《坐标系与参数方程》高考全解

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  在江苏新课标高考中,对《坐标系与参数方程》的考查,以解答题的形式出现在附加题(理科)的选做题部分,占10分.由于此题难度不大,故而成为考生们的首选.对于高考来说,争夺分数才是硬道理.那么如何才能稳稳地把这10分收入囊中呢?希望本文对同学们有所启发.
  一、高考要求
  1.理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
  2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.
  3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
  4.了解参数方程,了解参数的意义.
  5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
  6.掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相关问题.
  二、命题方向
  纵观近几年江苏新课标高考,对坐标系和参数方程,主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
  三、知识梳理
  1.直角坐标与极坐标的互化
  把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
  x=ρcosθ,
  y=ρsinθ,ρ2=x2 y2,
  tanθ=yx(x≠0).
  2.直线的极坐标方程
  若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
  几个特殊位置的直线的极坐标方程
  (1)直线过极点:θ=α;
  (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a;
  (3)直线过点M(b,π2)且平行于极轴:ρsinθ=b.
  3.圆的极坐标方程
  若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0) ρ20-r2=0.
  几个特殊位置的圆的极坐标方程
  (1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
  (2)当圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcosθ;
  (3)当圆心位于M(r,π2),半径为r:ρ=2rsinθ.
  4.直线的参数方程
  过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0 tcosα
  y=y0 tsinα(t为参数).
  5.圆的参数方程
  圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为x=x0 rcosθ
  y=y0 rsinθ(θ为参数,0≤θ≤2π).
  6.圆锥曲线的参数方程
  (1)椭圆x2a2 y2b2=1的参数方程为x=acosθ
  y=bsinθ(θ为参数).
  (2)抛物线y2=2px(p
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