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中学高级教师，江苏省南通市小学数学学科带头人，南通市优秀教育工作者，曾获江苏省“导航杯”教学比赛一等奖，在《人民教育》等刊物上发表文章多篇。
以往教师们总是自觉不自觉地把数学课程内容视为一系列事实性结论，对有“过程”的课堂以及如何构建有“过程”的课堂存在认识与实践上的误区。因此，能真正创建出有效、优效的有“过程”的课堂颇少。最近以来，很多教师在新课标理念的指导下，开始努力去颠覆以“知识为本”的课堂模式，有意识地重视对“过程”的教学，让学生经历知识的形成过程，从而促进思维的发展。然而，如何创建有“过程”的数学教学，笔者拟从下面三个角度略述，以期抛砖引玉。
一、 设计以“学”为主的课堂活动，引导学生从“经历”走向“经验”
对学生数学活动经验的关注是当下课堂的热点议题之一。数学活动经验从某种角度说就是学生经历数学活动的过程与结果的有机统一体，要落实使学生获得数学活动经验的课程目标，让学生“经历”数学是基本的途径。
学生是学习的主体、课堂的主人，数学教学活动如果缺少学生主动介入、积极参与和生生、师生的多维互动，这样的课堂就只有教师“教”的“流程”，而没有“学”的“过程”。在数学课堂中，学生如果能够通过观察比较、动手操作等多种形式的活动，真正“经历”了数学过程，获得了直接的数学活动经验或者发展了间接的认知经验，数学的结论能被学生“火热”地“看”出来、“做”出来，数学知识不再是“冰冷”的、理性的，这样的课堂就是有真“过程”的课堂。
例如，教学“圆的认识”时，可以安排三次不同的画圆实践，让学生在不同的“经历”中获得成功画圆的“经验”，进而在对“经验”的反刍中认识到圆最基本的特征：一中同长。
1.初次画圆。教师在揭示课题、明确学习任务后，让学生借助于不同的工具尝试画圆，然后选择有代表性的作品进行展示比较，引导学生交流画圆成功的经验、方法和不成功的原因，初步感受圆是曲边图形，可以借助于现成的圆形物体描出圆，也可以借助于画圆的专用工具画圆。然后让学生用圆规反复练习，体会“针尖固定、两脚距离不变、捏住手柄旋转”的画圆要领。
2.尝试画大圆。体育教师想在操场上画一个大圆，还会用圆规吗？请同学帮体育教师想出办法，并在教室的空地上演示“固定木棒、拉绳画圆”的方法，画出大圆后，启发学生思考：工具不同，画圆的道理一样吗？相同在哪儿？
3.画圆比赛。分男、女生两组，一组分发图钉、无弹性的长线、粉笔三种材料，另一组也有图钉和粉笔，不同的是将长线换成弹性十足的橡皮筋，让男、女生两组借助于分发的工具进行画圆比赛。在轻松娱乐的比赛结束后提问：这样的比赛公平吗？你发现了什么？明白了什么？
三次画圆的“经历”，层层递进。第一次学会了技能，第二次明白了道理，第三次把握了本质，学生在其中“种植”了直接经验，“生长”了间接经验，发展了自己的数学直观与数学直觉，提高了数学认知水平。从而体现，有“经历”才能催生“经验”，有“经验”才能萌发“见识”，有“见识”才会助推“成长”。
二、 还原知识的发生与发展，实现知识本质与思想方法的“显化”
日本数学教育家米山国藏在其著作《数学的精神、思想和方法》中深刻地指出：“学生在学校接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是在出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、思想、方法却能随时随地发挥作用，使他们终身受益。”这就是义务教育数学课程目标提出“四基”的原因之所在。因此，只有让学生领悟了数学知识的本质和思想方法、体悟了情感态度的数学课堂才是有深度、有实效、有长效的数学教学，即便是具体的知识遗忘了，但数学地思考问题的方法将伴随学生一生。
