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【摘要】对于天然肠衣搭配问题，通过建立最大捆数和搭配方案的两个通用模型，得出了三种规格的原料的最大捆数，以及在保证捆数最多的情况下的原料搭配的最优方案，根据这个方案可以“照方抓药”进行生产，提高了劳动效率和原料的使用率.
【关键词】天然肠衣；搭配方案；捆数；模型
2011年高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题：天然肠衣搭配问题.要求解决的问题是根据题目提供的成品规格表和原料描述表，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产.公司对搭配方案有以下具体要求：
(1)对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2)对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
(3)为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4)某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用.如长度为14米的原料可以和长度介于7~13.5米的进行捆扎，成品属于7~13.5米的规格；
(5)为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案.
请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对成品规格表、原料描述表给出的实际数据进行求解，给出搭配方案.
一、问题分析
假设某种规格对应原料如果出现剩余，可以平移降级使用.如长度为7米、7.5米、8米的原料出现剩余，可以向下一级平移降级为5.5米、6米、6.5米使用.
因为原料若有剩余可以降级使用，所以按照从长到短的顺序进行，对三种规格的原料来说：
1.每一捆的根数=该规格使用的总根数/该规格的总捆数.
2.每一捆的长度=该规格使用根数的总长度/该规格的总捆数.
以每一规格的最大捆数为目标，每一捆的根数和长度进行约束，首先建立最大捆数的通用模型，分别就三种规格的具体数据，利用LINGO软件编程，求出最大捆数和每一规格在最大捆数下使用的具体根数（若有剩余考虑降级）.
在最大捆数使用的具体根数确定的情况下，就每一捆的具体搭配建立通用的搭配模型，分别就三种规格的具体数据，利用LINGO软件编程，求出三种规格成品的搭配方案.
二、模型建立与求解
1最大捆数的优化模型
用i=1,2,3表示规格数，j=1,2,…,ni表示三种规格原料的分段个数（ni=8,14,24）.
设ki表示第i规格成品的最大捆数，pi表示第i规格成品的标准根数，xijaij，bij分别表示第i规格第j段原料使用的根数、原料的长度、原料提供的根数.
目标函数为：maxki(i=1,2,3)
约束条件为：
s.t.pi-1≤∑nij=1xijki≤pi，对每捆根数的约束，
885≤∑nj=1aijxijki≤895，对每捆长度的约束，
xij≤bij，使用的根数不超过提供的原料根数，
ki，xij均为整数（i=1,2,3；j=1,2,…,ni).(Ⅰ)
利用模型(Ⅰ)编制LINGO程序一，从第三规格开始，分别对三种规格求解.
（1）在第三规格中，a3j=14，145，15，…，25，255；b3j=35，29，30，…，0，1，取n3=24，p3=5；利用程序一解得：第三规格最大捆数k3=137，使用根数x3j=b3j；第三规格原料全部用完无剩余.
（2）将程序中的数据改为第二规格的数据，利用程序一解得：第二规格最大捆数k2=37，使用根数为：x2j=0,0,10,25,21,23,21,18,31,23,22,59,18,25；第二规格原料剩余数为：b2j-x2j=24，24，10，0，0，…，0；剩余总数58根，根据假设可平移降级使用.
（3）同理，利用程序一解得：第一规格最大捆数k1=18，使用根数为：x1j=43,59,39,41,26,52,54,30；第一规格原料剩余数为：b1j-x1j=0，0，0，0，1，0，4，1；剩余总数6根.
2搭配方案的优化模型
设wsj表示第s捆成品中使用的第j段原料的根数（s=1,2,…,ki；j=1,2,…,ni）.将上述模型中求出的三种规格成品使用的根数xij进行搭配扎捆（i=1,2,3）.建立通用模型：
∑kis=1wsj=xij，扎捆中第j段总根数等于选定的根数(i=1,2,3)，
pi-1≤∑nij=1wsj≤pi，对每捆根数的约束，
885≤∑nij=1aijwsj≤895，对每捆长度的约束(i=1,2,3)，
wsj均为整数，（s=1,2,…,ki；j=1,2,…,ni）.（Ⅱ）
利用模型（Ⅱ）编制LINGO程序二，分别对三种规格求解.
（1）在第一规格中，取k1=18，n1=8，p1=20，a1j=3，35，4，…，6，65，x1j=43,59,39,41,26,52,54,30；利用程序二解出第一规格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，18捆成品全是19根的.
（2）将程序中的数据改为第二规格的数据，利用程序二解得：第二规格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，37捆成品全是8根的.
（3）同理，利用LINGO程序解出第三规格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，137捆成品中129捆是5根的，8捆是4根的.
三、结束语
两个通用模型简单方便，根据不同情况，只要将数据改变代入两个模型中，运用LINGO程序即可求出多种结果.筛选出最短长度最长的搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产，提高了工作效率.将剩余原料平移降级使用，可以减少原料的剩余，最后仅剩余6根，大大提高了原料的使用率.该模型可推广到不同材料的切割模式搭配、材料下料等问题中.
