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摘要：本文以人教A版选修2-1“曲線与方程”的教学片断为例，从“创设问题情境”、“突破重点难点”、“搭建探究平台”等方面，探索如何将几何画板有效融入高中数学日常教学，并在文末提出对这种融合的一些思考。
关键词：几何画板；高中数学；有效融入；曲线与方程
中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）53-0270-03
随着信息技术的不断发展，几何画板使数学知识的发生发展过程与结果的教育得到了更好地结合，使数学兴趣、情感与数学的理性思维教育得到了有机地融合，为高中数学有效教学的实施提供了有利的技术保障。但几何画板与高中教学的整合，不是简单的应用，而是高层次的融合与主动适应。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，教师应该为学生创设有助于从形象思维向抽象思维转化的教学情境，几何画板能解决这个问题。
“曲线和方程”是数学选修2-1（人教版）第二章圆锥曲线与方程第1节的内容，是圆锥曲线与方程的开门课，学生对于曲线的方程与方程的曲线的概念的理解、坐标法求曲线方程以及证明以方程的解为坐标点都在曲线上是本节教学的难点。前不久，笔者在学校的市级公开课活动中开设了一节《曲线与方程》的公开课，下文是课堂场景片断的重现，希望能与读者共同感受教师如何将几何画板高效融入到高中日常教学中。
一、教学过程辑录
1.片断一：激发兴趣，引入新课。
师：同学们，我们在必修二中已经学习了直线与方程和圆与方程的知识，在学习的过程中我们借助平面直角坐标系，利用坐标法将直线、圆这些几何图形与代数方程进行联系。从今天开始，我们将继续采用坐标法展开本书第二章《圆锥曲线与方程》的学习，并且进一步感受数形结合的思想。现在大屏幕循环播放的是生活中各种各样的曲线：
师：同学会发现，每一个曲线都与一个方程相对应，大家不禁会问曲线与方程有什么关系，带着这个问题，我们一起走进本章第二节《曲线与方程》的学习。
数学来源于现实生活，又高于现实生活。教师借助几何画板引用生活中数学美的素材，挖掘学生数学美的感受，能使枯燥的数学变得有趣、生动，使学生的学习内容更加丰富多彩，从而激发学生的学习兴趣。
2.片断二：直观感知，形成概念。
师：很好，现在我们把注意力放在第一题上，试着探索直线l与它所对应的方程：3x-y-2=0的关系。大家刚才在求直线方程的过程中一定是使用了直线上已知的A、D两点坐标，既然使用了A、D两点坐标，那么自然的，A、D两点坐标肯定会满足所求的方程。现在，如果老师在直线上任取一点B，请同学们思考：B点的坐标与直线l的方程：3x-y-2=0有什么关系？
生：（思考、讨论）点的坐标应该会和、两点坐标一样，能够满足直线的方程3x-y-2=0.
