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【摘要】针对非等间隔的灰色verhulst模型的病态性问题，构造出新的背景值构造公式，将灰色非等间隔模型的白化方程线性化得出模型解的一种新形式。通过实例分析可发现新提出的方法可从提高模型精度和降低求解参数矩阵的条件数两方面较好的改善了模型的病态性。针对非等间隔灰色模型的病态性问题提出了新的且有效的解决方法，首次从模型精度和参数矩阵的条件数两方面解决模型的病态性问题，这也为解决其他类型的灰色模型的病态性提供了新的参考。
【关键词】非等间隔 灰色模型 Verhulst模型 病态性
灰色Verhulst模型与灰色模型是灰色系统[1]预测中的最常用模型，它们构成灰色预测体系的核心部分。近年来，灰色Verhulst模型在各领域[2-5]的应用比较广泛，但是这些模型多是考虑等时间距数据序列建立的，而实际建模中的序列往往是非等间隔序列，此时需要考虑到非等间距建立非等间隔灰色Verhulst模型[6]才能较好的解决实际问题。随着非等间隔灰色Verhulst模型的研究及应用，取得了一些研究成果[6-8]，但也出现了一些问题，如针对部分波动数据来建模，模型的解会出现精度较低的现象。出现这一现象的原因可以归结为非等间隔灰色Verhulst模型存在一定的病态性，目前还没有该模型病态性这方面的研究。本文从模型参数矩阵条件数理论出发，首先将非等间隔灰色Verhulst模型线性化，其次修改模型背景值的公式以降低模型参数矩阵的条件数和提高模型精度两方面来改善模型的病态性。
一、改进非等间隔灰色Verhulst模型建模机理
（一）原始非等间隔灰色Verhulst模型
根据非等间隔灰色Verhulst模型的稳定性研究中的定义1可知非等间隔灰色Verhulst模型（定义型）■的白化微分方程形式为
■ （1）
其中
■为非负原始非等间隔序列，■，■为间隔；■为■的1-AGO序列，■，其中，■，■为■的背景值序列，传统上有：■，
■
（二）非等间隔灰色Verhulst模型的线性化
根据（1）可知，白化模型为非线性模型，据非线性模型求解来看，若可以将该模型转化为一般线性模型求解，将降低非线性模型直接求解（有的非线性模型求解比较复杂）的难度，所以本文拟将非等间隔灰色Verhulst模型（1）转化为线性模型在进行模型求解继而得出模型的解的表达式。
由■为■的1-AGO序列可知，序列■可以近似看作指數序列，一般情况下都是根据序列■来进行建模的，所以建模序列的处理变得很重要。本文将非等间隔灰色Verhulst模型（1）线性化即可通过对■序列做如下处理：
■ （2）
则模型（1）可转化为
■ （3）
其中■。至此模型（3）可以变为类似非等间隔GM（1，1）模型的形式即
■ （4）
则可以根据GM（1，1）模型解的形式推出模型（3）的解（时间响应式）如下：
■ （5）
由（2）及■可以推导出
■
进一步还原得出
■ （6）
（三）非等间隔灰色Verhulst模型的背景值改进
在传统的灰色建模中，多数采用背景值公式为累加序列的紧邻均值公式即
■=■ （7）
文献[9，10]等指出上述背景值的构造式（7）存在误差并提出了改进式，得到较好的预测效果，本文在文献[9，11]的背景值构造基础上稍作改进，最终重构了非等间隔灰色Verhulst模型线性化后的模型背景值的构造式，详细介绍如下：
由于线性化后模型（3）的解满足指数形式，所以■可用如下指数曲线近似
■ （8）
因曲线（8）经过■及■两点，则有
■ （9）
■ （10）
（10）/（9）得
■ （11）
则可求出B为
■ （12）
将（12）代入（9）中得出A的值为
■ （13）
因此可构造出模型（3）的背景值为
■
■
即新的背景值公式为
■■ （14）
同理对■有
■■ （15）
至此可将改进的建模步骤总结如下：
1）通过对原始序列■的1阶累加序列■进行建模，其中背景值公式为本文提出的新形式（15），得出非等间隔灰色Verhulst模型。
2）将得到的非等间隔灰色Verhulst模型的白化模型进行线性化（2）处理得到形如（4）的模型，利用本文重构的背景值公式（14）结合最小二乘法进行模型参数求解，根据（5）得出线性化后的模型解■。
