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利用数列{sinn}与{cosn}在区间[-1,1]上的稠密性,及三函数的构造法证明了一些重要的结果,并在这些结果的基础上,对{sin an}k,sin ank{＋b}与cos（ank{＋b）}的发散性进行了证明.为完全解决{sin pk（n）}与cos pk{（n）}的敛散性提供了许多创新性的思路和方法,也为更加透彻分析{sinn}与{cosn}的分布规律奠定了基础.