【摘要】新课程理念倡导学生自主探究,下面的题目是我的一次作业练习,在批阅之后,出现了意想不到的结果,现整理成文以飨读者。
　　【关键词】几何题；解法
　　
　　题目 已知圆C:（x-1)2 (y 2)2=9,是否存在斜率为1的直线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
　　一、设而不求
　　解 设直线l的方程为y=x b,直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)。
　　由题意知OA⊥OB，则x1x2 y1y2=0。（*）
　　即x1x2 (x1 b)(x2 b)=0，2x1x2 b(x1 x2) b2=0。
　　由y=x b,
　　(x-1)2 (y 2)2=9，消去y，得
　　2x2 (2b 2)x b2 4b-4=0。
　　Δ=（2b 2)2-8(b2 4b-4)>0，
　　即b2 6b-9<0，-3-32　　由韦达定理得x1 x2=-b-1，x1x2=b2 4b-42。
　　代入（*），2×b2 4b-42 b×(-b-1) b2=0，
　　即b2 3b-4=0，
　　解得b=1或b=-4，满足Δ>0。
　　所以存在斜率为1的直线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆过原点，它们的方程为y=x 1或y=x-4．
　　二、抓关键点——弦AB的中点
　　直接法:设直线l的方程为y=x b,AB的中点为D,
　　则CD⊥AB,得kCD=-1,直线CD方程为x y 1=0,
　　由x y 1=0,
　　y=x b，得D-b 12,b-12。
　　在Rt△ACD中,AC=3,CD=|3 b|2,AD=DO=
　　b 122 b-122。
　　由勾股定理,AC2=CD2 AD2。
　　即9=b 322 b 122 b-122,解得b=1或-4。
　　所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x 1或y=x-4．
　　间接法: 设直线l的方程为y=x b, AB的中点D(a,b)。
　　由CD⊥AB,得b 2a-1=-1。
　　(1)
　　在Rt△ACD中,AC=3,CD=(b 2)2 (a-1)2,AD=DO=a2 b2。
　　由勾股定理,AC2=CD2 AD2,
　　即9=(b 2)2 (a-1)2 a2 b2。
　　(2)
　　联立(1)(2)解得a=-1
　　b=0或a=32,
　　b=-52。
　　当a=-1,
　　b=0时,直线l的方程为y=x 1;
　　当a=32,
　　b=-52时,直线l的方程为y=x-4．
　　三、借助曲线系
　　解 设直线l的方程为y=x b。
　　以AB为直径的圆可设为(x-1)2 (y 2)2-9 λ(x-y b)=0,
　　即x2 y2 (λ-2)x (4-λ)y-4 λb=0,圆心为2-λ2,λ-42。
　　由圆心在直线l上得2-λ2-λ-42 b=0。
　　(1)
　　由以AB为直径的圆过原点得-4 λb=0。
　　(2)
　　联立(1)(2)解得λ=4,
　　b=1或λ=-1,
　　b=-4。
　　所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x 1或y=x-4．
　　四、线段AB可看作两圆的公共弦
　　解 设以AB为直径的圆为x2 y2 Dx Ey F=0。
　　由以AB为直径的圆过原点得F=0。
　　两圆方程相减可得公共弦AB所在直线方程为
　　(D 2)x (E-4)y 4=0。
　　由圆心-D2,-E2在直线AB上得(D 2)×-D2 (E-4)×-E2 4=0。
　　(1)
　　又由于直线AB的斜率为1，可得-D 2E-4=1。
　　(2)
　　联立(1)(2)解得D=2，
　　E=0或D=-3，
　　E=5。
　　当D=2，
　　E=0时,直线l的方程为y=x 1；
　　当D=-3,
　　E=5时,直线l的方程为y=x-4．
　　事实上,在现行教学理念下,多给学生一些自主学习的时间,学生会给我们很多惊喜。