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中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2009)13-149-01
随着现代数学教育改革的不断深入,学生数学思维能力的培养和训练日益成为人们关注的热点。数学思维能力的培养,我们不仅要整体把握,更要有层次把握,使数学教学既非轻而易举让学生感到乏味,也非高不可攀令学生丧失信心。
一、分析特征,揭示本质
事物的本质寓于事物的表象中。有意识地引导学生对过分析题目的条件及隐含条件,分析题目的结论与结论成立的条件,分析已知与结论之间的区别与联系,从中找出更一般的性质规律,即抓住问题的实质,不仅可以使问题迎刃而解,同时也可以提高学生的思维品质。为了培养学生的这些能力,可以设计一些末明确说明问题的题目(它要求学生自己提出问题,并予以解答)、缺少信息或信息多余的题目、条件隐蔽的题目等。解答这类题目,学生必须进行观察,必须把题目看作一问题的本质。这样有利于培养学生观察、分析和综合等能力。
二、退一步想,以退求进
“以退求”是人们常用的思维方法与思维策略,数学解题中的“退”是把一个较复杂的问题“退”成最简单、最原始的问题。把这个最简单最原始的问题想通了、想透了,就不仅可以进,而且可以来一个飞跃。如几何定理论证中的思维主要是抽象思维。但是我们可以退一步,引导学生通过对图形的拼搭、折叠、“搬动”等直观象活动去探求和论证其真实性,使学生的形象思维和抽象思维能力在这种“实验一猜想一论证”的过程中协调发展。学生之所以感到某些内容难学,问题难解,主要是由于该内容或问题的抽象程度高,综合性强。为减少这种思维的跳跃,适当地采取“以退求进”、化归、模型化等策略,采取“铺垫”等做法,无疑可以取得事半功倍的效果。
三、类比联想,借石攻玉
教育家G.波利亚说:“类比是伟大的领路人。”由于事物之间具有相同或相似的属性,所以我们可以由其中一个或一类问题所具有的已知属性,去推知另一个或一类问题所具有的相似属性。如在“勾股定理”的教学中,导入时可以提问:对于等腰三角形或等边三角开的边除满足三边关系定理外,并且可以推出“等边对等角”(性质定理)、“等角对等边”(判定定理)。就是说,边的特殊性会引起角的特殊性,角的特殊性会引起边的特殊性,那么对于直角三角开(角有特殊性)的边满足三边关系定理外,它们之间还存在什么样的等量特殊关系呢?这里由此及彼的类比,反映了问题的实质:“把形的特殊——三角形中一个角是直角,转化成数量关系——三边之间满足c2=a2+b2”。这种借它山之石用以攻玉的思维方法,不仅可以提高学生的解题能力,而且能力大幅度提高学生的思维深度。
四、寻求关联,灵活变换
数学问题中的诸多因素是相互关联、相互制约的。对已知条件、求解的问题及求证的结论在观察的基础上,寻找该问题与已有的知识的联系,通过变换把问题转化成一个或几个易于解决的问题。其思维特点就是往往不对问题进行正面的突破,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决问题。从某种意义上说,“变换”是解题与证明的精髓。因此,在习题教学中,要特别注意加强这方面的训练。如有理数运算的步骤是先定符号,再进行数值计算,教学时应指出:当符号确定后,有理数的运算问题便转化为算术数的运算了。又如,解一元一次方程的教学可在化归观念指导之下进行。首先,通过一般方程与最简方程ax=b(a≠0)的比较,指出解方程就是要通过变形,将方程转化为最简方程,进而解这个最简方程。这样做对于提高学生应变能力,培养思维的灵活性与敏捷性都是十分必要和有益的。
五、特殊化方法
唯物辩证法认为,一般寓于特殊之中,共性寓于个性之中。由特殊到一般或由一般到特殊是人类认识世界的普遍规律。有些一般性的问题很难立即找到解题方法,不妨将其向特殊化方向转化。利用特殊中内含的本质联系,通过归纳思维,可以寻求一般问题的解决。另外,有些特殊问题若转化成一般情况则更易解决。这些转化有时是模式的转化,的时是数量关系或位置关系的转化等。如在几何中解决定量问题时,要运用一定的猜想、联想、推理、计算等手段探求题中确定的对象,即探求定值,一旦定值被找出,实质上就转化为我们熟悉的几何证明问题了。解决这类问题要通过题目中元素动静结合,特殊与一般结合,即把题目中变动元素按题目要求运动到一定的位置(一般是极限位置或特殊位置),从而探求到定值,然后把空上定值转化到一般位置再进行一般性论证。这样通过转化,使问题尽可能向已有知识积累方向转化。
六、数形结合,互相转化
“数”和“形”是共存于同一体中的事物的两个侧面。“数”缺“形”少直观,“形”离“数”难人微,由数思形、以形思数、数形结合考虑问题无疑是一种有效的思维方式。在实际问题中,有时需要利用“数”的特征反映问题的本质;有时需要利用“形”的相互转化与结合在处理问题中的作用,可帮助学生认识数学的内在联系。如在勾股定理的喋探索和验证中,数形结合的思维有较多体现。勾股定理的证明对初中生来说是个难点,教科书采用将八个全等的直角三角形拼成两个图形的方法进行证明,直观、易懂,很好地体现了数形结合思想。另外。在习题教学中,要注意引导学生从数与形两个侧面对问题进行分析,寻求运动规律,以培养学生思维的探刻性与批判性。