3）根据（2）式子还原得出非等间隔灰色Verhulst模型的解■，进一步还原得出■，其中（■）。
二、模型病态性研究
（一）模型参数矩阵条件数
根据上述研究，将非等间隔灰色Verhulst模型的白化微分方程（1）线性化后对应的灰微分方程记为
■ （16）
那么求解参数矩阵C及参数■关系为：■（17）
其中■，■。
根据（17）求出模型（16）的参数■后，可以根据（5）可以得出模型（16）的解■，最终通过（6）可还原得出模型（1）的解■。从上述分析可知模型（16）的参数对模型（1）的影响很大，若模型（16）的参数矩阵■为良态，那么理论上模型（1）应具有较好的模拟效果。
矩阵■的病态性，可根据矩阵的条件数来判断，此处矩阵条件数记 ■ （18）
其中■，■分别表示矩阵A的最大、最小特征根。
实践中一般认为：若11000，则矩阵A为严重的病态；
■
根据（18）可以求出
■ （19）
其中
■
（二）模型精度检验
一个模型的精度好坏需通过检验才能验证其正确性与合理性 相对误差是评判一个模型预测精度的重要指标，相对误差越小模型的精度越高，同样可以通过计算相对误差的平方和的大小来评判一个模型的精度.文中拟采用相对误差对预测结果进行检验，相对误差式子如下：
■ （20）
三、实例分析
对本文提出的改进背景值公式，我们通过数据验证其效果，结果会更直观，假如我们取文献[6]的实例沉降数据如下：
■
此处用（7）這一传统的背景值公式来建立灰色非等间隔模型记作模型一，用改进的背景值公式（14）来建立灰色非等间隔模型记作模型二。其中模型一的解可用■来表示，其中
■ （21）
模型二的解可根据（5）、（6）得出。
根据以上理论，通过MATLAB编程得出各模型参数如下
模型一的参数■；
模型二的参数为■；
模型一、二的精度及求解参数矩阵的条件数见模型效果对比表3-1。
从模型效果对比表3-1可知，本文提出的建模方法大幅度的降低了模型求解参数矩阵的条件数，模型从具有严重病态性到轻度病态转化，而且模型的精度也有一定提高，从而较好的改善了模型的病态性。上该实例分析可见本文提出的方法的有效性，可行性。
四、结论
本文提出了新的背景值构造公式，将灰色非等间隔模型的白化方程线性化得出模型的解的一种新形式。通过实例分析可发现本文的方法可从提高模型精度和降低求解参数矩阵的条件数两方面较好的改善了模型的病态性，但唯一不足之处就是还需进一步提高预测模型的精度，以较好的满足实际问题的模型精度需求。
参考文献
[1]刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用[M].第3版.北京：科学出版社，2004：125—163.
[2]偶昌宝，俞亚南.交通量预测的灰色verhulst自记忆模型[J].辽宁交通科技，2004（12）：87—88.
[3]王正新，党耀国，刘思峰.无偏灰色Verhulst模型及其应用[J].系统工程理论与实践，2009，29（10）：138—144.
[4]赵国生，王慧强，王健.基于灰色Verhulst的网络安全态势感知模型[J].哈尔滨工业大学学报，2008，40（5）：798-803.
[5]曹萃文，顾幸生.灰色verhulst动态新陈代谢模型在产品价格预测与需求预测中的应用[J].信息与控制，2005，34（8）：398-402.
[6]偶昌宝，俞亚南.不等时距灰色Verhulst模型及其在沉降预测中的应用[J].江南大学学报（自然科学版），2005，4（1）：63-66.
[7]王正新，党耀国，沈春光.灰色Verhulst模型的灰导数改进研究[J].统计与信息论坛，2010，25（6）：19-22.
[8]肖霞林.路基沉降变形评估与非等间隔灰色Verhulst模型[J].铁道建筑，2011，4（1）：86-89.
[9]靳晓光，李晓红.隧道围岩位移的灰色优化模型预测[J].重庆大学学报（自然科学版），2005，25（1）：1-7.
[10]王叶梅，党耀国，王正新.非等间距GM（1，1）模型背景值的优化[J].中国管理科学2008，16（4）：159-163.