师：为了加深大家的印象，我们利用几何画板来验证（打开几何画板）：现在屏幕上呈现的直线方程就是3x-y-2=0，B是直线上的任意一点，并且让其在直线上随意移动，请同学们观察：在B点运动过程中，它的坐标与3x-y-2=0有什么关系？生：点的坐标始终都会满足方程。（如图1、图2）
师：坐标满足方程，换一种说法就是坐标是方程3x-y-2=0的解。由此，我们说：（板书）直线l上的点的坐标（x，y）都是方程3x-y-2=0的解。
这句话是从直线出发，通过探索线上点与方程解的关系来说明直线与其所对应方程的关系。现在我们从方程角度出发。同学们知道，方程3x-y-2=0是x、y关于的二元方程，其解有无数多组，现在老师任取其中一组解x0、y0，并且把它写成坐标形式：（x0，y0），请同学们思考坐标（x0、y0）所对应的点会落在坐标系的什么位置？
生：（思考、讨论）会落在直线l上。
师：为了检验大家的回答，我们同样利用几何画板进行检验：现在老师给出的点C，其坐标永远满足方程3x-y-2=0，现在请同学们说一个横坐标？
生：1.25
师：经过软件的计算，自动生成纵坐标-1.25，现在我们绘制C（1.25，-1.25）。
生1：果然它在直线l上。
生2：再试试，比如说横坐标为5.17。
师：输入5.17，自动生成的C的坐标：C（5.17，13.51），同样地，我们把它绘制出来，它依然落在直线l上。（如图3、图4）
由此我们说：（板书）以方程3x-y-2=0的解为坐标的点都在直线l上。这两句话分别从直线与方程的角度通过探索线上点与方程解的关系来说明直线与其所对应方程的关系。
在完成对于直线与方程关系的探究后，教师利用类比的教学方法，借助几何画板，引导学生自主对于圆与方程的关系进行探究与验证（教学片断略），从而推广出曲线与方程的关系，生成概念。
在概念的生成阶段，教师在复习了直线和圆与其方程的对应关系后，使用几何画板，生动地体现了直线与圆上的动点与其方程——数与形之间的内在联系（圆上动点与其方程关系的验证见图1，教学过程略），通过这样的验证过程，让学生对于这一现象有了更加深刻的认识，再由特殊到一般，使得学生能够流利地表述出曲线的方程与方程的曲线的概念，并且体验“观察—猜想—验证—类比—推广”的数学活动过程。
3.片断三：应用新知，引导探究。
师：下面我们通过一个例子来感受。现在屏幕上呈现的是一个梯子，AC斜靠在墙角，教师站在梯子上，假设站在B处（如图5），突然梯子沿着墙面下滑，假定在下滑的过程中我很淡定，一直站在B处，当然，我最后还是掉到地上。现在请同学们想想，我是沿着什么样的曲线下落的？是竖直下落的吗？ 生：不是，是一条有弧度的曲線。
师：请同学们猜一猜，这条有弧度的曲线是什么？
生：圆？
生：圆的一段？
师：大家的想法可能有很多，现在我们来模拟这个情景。（如图6）
师：这个图形同学们比较陌生，它其实是椭圆的一个部分，我们在以后的学习中会遇见，但是它是点的轨迹这点同学们一定能感受得到，而且这个图形和我们这节课一开始提到的圆与直线一样，都是特殊的曲线，而对于直线与圆，我们都会求他们的方程，因此我们自然想到如何求这一新曲线的方程，如何求呢？回到定义，我们用曲线上点的坐标所满足的方程来表示曲线。
教师为了进一步激发学生学习、探索的欲望，利用几何画板创设生活中的情境“梯子问题”，让全体学生参与观察、分析，借助几何画板的动态效果，演示了曲线的生成过程，让学生感悟到研究曲线方程的关键是研究曲线上任意点的坐标，为后面通过例题总结出坐标法曲线方程的步骤做出了铺垫，让学生体会“观察—感悟—应用—总结”的数学活动过程。当然，这个过程少不了几何画板的有效融入。
4.片断四：变式引申，自主探究。
师：接下来我们一起来看例题2：已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2。一条曲线也在l的上方，它上面的每一点F到l的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
（十分钟后）师：现在请同学们来说一说你是怎样做的。
……
教师发现不同的同学采用不同的建系方法进行解题，得到了不同的方程。