数学知识的本质与蕴含的思想方法是一种隐性知识，数学知识的发生和发展的“过程”，也是知识本质与思想方法发生和凸显的“过程”，对知识本质的把握与形成一定的思想方法只有依附于这样的“过程”才能得以真正实现。
以特级教师蔡宏圣教学“认识负数”为例：
1.铺垫——重构知识的“生长点”。上课伊始，从国家形象宣传片《人物篇》中体育明星郭晶晶、丁俊晖和郎平的身高比较入手，帮助学生完整地建构“0”的意义——“0”不但表示“没有”，而且表示“开始”，更重要的是它还表示比较的“标准”（如以郭晶晶的身高为“0”，丁俊晖和郎平的身高分别标记为10、20），使“负数”有了意义“生长”的节点。
2.激疑——产生知识“发生”的需要。通过变换“标准”（以丁俊晖的身高为基准“0”），让“负数”（郭晶晶的身高如何标记？）有了产生的必要。学生自主探究，尝试用符号来标记具有相反意义的不同的数，初步理解了正、负数是具有“相反意义”的数，懂得负数的引入同时也是为了减法封闭性的需要，正、负数的本质意义在与确定“标准”的比较中获得了“直观的抽象”。
3.提炼——联系生活，发展、丰盈概念意义。通过联系生活中的实例，以确定的位置为标准记录前进和后退的步数，以某一价格为基准记录不同价格高或低多少，等等，使正、负数的意义有了更多鲜活的直观呈现，学生的认识逐渐深刻而丰满起来。
4.拓展——回顾温度计的发展史和利用正负数巧求平均数。课堂既有数学文化的气息，又有数学思维的简洁之美，在概念的应用中让学生体验到概念的价值所在，触碰到数学的思想方法。这样的课堂让数学知识的“发生”得以还原，学生的认知建构从“起点”出发，概念的意义在课堂上得以“发生”与“发展”，在逐步概括、抽象的过程中直抵数学概念的本质意义，在概念的解释与应用中涵养数学的思维。
三、 复演前人的数学创造历程，促进学生对数学知识的二次“创生”
有效的数学学习就是“再创造”的过程。正如弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中所言：“学一个活动的最好方法是做”“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学”“不应该将教的内容作为现成的产品强加给学生”“学习过程必须含有直接创造的侧面”“通过再创造获得知识和能力要比以被动方式获得，会理解得更好也更容易保持”。所以，在数学教学中，可以结合具体的教学内容创设真实的问题情境，让学生再走前人探究之路，复演前人数学创造的历程，实现知识的二次“创生”。 “认识厘米”是学生在小学阶段认识的第一个长度单位，也是学生使用测量工具进行度量的第一课。让学生认识1厘米并形成1厘米的心理表征，能正确使用直尺测量物体的长度和画指定长度的线段，初步形成度量意识是本课的主要任务。传统的教学是沿着“认识直尺—认识1厘米—建立1厘米的表象—认识几厘米—揭示测量方法—量长度、画线段”的思路进行的，这样的课堂学生不可能感受到“度量标准统一”的必要性，也不能理解“直尺是单位长度的集合”以及“长度测量就是所要测量的物体长度与标准长度的重合”这一数学本质。我在教学“认识厘米”时做了一些尝试，让学生在课堂里复演前人创造直尺的历程，力图使学生能直观、自然地“看见”并“做出”数学本身。
1.创设冲突情境，体会“度量标准统一”的必要性。编创故事“阿福的新衣”，裁缝师傅让小徒弟按“衣长三拃，袖长二拃”要求制作新衣，结果小徒弟却将新衣做小了，引导学生认识到度量的前提是统一度量的标准。