[11]戴文战，李俊峰.非等间距GM（1，1）模型建模研究[J].系统工程理论与实践，2005，（9）：89-95.
作者简介：范献胜（1987-），男，助教，研究方向为灰色预测建模、数据分析。
【关键词】非等间隔 灰色模型 Verhulst模型 病态性
灰色Verhulst模型与灰色模型是灰色系统[1]预测中的最常用模型，它们构成灰色预测体系的核心部分。近年来，灰色Verhulst模型在各领域[2-5]的应用比较广泛，但是这些模型多是考虑等时间距数据序列建立的，而实际建模中的序列往往是非等间隔序列，此时需要考虑到非等间距建立非等间隔灰色Verhulst模型[6]才能较好的解决实际问题。随着非等间隔灰色Verhulst模型的研究及应用，取得了一些研究成果[6-8]，但也出现了一些问题，如针对部分波动数据来建模，模型的解会出现精度较低的现象。出现这一现象的原因可以归结为非等间隔灰色Verhulst模型存在一定的病态性，目前还没有该模型病态性这方面的研究。本文从模型参数矩阵条件数理论出发，首先将非等间隔灰色Verhulst模型线性化，其次修改模型背景值的公式以降低模型参数矩阵的条件数和提高模型精度两方面来改善模型的病态性。
一、改进非等间隔灰色Verhulst模型建模机理
（一）原始非等间隔灰色Verhulst模型
根据非等间隔灰色Verhulst模型的稳定性研究中的定义1可知非等间隔灰色Verhulst模型（定义型）■的白化微分方程形式为
■ （1）
其中
■为非负原始非等间隔序列，■，■为间隔；■为■的1-AGO序列，■，其中，■，■为■的背景值序列，传统上有：■，
■
（二）非等间隔灰色Verhulst模型的线性化
根据（1）可知，白化模型为非线性模型，据非线性模型求解来看，若可以将该模型转化为一般线性模型求解，将降低非线性模型直接求解（有的非线性模型求解比较复杂）的难度，所以本文拟将非等间隔灰色Verhulst模型（1）转化为线性模型在进行模型求解继而得出模型的解的表达式。
由■为■的1-AGO序列可知，序列■可以近似看作指數序列，一般情况下都是根据序列■来进行建模的，所以建模序列的处理变得很重要。本文将非等间隔灰色Verhulst模型（1）线性化即可通过对■序列做如下处理：
■ （2）
则模型（1）可转化为
■ （3）
其中■。至此模型（3）可以变为类似非等间隔GM（1，1）模型的形式即
■ （4）
则可以根据GM（1，1）模型解的形式推出模型（3）的解（时间响应式）如下：
■ （5）
由（2）及■可以推导出
■
进一步还原得出
■ （6）
（三）非等间隔灰色Verhulst模型的背景值改进
在传统的灰色建模中，多数采用背景值公式为累加序列的紧邻均值公式即
■=■ （7）
文献[9，10]等指出上述背景值的构造式（7）存在误差并提出了改进式，得到较好的预测效果，本文在文献[9，11]的背景值构造基础上稍作改进，最终重构了非等间隔灰色Verhulst模型线性化后的模型背景值的构造式，详细介绍如下：
由于线性化后模型（3）的解满足指数形式，所以■可用如下指数曲线近似
■ （8）
因曲线（8）经过■及■两点，则有
■ （9）
■ （10）
（10）/（9）得
■ （11）
则可求出B为
■ （12）
将（12）代入（9）中得出A的值为
■ （13）
因此可构造出模型（3）的背景值为
■
■
即新的背景值公式为
■■ （14）
同理对■有
■■ （15）
至此可将改进的建模步骤总结如下：
1）通过对原始序列■的1阶累加序列■进行建模，其中背景值公式为本文提出的新形式（15），得出非等间隔灰色Verhulst模型。
2）将得到的非等间隔灰色Verhulst模型的白化模型进行线性化（2）处理得到形如（4）的模型，利用本文重构的背景值公式（14）结合最小二乘法进行模型参数求解，根据（5）得出线性化后的模型解■。
3）根据（2）式子还原得出非等间隔灰色Verhulst模型的解■，进一步还原得出■，其中（■）。
二、模型病态性研究
（一）模型参数矩阵条件数