师：两位同学得出了不同的方程，这些到底是不是本题所要求的曲线方程呢？下面我们通过几何画板（如图7、图8）来演示。
学生因为不同的建系方式得出了不同的曲线方程，可能学生会疑惑，到底哪个对、哪个错，此时，运用几何画板动态演示在不同的建系环境下生成满足题意的曲线，一方面解开学生的疑惑，另一方面让学生巩固对曲线的方程与方程的曲线的概念的理解，加深曲线与方程联系的本质，即曲线上的点（坐标）与方程的解的对应。同时，为后面由学生分析求解曲线方程时的建立坐标系原则打下理论基础。在整个探究过程中.学生的知识被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起，这正是新课程教学理念的体现。
二、感悟与反思
本节课中，笔者将几何画板全面融入到教学过程中，并进行了有益探索，取得了良好的教学效果，以下是笔者的一些体会。
1.变枯燥为生动，激发学生的学习兴趣。兴趣是学习的动力，传统的数学教学重结果轻过程。新的教育理念认为：学生的学习过程应是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。本节课利用几何画板，在课前向学生展示动态的优美曲线，让学生对曲线与方程有感性的认识，体会数学的奇异美，让学生面对的不再是静态图像，而是充满活力的动态过程，再次点燃学生的学习欲望，让学生有兴趣地讨论、思考，学生不仅在能力上，而且在情感上都会获得成功的体验，更有助于学生建立正确的数学学习观。当然，可以将让学生欣赏的曲线进行美化，比如可以制作成曲线由生活中或者是科技中的事物提炼而成（如花朵中的螺线等），更能贴近生活，激发热情。
2.变被动为主动，确立学生的主体性。知识的获得是一种主动的认知活动。任何一个新知的习得，必须在学生积极思维的参与下，经历认知结构的调整和重新组合，最终把新知同化后纳入原认知结构中。在传统教学中，学生少主动参与，多被动接受；少自我意识，多依附性。而本节课利用几何画板的可操作性，在教师的引导下，为学生在概念的生成与理解、成果的分享与交流创设平台。①对概念的生成进行探索，揭示概念的本质。“曲线的方程”、“方程的曲线”这对概念是本节课的难点，如果学生没有理解到位，会对后面如何求曲线的方程产生思维盲点，直线与圆是学生已学的知识，是形成“曲线与方程”概念的实际模型，教师利用几何画板，动态显示了直线与圆上动点与其方程的关系，为学生搭建了主动探究新知识的平台，让学生在“观察—猜想—验证—类比—归纳”中流利地表述新概念。这样的学习，不仅为学生提供了更多的参与机会，使学生学得生动、记得牢同。同时，也使学生学会了观察分析问题的方法，提高观察分析问题的能力。②对成果进行分享，提升对解题方法的认知。反思例题2，一方面让学生自主操作，体会求曲线方程的五个步骤，尤其是步骤4的同解变形，如果不能做到同解变形，就要对特殊情况做出说明。另一方面，学生在求曲线方程的过程中有不同的建系方法，会得到不同的答案，如何理解不同的成果，怎样建系会更有助于解题，是本例的另一个功能。学生分享自己的解题思路也能使教师与其他同学在思路上有所借鉴，教师因势利导，根据学生的建系方案，利用几何画板动态生成两条曲线，得到三点收获：第一，两种建系方案以及所得的成果都符合“曲线与方程”概念的本质；第二，生成的曲线都在定直线上，所以在最后的结果中要“扣点”；第三，学生在解题时要大胆尝试，当然，也要总结出如何建系才是最合理的。
3.化抽象为形象，提高学生数学素养。高度抽象是数学学科的特点，也是学习数学的难点。本节课中曲线的方程与方程的曲线两个概念高度抽象，因此，笔者从直线的方程与方程的直线、圆的方程与方程的圆谈起，并且利用几何画板的可操作性，拖动曲线上的点，观察其坐标是否满足方程。由学生说点的坐标，再绘制出点，验证其在不在曲线上，给学生直观的体验。在自主运用环节，通过几何画板变化建系方式，加深学生对曲线与方程本质关系的理解。这样，不仅可以帮助学生理解和接受抽象知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分的发挥。
