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【摘要】创新能力的培养在数学教学中至关重要。一道看似平常的题目，在老师的精心设计下，都可能赋予丰富的内涵，这样既激发了学生学习数学的兴趣，也开发了思维，使数学的美给高中学习带来勃勃生机。本文是通过一道椭圆题目的解答来展示创新能力培养的过程。
【关键词】联系 创新 距离 最值 探究
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）02-0165-01
在高中数学教学过程中，创新能力的培养可以渗透到每一个细节。不仅在新授课的时候，而且在复习课问题讲评的时候，我们也应该缜密思考，改变传统的教学方式，来培养学生的创新意识与能力。一个细节的改变，可能就会带来截然不同的效果。
临近期末，我们正在紧张地复习。刚刚在复习圆锥曲线的时候，有如下一道题目：
已知P为椭圆C：■+■=1 上任意一点，F为椭圆C的右焦点，M点的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为____。
这道题在刚刚布置下去的时候，大家都觉得比较难，同学们一时没有想到恰当的方法。我想，该如何引导学生思考，来发现题目之间的联系呢？如果有合适的解决方法，可以大大拓宽同学们解决问题的思路，进而培养同学们的创新意识。经过精心揣摩，我设计了如下一系列问题，并取得了很好的效果。
问题一：
已知平面上两个定点A、B，则平面上动点C到A、B的距离之和是否有最小值？是否有最大值？
学生活动一：
全班同学都觉得很简单，一致认为有最小值，点C只要在线段AB上即可；而没有最大值。
问题二：
已知平面上两个定点A、B，则平面上动点C到A、B的距离之差是否有最小值？是否有最大值？
学生活动二：
大家也可以轻而易举的回答出来，这个距离之差既有最大值，又有最小值，而且这两个最值互为相反数，只要将点C取在线段AB的延长线或反向延长线上即可。
问题三：
椭圆内取两个定点A、B，则椭圆上动点C到A、B的距离之差是否有最小值？是否有最大值？
学生活动三：
大家又很快找到了这个问题的答案，只要是直线AB与椭圆的交点即可，在两个交点处分别可以找到最小值和最大值。
问题四：
椭圆内取两个定点A、F（F为右焦点），则椭圆上动点P到A、F的距离之和是否有最小值？是否有最大值？
学生活动四：
这几个问题一环扣一环，层层深入。问题四难度又加深了一步，我引导同学们进行小组成员间的讨论。在讨论中，同学们思维很活跃，很多同学说出了自己的思路。讨论结束后，我让大家发表讨论的成果。有的同学充分意识到了椭圆的定义，于是将P到F的距离转化为2a与P到左焦点距离之差。这个观点的提出将同学们本来已经很兴奋的状态推向了高潮，大家的思维愈加活跃。
问题五（即本文开始提到的习题）：
已知P为椭圆C：■+■=1 上任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为____。
学生活动五：
这个困扰了大家很久的问题又一次出现在面前，有个学生告诉我：“老师，这道题目的结果是5，不仅如此，我还知道它们的最大值。”
我说：“为什么呢？”
这个学生板书了如下过程：
PM+PF=PM+2a-PF1=10+（PM-PF1）
Θ -5≤PM-PF1≤5，∴5≤PM+PF≤15
教室里响起了热烈的掌声。我说：“在解决椭圆内某些点的距离问题时，我们的思维更加开阔了，大家还可以推广出什么其他问题吗？”
有个学生说：“圆锥曲线有很多相似的性质，我可以解决双曲线的问题。”
我说：“非常好，那你可以给大家出一道题吗？”
她出了如下题目：
已知P为双曲线C：■-■=1 上的任意一点，F为双曲线C的右焦点，M的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为____。
这道题很简单，大家很快看出了答案。
我问：“这道题之所以简单，就是M点取得好，谁能把这道题改编一下，来给大家出个难题呢？”
大家都在低着头画图计算，一分钟后，又有个学生站起来：“这道题中，我把M点取在（6，2），其他条件不变。”
我问：“那你想出方法了吗？”
他说：“我还没想好，但和双曲线的定义肯定有关系，因为刚才问题四的解决就是用到了椭圆的定义。”
“好，是不是真的这样呢？同學们一起来看看，这个问题如何解决？”我说。
不一会儿，有个学生说：“显然这个最值点是在双曲线的右支上，而PM+PF=PM+PF1-2a=PM+PF1-8，故线段PF1与右支的交点即为最小值点。”同学们一阵欣喜。
“老师，我还知道抛物线类似的情形。”……
同学们的思维异常活跃，方法也一个接一个的显现出来。最后，我总结道：“数学题目之间存在着普遍的必然的联系，我们应该在解决数学问题的时候不因循守旧，注重联系，大胆创新，开阔视野，让数学中的理论成为解决问题的工具，在闪烁智慧火花的过程中体味到数学的美。”
