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排列和组合是高中数学教与学的一个难点，虽然高考中所占比重不大，但试题具有一定的灵活性、机动性和综合性，教学中又涉及到分类与整合、转化与化归、正难则反等多种思维方法，又是概率的基础。因此，做好这部分的复习至关重要。下面笔者从以下几个方面谈谈这个问题：
一、排列、组合题目的分类
排列组合的题目大致分二类。
1．无附加条件的排列组合题
例1，书架的第一层放有4本不同的数学书，第二层放有3本不同的语文书，第三层放有2本不同的体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的方法？（4＋3＋2＝9）
（2）从书架的第一、二、三层各取1本书，有多少种不同的方法？（4×3×2＝24）
例2，从5位同学中产生一名组长，一名副组长，有多少种不同的方法？（ ）
例3，高二年级8个班进行篮球单循环赛，共有多少场不同的比赛？（ ）
例4，某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？（ ＋ ＋ ＝15）
2．有附加条件的排列组合题
例5，7个人站成一排，如果甲必须站在正中间，有多少种不同的方法？（ ）
例6，从数字0，1，3，5，7中取出不同的3个作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？（a不能取0，共有 • ＝48个）
二、排列、组合题的解法
排列组合题的解法大致有两种。
1．直接法
直接法一般可以从两个方面考虑：①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其它元素。②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其它位置。
例7，6人站成一排照相，甲不站在右端，也不站在左端的排法有多少种？
［解析］：将问题转化为一个6位数的填空□□□□□□
方法1：从元素考虑，甲是特殊元素，先从中间四个位置任选一个安排甲有 种，后排余下的5人有 种，由乘法原理共有 • ＝480种。
方法2：从位置考虑，1号和6号是特殊位置，先从除甲外的5人中任取两人安排这两个位置有 种，后排余下的4个位置有 种，由乘法原理共有 • ＝480种。
2．间接法
如果问题的正面分类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题的分类较少或计算简便，往往采用间接法（剔除不符合条件的）。
例8，从7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）至少有一名女生当选
（2）A，B不全当选
［解析］：①若从正面考虑有五种情况，故考虑反面，用间接法：（ － ）。②A，B不全当选的反面是必然当选，用间接法处理：（ － ）。
三、注重基础知识和基本方法的复习
1．仔细审题、区分排组
排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下的所有可能的配制的数目问题，它们之间的区别在于是否考虑选出元素的先后顺序。
例9，沪宁铁路线上有六个大站，即上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门为沪宁线上的这六个大站应准备多少种不同的火车票？共有多少种不同的票价？
［解析］：一种火车票对应于两个元素的一个排列，排在前面的为起点站，后面的为终点站，故共有 ＝30种，而票价一般不考虑起点与终点，故有 ＝15种。
2．细心考虑、分清加乘
例10，从4名男生、3名女生中选出3名代表。
（1）至少有一名女生的不同选法有多少种？
（2）代表中男、女生都有的选法有多少种？
［解析］：解题过程中要注意“步”和“类”的分析，正确使用两个原理。①＋＋ ＝31；②＋＝30。
例11，某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是多少？
［解析］：至少有一名女生当选的情况有： ＋ ＝
30，总的选法有 ＝42，所以概率为 。
3．深入分析、合理设计
对于有附加条件的排列组合题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后，用两个原理去解决，做到不重复不遗漏。
例12，4男3女坐成一排，各有多少种不同的方法？
方法：①某二人只能在两端；②某人不在中间和两端；③甲、乙两人必须相邻；④甲、乙两人不相邻；⑤甲、乙两人必须相隔1人；⑥甲在乙的左边；⑦4男不等高，按高矮顺序排列。
［解析］：①甲、乙在两端有 种，另外5人在中间5个位置有 种，故共有 • 种。②甲不在中间和两端三个位置，可排在另外4个位置上，共有 • 种。③甲、乙相邻，可视为一个元素，有 • 种。④用插空法，先排另外5人，后将甲、乙插在中间，有 • 种。⑤甲、乙两人必须相隔1人，即甲、乙两人分别在另外5人中任意一个人的两侧，有 • • 种。⑥甲在乙左边，甲在乙右边的机会均等，在全排列中各占一半，所以有 种。⑦先选定4男的位置，有