本案例通过合理融入几何画板，提高了课堂教学的有效性，但这并不意味着所有教学内容都适合融入几何画板，能用则用，不能用则不用。所以，教师要根据学生的认知水平，结合教材，寻找最佳融合点，将几何画板有效融入到高中数学日常教学中。几何画板通过动画、过程演示等手段，充分体现了数学内容呈现方式直观化、探索过程多样化和抽象问题具体化等优势，但我们不能一味的用。“直观化、具体化”取代抽象的数学思维，用直观演示取代空间想象，否则将不利于学生动手画图、空间想象、抽象思维能力的培养。
关键词：几何画板；高中数学；有效融入；曲线与方程
中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）53-0270-03
随着信息技术的不断发展，几何画板使数学知识的发生发展过程与结果的教育得到了更好地结合，使数学兴趣、情感与数学的理性思维教育得到了有机地融合，为高中数学有效教学的实施提供了有利的技术保障。但几何画板与高中教学的整合，不是简单的应用，而是高层次的融合与主动适应。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，教师应该为学生创设有助于从形象思维向抽象思维转化的教学情境，几何画板能解决这个问题。
“曲线和方程”是数学选修2-1（人教版）第二章圆锥曲线与方程第1节的内容，是圆锥曲线与方程的开门课，学生对于曲线的方程与方程的曲线的概念的理解、坐标法求曲线方程以及证明以方程的解为坐标点都在曲线上是本节教学的难点。前不久，笔者在学校的市级公开课活动中开设了一节《曲线与方程》的公开课，下文是课堂场景片断的重现，希望能与读者共同感受教师如何将几何画板高效融入到高中日常教学中。
一、教学过程辑录
1.片断一：激发兴趣，引入新课。
师：同学们，我们在必修二中已经学习了直线与方程和圆与方程的知识，在学习的过程中我们借助平面直角坐标系，利用坐标法将直线、圆这些几何图形与代数方程进行联系。从今天开始，我们将继续采用坐标法展开本书第二章《圆锥曲线与方程》的学习，并且进一步感受数形结合的思想。现在大屏幕循环播放的是生活中各种各样的曲线：
师：同学会发现，每一个曲线都与一个方程相对应，大家不禁会问曲线与方程有什么关系，带着这个问题，我们一起走进本章第二节《曲线与方程》的学习。
数学来源于现实生活，又高于现实生活。教师借助几何画板引用生活中数学美的素材，挖掘学生数学美的感受，能使枯燥的数学变得有趣、生动，使学生的学习内容更加丰富多彩，从而激发学生的学习兴趣。
2.片断二：直观感知，形成概念。
师：很好，现在我们把注意力放在第一题上，试着探索直线l与它所对应的方程：3x-y-2=0的关系。大家刚才在求直线方程的过程中一定是使用了直线上已知的A、D两点坐标，既然使用了A、D两点坐标，那么自然的，A、D两点坐标肯定会满足所求的方程。现在，如果老师在直线上任取一点B，请同学们思考：B点的坐标与直线l的方程：3x-y-2=0有什么关系？
生：（思考、讨论）点的坐标应该会和、两点坐标一样，能够满足直线的方程3x-y-2=0.
师：为了加深大家的印象，我们利用几何画板来验证（打开几何画板）：现在屏幕上呈现的直线方程就是3x-y-2=0，B是直线上的任意一点，并且让其在直线上随意移动，请同学们观察：在B点运动过程中，它的坐标与3x-y-2=0有什么关系？生：点的坐标始终都会满足方程。（如图1、图2）
师：坐标满足方程，换一种说法就是坐标是方程3x-y-2=0的解。由此，我们说：（板书）直线l上的点的坐标（x，y）都是方程3x-y-2=0的解。
这句话是从直线出发，通过探索线上点与方程解的关系来说明直线与其所对应方程的关系。现在我们从方程角度出发。同学们知道，方程3x-y-2=0是x、y关于的二元方程，其解有无数多组，现在老师任取其中一组解x0、y0，并且把它写成坐标形式：（x0，y0），请同学们思考坐标（x0、y0）所对应的点会落在坐标系的什么位置？
生：（思考、讨论）会落在直线l上。
师：为了检验大家的回答，我们同样利用几何画板进行检验：现在老师给出的点C，其坐标永远满足方程3x-y-2=0，现在请同学们说一个横坐标？