2. 认识1厘米，建立1厘米的表象。先出示1厘米长的小棒，告知学生，人们规定这样的长度为1厘米；接着，让学生观察手中1厘米的小棒，用拇指与食指指尖间隙来比画1厘米，借助小棒检验、再比画，再检验，反复几次，初步形成1厘米大概有多长的表象；然后，利用物体的直边（不用有刻度的尺）试着在纸上画1厘米长的线段，拿1厘米的小棒对比检查，反复尝试并调整；最后，找一找身边有哪些物体的长度大约1厘米。
3.做“小棒尺”，用“小棒尺”测量。第一步，用1根1厘米小棒“量”出较长线段的长度，体会连续测量的困难；第二步，学生合作，发现用多根小棒首尾相连“摆”出线段的长度比1根小棒连续测量方便、准确；第三步，引导学生研究，如何“摆”一次小棒，能进行多次测量？学生尝试将多根小棒首尾相连成一线粘贴在长纸条上，做成“小棒尺”；第四步，完善小棒尺，启发学生在“小棒尺”上标出富有创意的刻度。第五步，用自己制作的“小棒尺”测量长度。
4.认识直尺，形成测量技能。对比制作的“小棒尺”与直尺，让学生体验到创造的成功与快乐。在直尺上找1厘米和几厘米，让学生直接用直尺测量和画线段，及时对发现的问题进行指导，内化度量的技能。
整节课通过对“直尺”的再设计与再创造，学生较好地掌握了“尺”的结构与原理，领会了测量就是“标准的工具与测量对象的合同”，在建构测量工具的同时也学会了测量的方法，学生由工具的使用者转换成了设计者、制作者，教学过程与教学结果得到了统一。
当然，构建有“过程”课堂的策略还有很多，设计以“学”为主的数学活动、还原知识的发生过程以及复演前人的创造历程，无论哪一种创建“过程”的策略在本质上都是一致的，都是让“简约与固化”的书本知识变成“过程与形态化”的教学活动，让学生在特定的情境中经历一个较为完整的“数学化”过程，从而促进学生对知识本质的理解、思想方法的掌握以及情感态度的习得，实现数学素养的逐步提升。
同时，创建有“过程”的课堂不是对教学目标与结果的忽视，教学目标与结果的预设指引着教学过程的展开，过程以目标与结果为目的，目标与结果以过程为基础，两者之间是相互依存、和谐发展的。
以往教师们总是自觉不自觉地把数学课程内容视为一系列事实性结论，对有“过程”的课堂以及如何构建有“过程”的课堂存在认识与实践上的误区。因此，能真正创建出有效、优效的有“过程”的课堂颇少。最近以来，很多教师在新课标理念的指导下，开始努力去颠覆以“知识为本”的课堂模式，有意识地重视对“过程”的教学，让学生经历知识的形成过程，从而促进思维的发展。然而，如何创建有“过程”的数学教学，笔者拟从下面三个角度略述，以期抛砖引玉。
一、 设计以“学”为主的课堂活动，引导学生从“经历”走向“经验”
对学生数学活动经验的关注是当下课堂的热点议题之一。数学活动经验从某种角度说就是学生经历数学活动的过程与结果的有机统一体，要落实使学生获得数学活动经验的课程目标，让学生“经历”数学是基本的途径。
学生是学习的主体、课堂的主人，数学教学活动如果缺少学生主动介入、积极参与和生生、师生的多维互动，这样的课堂就只有教师“教”的“流程”，而没有“学”的“过程”。在数学课堂中，学生如果能够通过观察比较、动手操作等多种形式的活动，真正“经历”了数学过程，获得了直接的数学活动经验或者发展了间接的认知经验，数学的结论能被学生“火热”地“看”出来、“做”出来，数学知识不再是“冰冷”的、理性的，这样的课堂就是有真“过程”的课堂。
例如，教学“圆的认识”时，可以安排三次不同的画圆实践，让学生在不同的“经历”中获得成功画圆的“经验”，进而在对“经验”的反刍中认识到圆最基本的特征：一中同长。
1.初次画圆。教师在揭示课题、明确学习任务后，让学生借助于不同的工具尝试画圆，然后选择有代表性的作品进行展示比较，引导学生交流画圆成功的经验、方法和不成功的原因，初步感受圆是曲边图形，可以借助于现成的圆形物体描出圆，也可以借助于画圆的专用工具画圆。然后让学生用圆规反复练习，体会“针尖固定、两脚距离不变、捏住手柄旋转”的画圆要领。