【参考文献】
［1］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.
［2］肖华勇.实用数学建模大赛与软件应用.西北工业大学出版社，2008.
【关键词】天然肠衣；搭配方案；捆数；模型
2011年高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题：天然肠衣搭配问题.要求解决的问题是根据题目提供的成品规格表和原料描述表，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产.公司对搭配方案有以下具体要求：
(1)对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2)对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
(3)为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4)某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用.如长度为14米的原料可以和长度介于7~13.5米的进行捆扎，成品属于7~13.5米的规格；
(5)为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案.
请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对成品规格表、原料描述表给出的实际数据进行求解，给出搭配方案.
一、问题分析
假设某种规格对应原料如果出现剩余，可以平移降级使用.如长度为7米、7.5米、8米的原料出现剩余，可以向下一级平移降级为5.5米、6米、6.5米使用.
因为原料若有剩余可以降级使用，所以按照从长到短的顺序进行，对三种规格的原料来说：
1.每一捆的根数=该规格使用的总根数/该规格的总捆数.
2.每一捆的长度=该规格使用根数的总长度/该规格的总捆数.
以每一规格的最大捆数为目标，每一捆的根数和长度进行约束，首先建立最大捆数的通用模型，分别就三种规格的具体数据，利用LINGO软件编程，求出最大捆数和每一规格在最大捆数下使用的具体根数（若有剩余考虑降级）.
在最大捆数使用的具体根数确定的情况下，就每一捆的具体搭配建立通用的搭配模型，分别就三种规格的具体数据，利用LINGO软件编程，求出三种规格成品的搭配方案.
二、模型建立与求解
1最大捆数的优化模型
用i=1,2,3表示规格数，j=1,2,…,ni表示三种规格原料的分段个数（ni=8,14,24）.
设ki表示第i规格成品的最大捆数，pi表示第i规格成品的标准根数，xijaij，bij分别表示第i规格第j段原料使用的根数、原料的长度、原料提供的根数.
目标函数为：maxki(i=1,2,3)
约束条件为：
s.t.pi-1≤∑nij=1xijki≤pi，对每捆根数的约束，
885≤∑nj=1aijxijki≤895，对每捆长度的约束，
xij≤bij，使用的根数不超过提供的原料根数，
ki，xij均为整数（i=1,2,3；j=1,2,…,ni).(Ⅰ)
利用模型(Ⅰ)编制LINGO程序一，从第三规格开始，分别对三种规格求解.
（1）在第三规格中，a3j=14，145，15，…，25，255；b3j=35，29，30，…，0，1，取n3=24，p3=5；利用程序一解得：第三规格最大捆数k3=137，使用根数x3j=b3j；第三规格原料全部用完无剩余.
（2）将程序中的数据改为第二规格的数据，利用程序一解得：第二规格最大捆数k2=37，使用根数为：x2j=0,0,10,25,21,23,21,18,31,23,22,59,18,25；第二规格原料剩余数为：b2j-x2j=24，24，10，0，0，…，0；剩余总数58根，根据假设可平移降级使用.
（3）同理，利用程序一解得：第一规格最大捆数k1=18，使用根数为：x1j=43,59,39,41,26,52,54,30；第一规格原料剩余数为：b1j-x1j=0，0，0，0，1，0，4，1；剩余总数6根.
2搭配方案的优化模型
设wsj表示第s捆成品中使用的第j段原料的根数（s=1,2,…,ki；j=1,2,…,ni）.将上述模型中求出的三种规格成品使用的根数xij进行搭配扎捆（i=1,2,3）.建立通用模型：
∑kis=1wsj=xij，扎捆中第j段总根数等于选定的根数(i=1,2,3)，
pi-1≤∑nij=1wsj≤pi，对每捆根数的约束，
885≤∑nij=1aijwsj≤895，对每捆长度的约束(i=1,2,3)，
wsj均为整数，（s=1,2,…,ki；j=1,2,…,ni）.（Ⅱ）
利用模型（Ⅱ）编制LINGO程序二，分别对三种规格求解.
（1）在第一规格中，取k1=18，n1=8，p1=20，a1j=3，35，4，…，6，65，x1j=43,59,39,41,26,52,54,30；利用程序二解出第一规格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，18捆成品全是19根的.
（2）将程序中的数据改为第二规格的数据，利用程序二解得：第二规格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，37捆成品全是8根的.
（3）同理，利用LINGO程序解出第三规格成品的搭配扎捆方案（略），由方案可以看出，137捆成品中129捆是5根的，8捆是4根的.
三、结束语
两个通用模型简单方便，根据不同情况，只要将数据改变代入两个模型中，运用LINGO程序即可求出多种结果.筛选出最短长度最长的搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产，提高了工作效率.将剩余原料平移降级使用，可以减少原料的剩余，最后仅剩余6根，大大提高了原料的使用率.该模型可推广到不同材料的切割模式搭配、材料下料等问题中.
【参考文献】
［1］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.
［2］肖华勇.实用数学建模大赛与软件应用.西北工业大学出版社，2008.