随着现代数学教育改革的不断深入,学生数学思维能力的培养和训练日益成为人们关注的热点。数学思维能力的培养,我们不仅要整体把握,更要有层次把握,使数学教学既非轻而易举让学生感到乏味,也非高不可攀令学生丧失信心。
一、分析特征,揭示本质
事物的本质寓于事物的表象中。有意识地引导学生对过分析题目的条件及隐含条件,分析题目的结论与结论成立的条件,分析已知与结论之间的区别与联系,从中找出更一般的性质规律,即抓住问题的实质,不仅可以使问题迎刃而解,同时也可以提高学生的思维品质。为了培养学生的这些能力,可以设计一些末明确说明问题的题目(它要求学生自己提出问题,并予以解答)、缺少信息或信息多余的题目、条件隐蔽的题目等。解答这类题目,学生必须进行观察,必须把题目看作一问题的本质。这样有利于培养学生观察、分析和综合等能力。
二、退一步想,以退求进
“以退求”是人们常用的思维方法与思维策略,数学解题中的“退”是把一个较复杂的问题“退”成最简单、最原始的问题。把这个最简单最原始的问题想通了、想透了,就不仅可以进,而且可以来一个飞跃。如几何定理论证中的思维主要是抽象思维。但是我们可以退一步,引导学生通过对图形的拼搭、折叠、“搬动”等直观象活动去探求和论证其真实性,使学生的形象思维和抽象思维能力在这种“实验一猜想一论证”的过程中协调发展。学生之所以感到某些内容难学,问题难解,主要是由于该内容或问题的抽象程度高,综合性强。为减少这种思维的跳跃,适当地采取“以退求进”、化归、模型化等策略,采取“铺垫”等做法,无疑可以取得事半功倍的效果。
三、类比联想,借石攻玉
教育家G.波利亚说:“类比是伟大的领路人。”由于事物之间具有相同或相似的属性,所以我们可以由其中一个或一类问题所具有的已知属性,去推知另一个或一类问题所具有的相似属性。如在“勾股定理”的教学中,导入时可以提问:对于等腰三角形或等边三角开的边除满足三边关系定理外,并且可以推出“等边对等角”(性质定理)、“等角对等边”(判定定理)。就是说,边的特殊性会引起角的特殊性,角的特殊性会引起边的特殊性,那么对于直角三角开(角有特殊性)的边满足三边关系定理外,它们之间还存在什么样的等量特殊关系呢?这里由此及彼的类比,反映了问题的实质:“把形的特殊——三角形中一个角是直角,转化成数量关系——三边之间满足c2=a2+b2”。这种借它山之石用以攻玉的思维方法,不仅可以提高学生的解题能力,而且能力大幅度提高学生的思维深度。
四、寻求关联,灵活变换
数学问题中的诸多因素是相互关联、相互制约的。对已知条件、求解的问题及求证的结论在观察的基础上,寻找该问题与已有的知识的联系,通过变换把问题转化成一个或几个易于解决的问题。其思维特点就是往往不对问题进行正面的突破,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决问题。从某种意义上说,“变换”是解题与证明的精髓。因此,在习题教学中,要特别注意加强这方面的训练。如有理数运算的步骤是先定符号,再进行数值计算,教学时应指出:当符号确定后,有理数的运算问题便转化为算术数的运算了。又如,解一元一次方程的教学可在化归观念指导之下进行。首先,通过一般方程与最简方程ax=b(a≠0)的比较,指出解方程就是要通过变形,将方程转化为最简方程,进而解这个最简方程。这样做对于提高学生应变能力,培养思维的灵活性与敏捷性都是十分必要和有益的。
五、特殊化方法
唯物辩证法认为,一般寓于特殊之中,共性寓于个性之中。由特殊到一般或由一般到特殊是人类认识世界的普遍规律。有些一般性的问题很难立即找到解题方法,不妨将其向特殊化方向转化。利用特殊中内含的本质联系,通过归纳思维,可以寻求一般问题的解决。另外,有些特殊问题若转化成一般情况则更易解决。这些转化有时是模式的转化,的时是数量关系或位置关系的转化等。如在几何中解决定量问题时,要运用一定的猜想、联想、推理、计算等手段探求题中确定的对象,即探求定值,一旦定值被找出,实质上就转化为我们熟悉的几何证明问题了。解决这类问题要通过题目中元素动静结合,特殊与一般结合,即把题目中变动元素按题目要求运动到一定的位置(一般是极限位置或特殊位置),从而探求到定值,然后把空上定值转化到一般位置再进行一般性论证。这样通过转化,使问题尽可能向已有知识积累方向转化。
六、数形结合,互相转化
“数”和“形”是共存于同一体中的事物的两个侧面。“数”缺“形”少直观,“形”离“数”难人微,由数思形、以形思数、数形结合考虑问题无疑是一种有效的思维方式。在实际问题中,有时需要利用“数”的特征反映问题的本质;有时需要利用“形”的相互转化与结合在处理问题中的作用,可帮助学生认识数学的内在联系。如在勾股定理的喋探索和验证中,数形结合的思维有较多体现。勾股定理的证明对初中生来说是个难点,教科书采用将八个全等的直角三角形拼成两个图形的方法进行证明,直观、易懂,很好地体现了数形结合思想。另外。在习题教学中,要注意引导学生从数与形两个侧面对问题进行分析,寻求运动规律,以培养学生思维的探刻性与批判性。