2.尝试画大圆。体育教师想在操场上画一个大圆，还会用圆规吗？请同学帮体育教师想出办法，并在教室的空地上演示“固定木棒、拉绳画圆”的方法，画出大圆后，启发学生思考：工具不同，画圆的道理一样吗？相同在哪儿？
3.画圆比赛。分男、女生两组，一组分发图钉、无弹性的长线、粉笔三种材料，另一组也有图钉和粉笔，不同的是将长线换成弹性十足的橡皮筋，让男、女生两组借助于分发的工具进行画圆比赛。在轻松娱乐的比赛结束后提问：这样的比赛公平吗？你发现了什么？明白了什么？
三次画圆的“经历”，层层递进。第一次学会了技能，第二次明白了道理，第三次把握了本质，学生在其中“种植”了直接经验，“生长”了间接经验，发展了自己的数学直观与数学直觉，提高了数学认知水平。从而体现，有“经历”才能催生“经验”，有“经验”才能萌发“见识”，有“见识”才会助推“成长”。
二、 还原知识的发生与发展，实现知识本质与思想方法的“显化”
日本数学教育家米山国藏在其著作《数学的精神、思想和方法》中深刻地指出：“学生在学校接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是在出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、思想、方法却能随时随地发挥作用，使他们终身受益。”这就是义务教育数学课程目标提出“四基”的原因之所在。因此，只有让学生领悟了数学知识的本质和思想方法、体悟了情感态度的数学课堂才是有深度、有实效、有长效的数学教学，即便是具体的知识遗忘了，但数学地思考问题的方法将伴随学生一生。
数学知识的本质与蕴含的思想方法是一种隐性知识，数学知识的发生和发展的“过程”，也是知识本质与思想方法发生和凸显的“过程”，对知识本质的把握与形成一定的思想方法只有依附于这样的“过程”才能得以真正实现。
以特级教师蔡宏圣教学“认识负数”为例：
1.铺垫——重构知识的“生长点”。上课伊始，从国家形象宣传片《人物篇》中体育明星郭晶晶、丁俊晖和郎平的身高比较入手，帮助学生完整地建构“0”的意义——“0”不但表示“没有”，而且表示“开始”，更重要的是它还表示比较的“标准”（如以郭晶晶的身高为“0”，丁俊晖和郎平的身高分别标记为10、20），使“负数”有了意义“生长”的节点。
2.激疑——产生知识“发生”的需要。通过变换“标准”（以丁俊晖的身高为基准“0”），让“负数”（郭晶晶的身高如何标记？）有了产生的必要。学生自主探究，尝试用符号来标记具有相反意义的不同的数，初步理解了正、负数是具有“相反意义”的数，懂得负数的引入同时也是为了减法封闭性的需要，正、负数的本质意义在与确定“标准”的比较中获得了“直观的抽象”。
3.提炼——联系生活，发展、丰盈概念意义。通过联系生活中的实例，以确定的位置为标准记录前进和后退的步数，以某一价格为基准记录不同价格高或低多少，等等，使正、负数的意义有了更多鲜活的直观呈现，学生的认识逐渐深刻而丰满起来。
4.拓展——回顾温度计的发展史和利用正负数巧求平均数。课堂既有数学文化的气息，又有数学思维的简洁之美，在概念的应用中让学生体验到概念的价值所在，触碰到数学的思想方法。这样的课堂让数学知识的“发生”得以还原，学生的认知建构从“起点”出发，概念的意义在课堂上得以“发生”与“发展”，在逐步概括、抽象的过程中直抵数学概念的本质意义，在概念的解释与应用中涵养数学的思维。
三、 复演前人的数学创造历程，促进学生对数学知识的二次“创生”
