[摘 要]本文提出了一类分数阶的金融风险模型。首先，研究了风险模型对初始值的敏感依赖性；然后，研究了风险模型对风险传递效率及分数阶次的敏感性；最后，采用增加反馈增益矩阵的方法，构造了风险模型的受控系统，数值模拟结果表明该控制方法可以有效地控制混沌。
　　[关键词]一类分数阶；金融风险模型；混沌动力学行为
　　doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2017.14.069
　　[中图分类号]F832.5；O415.5 [文献标识码]A [文章编号]1673-0194（2017）14-0-02
　　0 引 言
　　混沌是由确定性系统产生的随机现象，对初始条件的高度敏感性是其主要特征。混沌经济学也叫非线性经济学，它是基于非线性动力学方法来解释真实的经济现象的。因为金融风险总是存在于金融活动中，而且金融风险的存在会扰乱正常的金融秩序。所以，金融风险管理成为了一个热门的研究课题。
　　近年来，已经发表了不少关于金融风险管理的文章。然而，这些模型较少地考虑金融变量的长期记忆性，所以不能更好地反映风险管理过程的真实情况。与整数阶微积分相比，分数阶微积分最大的优势在于具有记忆效应。受此启发，本文提出了一类分数阶的金融风险传染模型。
　　1 分数阶金融风险模型的提出
　　其中，状态变量R，U，V，W分别表示风险发生值，分析值，控制值和传染值。而且R，U，V，W均是非负的。参数a>0表示风险分析效率，b>0表示风险传递效率，c∈R表示风险控制的失真系数，d>0表示风险强度和k∈R表示风险传染系数。
　　2 风险模型对初值的敏感依赖性
　　现在讨论模型（1）的初值敏感性。取分数阶次为α1=α2=α3=α4=0.95及参数为（a，b，c，d，k）=（10，28，8/3，36，0.5），当初始值分别取（10，10，10，10）和（10，10，10，10.001）时，模型（1）的时域图（见图1）。
　　由图1可知，从两个极其相近的初始值（10，10，10，10）和（10，10，10，10.001）出发而产生的两条轨道，一开始基本是重合的，但随着时间的不断推进，两条轨道之间的差异便显现出来并迅速分开。这说明风险模型（1）的动力学行为会随着初始值的微小变化而产生巨大变化，因此该系统对初始值具有高度的敏感依赖性。
　　3 数值研究风险系统对参数及分数阶次的敏感性
　　3.1 风险系统对参数b的敏感性分析
　　由图2a和图2b可知，当参数b<20时，模型（1）处于稳定状态；在2025时，模型（1）处于混沌状态，此时，无法对风险进行长期预测，市场风险处于一种失控的状态，因而需要及时给予宏观调控，以此來防止风险系统长期剧烈波动。
　　3.2 风险系统对分数阶次的敏感性
　　由图3可知，当α2<0.85时，风险模型（1）处于稳定状态；模型（1）在0.85<α2<0.9内的分岔点处发生Hopf分岔；当α2>0.9时，模型（1）处于混沌状态。
　　4 分数阶金融风险系统的控制
　　4.1 受控系统的构造
　　5 结 语
　　本文重点研究了金融风险随着风险传递效率b以及分数阶次的变化规律。数值模拟结果表明，风险系统会随着参数变化从稳定状态，通过Hopf分岔逐渐发生结构性改变，最终进入混沌状态。本文还运用增加反馈增益矩阵的方法，构造了金融风险受控系统，并通过数值模拟证明了该受控系统的渐进稳定性，同时分析了增加控制器后的受控系统产生的变化，观察混沌控制效果。
　　主要参考文献
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