以上是我记录的一道数学题目的解决过程，在培养学生的创新意识方面做了精心的设计，也大大激发了学生学习数学的兴趣。
【关键词】联系 创新 距离 最值 探究
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）02-0165-01
在高中数学教学过程中，创新能力的培养可以渗透到每一个细节。不仅在新授课的时候，而且在复习课问题讲评的时候，我们也应该缜密思考，改变传统的教学方式，来培养学生的创新意识与能力。一个细节的改变，可能就会带来截然不同的效果。
临近期末，我们正在紧张地复习。刚刚在复习圆锥曲线的时候，有如下一道题目：
已知P为椭圆C：■+■=1 上任意一点，F为椭圆C的右焦点，M点的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为____。
这道题在刚刚布置下去的时候，大家都觉得比较难，同学们一时没有想到恰当的方法。我想，该如何引导学生思考，来发现题目之间的联系呢？如果有合适的解决方法，可以大大拓宽同学们解决问题的思路，进而培养同学们的创新意识。经过精心揣摩，我设计了如下一系列问题，并取得了很好的效果。
问题一：
已知平面上两个定点A、B，则平面上动点C到A、B的距离之和是否有最小值？是否有最大值？
学生活动一：
全班同学都觉得很简单，一致认为有最小值，点C只要在线段AB上即可；而没有最大值。
问题二：
已知平面上两个定点A、B，则平面上动点C到A、B的距离之差是否有最小值？是否有最大值？
学生活动二：
大家也可以轻而易举的回答出来，这个距离之差既有最大值，又有最小值，而且这两个最值互为相反数，只要将点C取在线段AB的延长线或反向延长线上即可。
问题三：
椭圆内取两个定点A、B，则椭圆上动点C到A、B的距离之差是否有最小值？是否有最大值？
学生活动三：
大家又很快找到了这个问题的答案，只要是直线AB与椭圆的交点即可，在两个交点处分别可以找到最小值和最大值。
问题四：
椭圆内取两个定点A、F（F为右焦点），则椭圆上动点P到A、F的距离之和是否有最小值？是否有最大值？
学生活动四：
这几个问题一环扣一环，层层深入。问题四难度又加深了一步，我引导同学们进行小组成员间的讨论。在讨论中，同学们思维很活跃，很多同学说出了自己的思路。讨论结束后，我让大家发表讨论的成果。有的同学充分意识到了椭圆的定义，于是将P到F的距离转化为2a与P到左焦点距离之差。这个观点的提出将同学们本来已经很兴奋的状态推向了高潮，大家的思维愈加活跃。
问题五（即本文开始提到的习题）：
已知P为椭圆C：■+■=1 上任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为____。
学生活动五：
这个困扰了大家很久的问题又一次出现在面前，有个学生告诉我：“老师，这道题目的结果是5，不仅如此，我还知道它们的最大值。”
我说：“为什么呢？”
这个学生板书了如下过程：
PM+PF=PM+2a-PF1=10+（PM-PF1）
Θ -5≤PM-PF1≤5，∴5≤PM+PF≤15
教室里响起了热烈的掌声。我说：“在解决椭圆内某些点的距离问题时，我们的思维更加开阔了，大家还可以推广出什么其他问题吗？”
有个学生说：“圆锥曲线有很多相似的性质，我可以解决双曲线的问题。”
我说：“非常好，那你可以给大家出一道题吗？”
她出了如下题目：
已知P为双曲线C：■-■=1 上的任意一点，F为双曲线C的右焦点，M的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为____。
这道题很简单，大家很快看出了答案。
我问：“这道题之所以简单，就是M点取得好，谁能把这道题改编一下，来给大家出个难题呢？”
大家都在低着头画图计算，一分钟后，又有个学生站起来：“这道题中，我把M点取在（6，2），其他条件不变。”
我问：“那你想出方法了吗？”
他说：“我还没想好，但和双曲线的定义肯定有关系，因为刚才问题四的解决就是用到了椭圆的定义。”
“好，是不是真的这样呢？同學们一起来看看，这个问题如何解决？”我说。
不一会儿，有个学生说：“显然这个最值点是在双曲线的右支上，而PM+PF=PM+PF1-2a=PM+PF1-8，故线段PF1与右支的交点即为最小值点。”同学们一阵欣喜。
“老师，我还知道抛物线类似的情形。”……
同学们的思维异常活跃，方法也一个接一个的显现出来。最后，我总结道：“数学题目之间存在着普遍的必然的联系，我们应该在解决数学问题的时候不因循守旧，注重联系，大胆创新，开阔视野，让数学中的理论成为解决问题的工具，在闪烁智慧火花的过程中体味到数学的美。”
以上是我记录的一道数学题目的解决过程，在培养学生的创新意识方面做了精心的设计，也大大激发了学生学习数学的兴趣。