有效的数学学习就是“再创造”的过程。正如弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中所言：“学一个活动的最好方法是做”“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学”“不应该将教的内容作为现成的产品强加给学生”“学习过程必须含有直接创造的侧面”“通过再创造获得知识和能力要比以被动方式获得，会理解得更好也更容易保持”。所以，在数学教学中，可以结合具体的教学内容创设真实的问题情境，让学生再走前人探究之路，复演前人数学创造的历程，实现知识的二次“创生”。 “认识厘米”是学生在小学阶段认识的第一个长度单位，也是学生使用测量工具进行度量的第一课。让学生认识1厘米并形成1厘米的心理表征，能正确使用直尺测量物体的长度和画指定长度的线段，初步形成度量意识是本课的主要任务。传统的教学是沿着“认识直尺—认识1厘米—建立1厘米的表象—认识几厘米—揭示测量方法—量长度、画线段”的思路进行的，这样的课堂学生不可能感受到“度量标准统一”的必要性，也不能理解“直尺是单位长度的集合”以及“长度测量就是所要测量的物体长度与标准长度的重合”这一数学本质。我在教学“认识厘米”时做了一些尝试，让学生在课堂里复演前人创造直尺的历程，力图使学生能直观、自然地“看见”并“做出”数学本身。
1.创设冲突情境，体会“度量标准统一”的必要性。编创故事“阿福的新衣”，裁缝师傅让小徒弟按“衣长三拃，袖长二拃”要求制作新衣，结果小徒弟却将新衣做小了，引导学生认识到度量的前提是统一度量的标准。
2. 认识1厘米，建立1厘米的表象。先出示1厘米长的小棒，告知学生，人们规定这样的长度为1厘米；接着，让学生观察手中1厘米的小棒，用拇指与食指指尖间隙来比画1厘米，借助小棒检验、再比画，再检验，反复几次，初步形成1厘米大概有多长的表象；然后，利用物体的直边（不用有刻度的尺）试着在纸上画1厘米长的线段，拿1厘米的小棒对比检查，反复尝试并调整；最后，找一找身边有哪些物体的长度大约1厘米。
3.做“小棒尺”，用“小棒尺”测量。第一步，用1根1厘米小棒“量”出较长线段的长度，体会连续测量的困难；第二步，学生合作，发现用多根小棒首尾相连“摆”出线段的长度比1根小棒连续测量方便、准确；第三步，引导学生研究，如何“摆”一次小棒，能进行多次测量？学生尝试将多根小棒首尾相连成一线粘贴在长纸条上，做成“小棒尺”；第四步，完善小棒尺，启发学生在“小棒尺”上标出富有创意的刻度。第五步，用自己制作的“小棒尺”测量长度。
4.认识直尺，形成测量技能。对比制作的“小棒尺”与直尺，让学生体验到创造的成功与快乐。在直尺上找1厘米和几厘米，让学生直接用直尺测量和画线段，及时对发现的问题进行指导，内化度量的技能。
整节课通过对“直尺”的再设计与再创造，学生较好地掌握了“尺”的结构与原理，领会了测量就是“标准的工具与测量对象的合同”，在建构测量工具的同时也学会了测量的方法，学生由工具的使用者转换成了设计者、制作者，教学过程与教学结果得到了统一。
当然，构建有“过程”课堂的策略还有很多，设计以“学”为主的数学活动、还原知识的发生过程以及复演前人的创造历程，无论哪一种创建“过程”的策略在本质上都是一致的，都是让“简约与固化”的书本知识变成“过程与形态化”的教学活动，让学生在特定的情境中经历一个较为完整的“数学化”过程，从而促进学生对知识本质的理解、思想方法的掌握以及情感态度的习得，实现数学素养的逐步提升。
同时，创建有“过程”的课堂不是对教学目标与结果的忽视，教学目标与结果的预设指引着教学过程的展开，过程以目标与结果为目的，目标与结果以过程为基础，两者之间是相互依存、和谐发展的。