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数列是高中数学的重要内容之一，它与数、式、函数、不等式、方程、三角函数、解析几何的关系非常密切，数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿于整个高中数学之中，本文基于笔者对数列的认识和研究，用不同方法分析数列类题型的解法，以期提高学生对该知识点的深层次理解，起到举一反三的效果。
1995年全国理科数学数列题与2004年全国文科数学卷（3）可见一斑：
1995年题目为:设a■是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和，证明■ 分析：结合对数函数y=lgx的性质，原不等式等价于证明SnSn+1 2004年题目为：已知数列a■为等比数列，a2=6，a5=162。
1．求数列a■的通项公式。
2．设Sn是数列a■的前n项和,证明:■<1。
分析：由题意可知已知数列是正数组成的数列， 不等式等价于：SnSn+1 下面用学过的知识探讨以上不等式的证明:
证法一：求差比较法
设数列a■的公比为q，则由已知得q>0，a1>0。
（1)当q=1时，Sn=na1，
∴ SnSn+2-Sn+12
=na1(n+2)a1-(n+1)2a12
=-a12<0
（2）当q≠1时，
SnSn+2-Sn+12
=■(1-qn)(1-qn+2)-■(1-qn+1)2
=-a12qn<0
由（1）和（2）可得SnSn+1 证法二：求差比较法
∵SnSn+2 SnSn+2-Sn+12-<0
设数列a■的公比为q，则由已知得q>0，a1>0,an+1>0。
而Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1
∴ SnSn+2-Sn+12
=Sn(a1+qSn+1)-Sn+1(a1+qSn)
=a1(Sn-Sn+1)
=-a1an+1<0
∴SnSn+1 证法三：真分数不等式性质法。
设数列a■的公比为q，则由已知得q>0，an>0，
∵Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1，
∴要证SnSn+2 即要证■<■=■。
而由真分数不等式：若a、b、m都是正数，且a0得
■=■<■=■。
∴SnSn+2 证法四：定比分点法
由a■>0可知
要证SnSn+2 即要证■<■，
且0<■<1，
由■=■=■，结合数轴上的点与实数的对应关系，可知:
■分■与1为定比λ=■>0。
∴■<■<1。
∴SnSn+2 证法五：单调性法
由a■>0可知，
要证SnSn+2 即要证■<■。
由■=■=■+q知：n增大时，Sn也增大，数列■是单调递减数列从而数列■是单调递增数列。
∴■<■。
∴SnSn+2
参考文献：
[1] 全日制普通高级中学教科书数学第一册.人民教育出版社,2008.
[2] 任志宏.十年高考分类解析与应试技巧:数学（2001-2010）.南方出版社,2010.
（责编 闫祥）
1995年全国理科数学数列题与2004年全国文科数学卷（3）可见一斑：
1995年题目为:设a■是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和，证明■
1．求数列a■的通项公式。
2．设Sn是数列a■的前n项和,证明:■<1。
分析：由题意可知已知数列是正数组成的数列， 不等式等价于：SnSn+1
证法一：求差比较法
设数列a■的公比为q，则由已知得q>0，a1>0。
（1)当q=1时，Sn=na1，
∴ SnSn+2-Sn+12
=na1(n+2)a1-(n+1)2a12
=-a12<0
（2）当q≠1时，
SnSn+2-Sn+12
=■(1-qn)(1-qn+2)-■(1-qn+1)2
=-a12qn<0
由（1）和（2）可得SnSn+1
∵SnSn+2
设数列a■的公比为q，则由已知得q>0，a1>0,an+1>0。
而Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1
∴ SnSn+2-Sn+12
=Sn(a1+qSn+1)-Sn+1(a1+qSn)
=a1(Sn-Sn+1)
=-a1an+1<0
∴SnSn+1
设数列a■的公比为q，则由已知得q>0，an>0，
∵Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1，
∴要证SnSn+2
而由真分数不等式：若a、b、m都是正数，且a
■=■<■=■。
∴SnSn+2
由a■>0可知
要证SnSn+2
且0<■<1，
由■=■=■，结合数轴上的点与实数的对应关系，可知:
■分■与1为定比λ=■>0。
∴■<■<1。
∴SnSn+2
由a■>0可知，
要证SnSn+2
由■=■=■+q知：n增大时，Sn也增大，数列■是单调递减数列从而数列■是单调递增数列。
∴■<■。
∴SnSn+2
参考文献：
[1] 全日制普通高级中学教科书数学第一册.人民教育出版社,2008.
[2] 任志宏.十年高考分类解析与应试技巧:数学（2001-2010）.南方出版社,2010.
（责编 闫祥）