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日常教学，难免会碰到形形色色的学生理解问题，这些问题处理地恰当与否，恰好体现了教学对目的的重视度，教学对主体的关注度，恰好暴露了学生数学学习的“给力点”是否处理地得体、务实，恰好反应了课堂教学是否真正尊重学生的学习愿望. 这样的问题不容忽视,值得分析和研究. 本文就借一些笔者“亲身经历”或“道听途说”的教学事实给予说明．
1 同位角的个数与类比思想
学生思维的活跃程度一定量上反映了老师教学的开放程度和创新程度,反映了学生参与课堂的能动性和积极性.课堂内总有来自学生的不同声音,并不一定是老师的失败,并不意味着学生不尊重老师,或者是对老师的否定.相反地,它恰恰说明了老师课堂的包容性,说明了学生学习的主动性,说明了老师不仅能善意的尊重学生的理解,甚至是尊重学生有“瑕疵”的理解,还能让学生拥有自己独立表达的时空.同位角,一个再简单不过的概念,一场争辩,却带出了一片崭新的教学天空．
争辩缘于如下问题：观察如图1所示图形.请列出图中5对同位角,7对内错角．
在问题解决过程中,有一同学坚决认为问题错了,应改为“请列出图中7对同位角,7对内错角.”
老师在与同学一阵争辩之后,让他阐述理由.这理由让老师诧异了.内容如下：如图2中的∠1与∠4是直线a、b被直线c所截的一对同位角,设图3中的直线a、b的交点为O,则图3中∠4与∠3、∠4与∠1都是同位角,把直线c沿箭头方向平移,使直线c也经过点O,如图4所示,则∠4与∠1、∠4与∠3也是同位角,由此可知图1中的同位角还有∠CAD与∠MAC、∠CAD与∠NAD,再加上∠ABC与∠ACF,∠ABE与∠ACE,∠MAD与∠EBD,∠BAC与∠DBC,∠DAC与∠DBC共7对．
老师表扬了同学的探究精神,肯定了这种动态的类比思想,但也分析了“三线八角”中线线之间的辩证关系.这场争辩,不仅让全体同学更清晰地明白“两条直线被第三条直线所截”的前提是“三条直线不相交于一点”,还用活了学生活跃的思维,体现了老师的高风亮节.争辩结果,维持原判,学生口服心服．
2 少了的6分与方程模型
老师因为讲格式,要严谨,知识点易对号入座,其思维经常是固态的；学生的思维,不会受约束,经常是液态乃至气态的.这种不定型思维常使老师难辨真伪.这种现象,在没有语言交流的考试中表现得尤为严重．
有这样一道7分题：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空.请问有多少辆汽车？老师根据知识点来解答,是列一元一次不等式组的.下面的解答,就被判为是“瞎凑的”,只得“1”分.现抄录如下：
解：设有x辆汽车,由题意得：
4x 20=8x-4,所以x=6．
从列不等式的角度看,学生主要错在误解“不满也不空”；从解答问题的角度看,有用科学归纳法(枚举法)的.那么,上述解法的同学是怎样“想”的呢？在讲评过程中,该同学直接喊出“还我6分”!这是为什么？
请听他的分析：假设有x辆汽车,则货物有(4x 20)吨,如果每辆汽车装8吨,后一辆汽车不满也不空,说明货物比8x少1至7吨,因为(4x 20)是4的倍数,说明8x减去一个数后也是4的倍数,1至7之间是4的倍数的只有4,所以可以列出方程4x 20=8x-4．
分析巧妙地抓住了该问题中方程成立的条件是等号两边都应该是4的倍数这一特征,弃“定势的不等式组或严格的科学归纳”,活用最基本的公因数知识,当加6分!不过,我们依然建议学生写出自己独到解法中必要的分析过程,否则中考时,就只能吃“哑巴亏”了．
学生的这种能动性,其实是教学中解决问题策略多样化的源泉.教学中,只要我们放开手脚,不封堵这泉眼,学生的策略定不是我们能“尽”收眼底的．
3 “两点之间线段最短”与等积法
数学中,很多知识是不用证明的,如命题“两点之间,线段最短”.教学时,老师会举出“小狗看到远处的骨头,总是径直奔向食物”、“人们总是选择直路,以至于踩踏了公园中的花草”等生活事例,并引导学生思考事例中共性,直到归纳出“在所有连结两点的线中,线段最短,简单地说,两点之间线段最短”这一性质．
当学生应老师“再举一能说明‘两点之间,线段最短’的生活实例”之邀时,表达了如下思想：把一根橡皮筋(足够长)与线段重叠,并用两个图钉在端点处固定,用第三个图钉把橡皮筋顶住推开,线段被分为2段；再用第四个图钉把橡皮筋中的一段顶住再推开,线段被分为3段,一直做下去,橡皮筋越来越细,越来越长,说明“两点之间,线段最短”．
老师和其他同学迷糊了,只有他耐心地配图解释：如图5—7,黑点代表图钉,黑线线段代表橡皮筋.从如图5到如图7,橡皮筋越来越细,直径就越来越小,橡皮筋的体积不变,因此橡皮筋变得越来越长,也就是在点A与点B之间的路程越来越长,因此,只有图5中最粗的橡皮筋直径最大,长度最短,也就是两点之间线段最短．
如果还不明白,请看下文：假设每种状态下橡皮筋都是粗细均匀的圆柱体,且图5中的橡皮筋的长度为l1,橡皮筋的半径为R,则此时橡皮筋的长度l1=AB的.不妨设图7中橡皮筋的总长度为l2,橡皮筋的半径为r,则此时橡皮筋的长度l2=AD CD CB.由于橡皮筋在伸长过程中体积不变,却越来越细,即R﹥r,由此得πR2
1 同位角的个数与类比思想
学生思维的活跃程度一定量上反映了老师教学的开放程度和创新程度,反映了学生参与课堂的能动性和积极性.课堂内总有来自学生的不同声音,并不一定是老师的失败,并不意味着学生不尊重老师,或者是对老师的否定.相反地,它恰恰说明了老师课堂的包容性,说明了学生学习的主动性,说明了老师不仅能善意的尊重学生的理解,甚至是尊重学生有“瑕疵”的理解,还能让学生拥有自己独立表达的时空.同位角,一个再简单不过的概念,一场争辩,却带出了一片崭新的教学天空．
争辩缘于如下问题：观察如图1所示图形.请列出图中5对同位角,7对内错角．
在问题解决过程中,有一同学坚决认为问题错了,应改为“请列出图中7对同位角,7对内错角.”