根据上述研究，将非等间隔灰色Verhulst模型的白化微分方程（1）线性化后对应的灰微分方程记为
■ （16）
那么求解参数矩阵C及参数■关系为：■（17）
其中■，■。
根据（17）求出模型（16）的参数■后，可以根据（5）可以得出模型（16）的解■，最终通过（6）可还原得出模型（1）的解■。从上述分析可知模型（16）的参数对模型（1）的影响很大，若模型（16）的参数矩阵■为良态，那么理论上模型（1）应具有较好的模拟效果。
矩阵■的病态性，可根据矩阵的条件数来判断，此处矩阵条件数记 ■ （18）
其中■，■分别表示矩阵A的最大、最小特征根。
实践中一般认为：若1
■
根据（18）可以求出
■ （19）
其中
■
（二）模型精度检验
一个模型的精度好坏需通过检验才能验证其正确性与合理性 相对误差是评判一个模型预测精度的重要指标，相对误差越小模型的精度越高，同样可以通过计算相对误差的平方和的大小来评判一个模型的精度.文中拟采用相对误差对预测结果进行检验，相对误差式子如下：
■ （20）
三、实例分析
对本文提出的改进背景值公式，我们通过数据验证其效果，结果会更直观，假如我们取文献[6]的实例沉降数据如下：
■
此处用（7）這一传统的背景值公式来建立灰色非等间隔模型记作模型一，用改进的背景值公式（14）来建立灰色非等间隔模型记作模型二。其中模型一的解可用■来表示，其中
■ （21）
模型二的解可根据（5）、（6）得出。
根据以上理论，通过MATLAB编程得出各模型参数如下
模型一的参数■；
模型二的参数为■；
模型一、二的精度及求解参数矩阵的条件数见模型效果对比表3-1。
从模型效果对比表3-1可知，本文提出的建模方法大幅度的降低了模型求解参数矩阵的条件数，模型从具有严重病态性到轻度病态转化，而且模型的精度也有一定提高，从而较好的改善了模型的病态性。上该实例分析可见本文提出的方法的有效性，可行性。
四、结论
本文提出了新的背景值构造公式，将灰色非等间隔模型的白化方程线性化得出模型的解的一种新形式。通过实例分析可发现本文的方法可从提高模型精度和降低求解参数矩阵的条件数两方面较好的改善了模型的病态性，但唯一不足之处就是还需进一步提高预测模型的精度，以较好的满足实际问题的模型精度需求。
参考文献
[1]刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用[M].第3版.北京：科学出版社，2004：125—163.
[2]偶昌宝，俞亚南.交通量预测的灰色verhulst自记忆模型[J].辽宁交通科技，2004（12）：87—88.
[3]王正新，党耀国，刘思峰.无偏灰色Verhulst模型及其应用[J].系统工程理论与实践，2009，29（10）：138—144.
[4]赵国生，王慧强，王健.基于灰色Verhulst的网络安全态势感知模型[J].哈尔滨工业大学学报，2008，40（5）：798-803.
[5]曹萃文，顾幸生.灰色verhulst动态新陈代谢模型在产品价格预测与需求预测中的应用[J].信息与控制，2005，34（8）：398-402.
[6]偶昌宝，俞亚南.不等时距灰色Verhulst模型及其在沉降预测中的应用[J].江南大学学报（自然科学版），2005，4（1）：63-66.
[7]王正新，党耀国，沈春光.灰色Verhulst模型的灰导数改进研究[J].统计与信息论坛，2010，25（6）：19-22.
[8]肖霞林.路基沉降变形评估与非等间隔灰色Verhulst模型[J].铁道建筑，2011，4（1）：86-89.
[9]靳晓光，李晓红.隧道围岩位移的灰色优化模型预测[J].重庆大学学报（自然科学版），2005，25（1）：1-7.
[10]王叶梅，党耀国，王正新.非等间距GM（1，1）模型背景值的优化[J].中国管理科学2008，16（4）：159-163.
[11]戴文战，李俊峰.非等间距GM（1，1）模型建模研究[J].系统工程理论与实践，2005，（9）：89-95.
作者简介：范献胜（1987-），男，助教，研究方向为灰色预测建模、数据分析。