种，3女可任意排，4男的顺序可由小到大，也可由大到小两种顺序，故有 • • 种。
4．一题多解、学会验正
例13，6个人站成一排照相，其中甲不站在排头也不站在排尾，共有多少种不同的排法？
［解析］：方法1：从元素入手，先排甲，后排余下的5人共有 • ＝480（种）。
方法2：从位置入手，先从除甲外的5人中任选2人排在两端，再将包括甲内的4人排在中间4个位置上，有 • ＝480（种）。
方法3：先让5人作全排列，后让甲插入5人中间的4个空位上，有 • ＝480（种）。
方法4：6个人的全排列有 ，甲站排头或排尾的情况相同都为 ，共有 －2 ＝480（种）。
5．复杂问题、建立模型
例14，三人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有多少种？
［解析］：构造模型：甲→□→□→□→□→甲，将问题转化为填空。由于第一空和第四空不能是甲，分三类讨论即可得到不同的传球方式有10种。（①甲填在第二空有4种，② 甲填在第三空有4种，③四个空上直接填其他两人，有2种情况，则总共有10种。）
例15，不定方程x1＋x2＋…+x10＝100的正整数解有多少组？
［解析］：构造组合模型：考虑并排放着的100个1，111…11，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有99个空隙。任选9个空隙放入隔板，共有 种放法。在每一种放法中，这100个1被隔成10段，每段中“1”的个数从左至右顺次记为x1，x2，……，x10，显然，这就是不定方程的一组正整数解，故不定方程的正整数解有 组。
例16，从一楼到二楼的楼梯共17级，上楼时可以1步走一级，也可以1步走二级。若要求11步走完这楼梯，则有多少种不同走法？
［解析］：显然，要11步走完这楼梯，必须有6步每步走二级，5步每步走一级。若直接分类考虑，难度很大，为此我们将问题进行转化。为了便于叙述，将每步走二级用1个2表示，每步走一级用1个1表示，那么问题转化为由6个2和5个1能组成多少个不同的十一位数？（将5个1分成不同的组，如11111；1111，1；111，11；11，11，1；……，插入到6个2形成的7个空档上，共有462种。）
由以上可见，排列、组合的问题复杂而有趣，教学中渗透了多种思维方法和技巧，复习中应加强对两个原理的理解和运用，两个原理要贯穿始终，从基础入手，让学生在解题中去总结方法和掌握技巧，提高逻辑推理能力，激发学习兴趣，达到事半功倍的效果。`
一、排列、组合题目的分类
排列组合的题目大致分二类。
1．无附加条件的排列组合题
例1，书架的第一层放有4本不同的数学书，第二层放有3本不同的语文书，第三层放有2本不同的体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的方法？（4＋3＋2＝9）
（2）从书架的第一、二、三层各取1本书，有多少种不同的方法？（4×3×2＝24）
例2，从5位同学中产生一名组长，一名副组长，有多少种不同的方法？（ ）
例3，高二年级8个班进行篮球单循环赛，共有多少场不同的比赛？（ ）
例4，某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？（ ＋ ＋ ＝15）
2．有附加条件的排列组合题
例5，7个人站成一排，如果甲必须站在正中间，有多少种不同的方法？（ ）
例6，从数字0，1，3，5，7中取出不同的3个作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？（a不能取0，共有 • ＝48个）
二、排列、组合题的解法
排列组合题的解法大致有两种。
1．直接法
直接法一般可以从两个方面考虑：①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其它元素。②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其它位置。
例7，6人站成一排照相，甲不站在右端，也不站在左端的排法有多少种？
［解析］：将问题转化为一个6位数的填空□□□□□□
方法1：从元素考虑，甲是特殊元素，先从中间四个位置任选一个安排甲有 种，后排余下的5人有 种，由乘法原理共有 • ＝480种。
方法2：从位置考虑，1号和6号是特殊位置，先从除甲外的5人中任取两人安排这两个位置有 种，后排余下的4个位置有 种，由乘法原理共有 • ＝480种。
2．间接法
如果问题的正面分类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题的分类较少或计算简便，往往采用间接法（剔除不符合条件的）。
例8，从7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？