老师在与同学一阵争辩之后,让他阐述理由.这理由让老师诧异了.内容如下：如图2中的∠1与∠4是直线a、b被直线c所截的一对同位角,设图3中的直线a、b的交点为O,则图3中∠4与∠3、∠4与∠1都是同位角,把直线c沿箭头方向平移,使直线c也经过点O,如图4所示,则∠4与∠1、∠4与∠3也是同位角,由此可知图1中的同位角还有∠CAD与∠MAC、∠CAD与∠NAD,再加上∠ABC与∠ACF,∠ABE与∠ACE,∠MAD与∠EBD,∠BAC与∠DBC,∠DAC与∠DBC共7对．
老师表扬了同学的探究精神,肯定了这种动态的类比思想,但也分析了“三线八角”中线线之间的辩证关系.这场争辩,不仅让全体同学更清晰地明白“两条直线被第三条直线所截”的前提是“三条直线不相交于一点”,还用活了学生活跃的思维,体现了老师的高风亮节.争辩结果,维持原判,学生口服心服．
2 少了的6分与方程模型
老师因为讲格式,要严谨,知识点易对号入座,其思维经常是固态的；学生的思维,不会受约束,经常是液态乃至气态的.这种不定型思维常使老师难辨真伪.这种现象,在没有语言交流的考试中表现得尤为严重．
有这样一道7分题：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空.请问有多少辆汽车？老师根据知识点来解答,是列一元一次不等式组的.下面的解答,就被判为是“瞎凑的”,只得“1”分.现抄录如下：
解：设有x辆汽车,由题意得：
4x 20=8x-4,所以x=6．
从列不等式的角度看,学生主要错在误解“不满也不空”；从解答问题的角度看,有用科学归纳法(枚举法)的.那么,上述解法的同学是怎样“想”的呢？在讲评过程中,该同学直接喊出“还我6分”!这是为什么？
请听他的分析：假设有x辆汽车,则货物有(4x 20)吨,如果每辆汽车装8吨,后一辆汽车不满也不空,说明货物比8x少1至7吨,因为(4x 20)是4的倍数,说明8x减去一个数后也是4的倍数,1至7之间是4的倍数的只有4,所以可以列出方程4x 20=8x-4．
分析巧妙地抓住了该问题中方程成立的条件是等号两边都应该是4的倍数这一特征,弃“定势的不等式组或严格的科学归纳”,活用最基本的公因数知识,当加6分!不过,我们依然建议学生写出自己独到解法中必要的分析过程,否则中考时,就只能吃“哑巴亏”了．
学生的这种能动性,其实是教学中解决问题策略多样化的源泉.教学中,只要我们放开手脚,不封堵这泉眼,学生的策略定不是我们能“尽”收眼底的．
3 “两点之间线段最短”与等积法
数学中,很多知识是不用证明的,如命题“两点之间,线段最短”.教学时,老师会举出“小狗看到远处的骨头,总是径直奔向食物”、“人们总是选择直路,以至于踩踏了公园中的花草”等生活事例,并引导学生思考事例中共性,直到归纳出“在所有连结两点的线中,线段最短,简单地说,两点之间线段最短”这一性质．
当学生应老师“再举一能说明‘两点之间,线段最短’的生活实例”之邀时,表达了如下思想：把一根橡皮筋(足够长)与线段重叠,并用两个图钉在端点处固定,用第三个图钉把橡皮筋顶住推开,线段被分为2段；再用第四个图钉把橡皮筋中的一段顶住再推开,线段被分为3段,一直做下去,橡皮筋越来越细,越来越长,说明“两点之间,线段最短”．
老师和其他同学迷糊了,只有他耐心地配图解释：如图5—7,黑点代表图钉,黑线线段代表橡皮筋.从如图5到如图7,橡皮筋越来越细,直径就越来越小,橡皮筋的体积不变,因此橡皮筋变得越来越长,也就是在点A与点B之间的路程越来越长,因此,只有图5中最粗的橡皮筋直径最大,长度最短,也就是两点之间线段最短．
如果还不明白,请看下文：假设每种状态下橡皮筋都是粗细均匀的圆柱体,且图5中的橡皮筋的长度为l1,橡皮筋的半径为R,则此时橡皮筋的长度l1=AB的.不妨设图7中橡皮筋的总长度为l2,橡皮筋的半径为r,则此时橡皮筋的长度l2=AD CD CB.由于橡皮筋在伸长过程中体积不变,却越来越细,即R﹥r,由此得πR2