的方程联立，消掉y后，由所得的关于x的方程的二次项系数不为零，且判别式小于零，即可解得k＞■或k＜-■，但如果就此戛然而止，则会错过一次提高学生能力的绝佳机会，我们可以通过下面的变式，来透视直线和双曲线的各种位置关系．
变式1：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的范围．
变式2：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公共点，求k的范围．
变式3：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左支有两个公共点，求k的范围．
变式4：直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的两支各有1个公共点，求k的范围．
四、在复习课的教学中开展研究性学习
在复习课中，教师对探究问题的设计不能拘泥于课本一般问题的呈现形式与解答要求，应在问题的条件、结论、解题策略方面设计有一定的开放程度，让学生在研究性学习活动中建立数学知识的联系，实现新的认知结构的主动建构．
例：求曲线y2=-4-2x上与原点距离最近的点的坐标．
略解：设所求的点为P（x，y），则
OP=■=■=■(x≤-2)，当x=-2时，OPmin=2，这时y=0，点(-2，0)为所求的坐标．
说明：此点即为抛物线的顶点．
1. 改变条件，挖掘内在联系
变式1：求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标．
解法：同上，答案为(1，±■)．
说明：此点不是抛物线的顶点．
2. 将条件一般化，提高综合分析能力
将课本习题条件一般化,是设计变式题一种常用方法．
变式2：在曲线y2=-4-2x上求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短,并求最短距离．
解：设点M的坐标为（x，y）
则OP=■=■=■(x≤-2)，若a≥-3，则当x=-2时，MAmin=a+2，这时点M的坐标为(-2，0)；若a＜-3，则当x=a+1时，MAmin=■，这时点M的坐标为（a+1，±■）．
说明：本题实际上是前两题的归纳和总结．
3. 添加背景材料，提高应变能力
在教学过程中,善于引导学生变换习题的形式,可激发学生的求知欲望,提高学生的应变能力．
变式3：抛物线C1∶y2=-4-2x与动圆C2∶（x-a）2+y2=1没有公共点,求a的取值范围．
解：∵抛物线C1与圆没有公共点,
∴方程组y2=-4-2x（x-a）2+y2=1无解,
∴x2-2（a+1）x+a2-5=0在（-∞，-2]内无实数根．
令f（x）=x2-2（a+1）x+a2-5对称轴：x=a+1
则△≥0a+1＞-2f（-2）＞0,或△＜0, 得a≥-3a＞-3a＞-1或＜-3,或a＜-3
∴a的取值范围为a＞-1或a＜-3．
说明：如果变为只有一个公共点呢？则引出变式4．
责任编辑 罗 峰