（1）至少有一名女生当选
（2）A，B不全当选
［解析］：①若从正面考虑有五种情况，故考虑反面，用间接法：（ － ）。②A，B不全当选的反面是必然当选，用间接法处理：（ － ）。
三、注重基础知识和基本方法的复习
1．仔细审题、区分排组
排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下的所有可能的配制的数目问题，它们之间的区别在于是否考虑选出元素的先后顺序。
例9，沪宁铁路线上有六个大站，即上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门为沪宁线上的这六个大站应准备多少种不同的火车票？共有多少种不同的票价？
［解析］：一种火车票对应于两个元素的一个排列，排在前面的为起点站，后面的为终点站，故共有 ＝30种，而票价一般不考虑起点与终点，故有 ＝15种。
2．细心考虑、分清加乘
例10，从4名男生、3名女生中选出3名代表。
（1）至少有一名女生的不同选法有多少种？
（2）代表中男、女生都有的选法有多少种？
［解析］：解题过程中要注意“步”和“类”的分析，正确使用两个原理。①＋＋ ＝31；②＋＝30。
例11，某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是多少？
［解析］：至少有一名女生当选的情况有： ＋ ＝
30，总的选法有 ＝42，所以概率为 。
3．深入分析、合理设计
对于有附加条件的排列组合题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后，用两个原理去解决，做到不重复不遗漏。
例12，4男3女坐成一排，各有多少种不同的方法？
方法：①某二人只能在两端；②某人不在中间和两端；③甲、乙两人必须相邻；④甲、乙两人不相邻；⑤甲、乙两人必须相隔1人；⑥甲在乙的左边；⑦4男不等高，按高矮顺序排列。
［解析］：①甲、乙在两端有 种，另外5人在中间5个位置有 种，故共有 • 种。②甲不在中间和两端三个位置，可排在另外4个位置上，共有 • 种。③甲、乙相邻，可视为一个元素，有 • 种。④用插空法，先排另外5人，后将甲、乙插在中间，有 • 种。⑤甲、乙两人必须相隔1人，即甲、乙两人分别在另外5人中任意一个人的两侧，有 • • 种。⑥甲在乙左边，甲在乙右边的机会均等，在全排列中各占一半，所以有 种。⑦先选定4男的位置，有
种，3女可任意排，4男的顺序可由小到大，也可由大到小两种顺序，故有 • • 种。
4．一题多解、学会验正
例13，6个人站成一排照相，其中甲不站在排头也不站在排尾，共有多少种不同的排法？
［解析］：方法1：从元素入手，先排甲，后排余下的5人共有 • ＝480（种）。
方法2：从位置入手，先从除甲外的5人中任选2人排在两端，再将包括甲内的4人排在中间4个位置上，有 • ＝480（种）。
方法3：先让5人作全排列，后让甲插入5人中间的4个空位上，有 • ＝480（种）。
方法4：6个人的全排列有 ，甲站排头或排尾的情况相同都为 ，共有 －2 ＝480（种）。
5．复杂问题、建立模型
例14，三人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有多少种？
［解析］：构造模型：甲→□→□→□→□→甲，将问题转化为填空。由于第一空和第四空不能是甲，分三类讨论即可得到不同的传球方式有10种。（①甲填在第二空有4种，② 甲填在第三空有4种，③四个空上直接填其他两人，有2种情况，则总共有10种。）
例15，不定方程x1＋x2＋…+x10＝100的正整数解有多少组？
［解析］：构造组合模型：考虑并排放着的100个1，111…11，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有99个空隙。任选9个空隙放入隔板，共有 种放法。在每一种放法中，这100个1被隔成10段，每段中“1”的个数从左至右顺次记为x1，x2，……，x10，显然，这就是不定方程的一组正整数解，故不定方程的正整数解有 组。
例16，从一楼到二楼的楼梯共17级，上楼时可以1步走一级，也可以1步走二级。若要求11步走完这楼梯，则有多少种不同走法？
［解析］：显然，要11步走完这楼梯，必须有6步每步走二级，5步每步走一级。若直接分类考虑，难度很大，为此我们将问题进行转化。为了便于叙述，将每步走二级用1个2表示，每步走一级用1个1表示，那么问题转化为由6个2和5个1能组成多少个不同的十一位数？（将5个1分成不同的组，如11111；1111，1；111，11；11，11，1；……，插入到6个2形成的7个空档上，共有462种。）
由以上可见，排列、组合的问题复杂而有趣，教学中渗透了多种思维方法和技巧，复习中应加强对两个原理的理解和运用，两个原理要贯穿始终，从基础入手，让学生在解题中去总结方法和掌握技巧，提高逻辑推理能力，激发学习兴趣，达到事半功倍的效果。`