生：1.25
师：经过软件的计算，自动生成纵坐标-1.25，现在我们绘制C（1.25，-1.25）。
生1：果然它在直线l上。
生2：再试试，比如说横坐标为5.17。
师：输入5.17，自动生成的C的坐标：C（5.17，13.51），同样地，我们把它绘制出来，它依然落在直线l上。（如图3、图4）
由此我们说：（板书）以方程3x-y-2=0的解为坐标的点都在直线l上。这两句话分别从直线与方程的角度通过探索线上点与方程解的关系来说明直线与其所对应方程的关系。
在完成对于直线与方程关系的探究后，教师利用类比的教学方法，借助几何画板，引导学生自主对于圆与方程的关系进行探究与验证（教学片断略），从而推广出曲线与方程的关系，生成概念。
在概念的生成阶段，教师在复习了直线和圆与其方程的对应关系后，使用几何画板，生动地体现了直线与圆上的动点与其方程——数与形之间的内在联系（圆上动点与其方程关系的验证见图1，教学过程略），通过这样的验证过程，让学生对于这一现象有了更加深刻的认识，再由特殊到一般，使得学生能够流利地表述出曲线的方程与方程的曲线的概念，并且体验“观察—猜想—验证—类比—推广”的数学活动过程。
3.片断三：应用新知，引导探究。
师：下面我们通过一个例子来感受。现在屏幕上呈现的是一个梯子，AC斜靠在墙角，教师站在梯子上，假设站在B处（如图5），突然梯子沿着墙面下滑，假定在下滑的过程中我很淡定，一直站在B处，当然，我最后还是掉到地上。现在请同学们想想，我是沿着什么样的曲线下落的？是竖直下落的吗？ 生：不是，是一条有弧度的曲線。
师：请同学们猜一猜，这条有弧度的曲线是什么？
生：圆？
生：圆的一段？
师：大家的想法可能有很多，现在我们来模拟这个情景。（如图6）
师：这个图形同学们比较陌生，它其实是椭圆的一个部分，我们在以后的学习中会遇见，但是它是点的轨迹这点同学们一定能感受得到，而且这个图形和我们这节课一开始提到的圆与直线一样，都是特殊的曲线，而对于直线与圆，我们都会求他们的方程，因此我们自然想到如何求这一新曲线的方程，如何求呢？回到定义，我们用曲线上点的坐标所满足的方程来表示曲线。
教师为了进一步激发学生学习、探索的欲望，利用几何画板创设生活中的情境“梯子问题”，让全体学生参与观察、分析，借助几何画板的动态效果，演示了曲线的生成过程，让学生感悟到研究曲线方程的关键是研究曲线上任意点的坐标，为后面通过例题总结出坐标法曲线方程的步骤做出了铺垫，让学生体会“观察—感悟—应用—总结”的数学活动过程。当然，这个过程少不了几何画板的有效融入。
4.片断四：变式引申，自主探究。
师：接下来我们一起来看例题2：已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2。一条曲线也在l的上方，它上面的每一点F到l的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
（十分钟后）师：现在请同学们来说一说你是怎样做的。
……
教师发现不同的同学采用不同的建系方法进行解题，得到了不同的方程。
师：两位同学得出了不同的方程，这些到底是不是本题所要求的曲线方程呢？下面我们通过几何画板（如图7、图8）来演示。
学生因为不同的建系方式得出了不同的曲线方程，可能学生会疑惑，到底哪个对、哪个错，此时，运用几何画板动态演示在不同的建系环境下生成满足题意的曲线，一方面解开学生的疑惑，另一方面让学生巩固对曲线的方程与方程的曲线的概念的理解，加深曲线与方程联系的本质，即曲线上的点（坐标）与方程的解的对应。同时，为后面由学生分析求解曲线方程时的建立坐标系原则打下理论基础。在整个探究过程中.学生的知识被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起，这正是新课程教学理念的体现。
二、感悟与反思
本节课中，笔者将几何画板全面融入到教学过程中，并进行了有益探索，取得了良好的教学效果，以下是笔者的一些体会。
1.变枯燥为生动，激发学生的学习兴趣。兴趣是学习的动力，传统的数学教学重结果轻过程。新的教育理念认为：学生的学习过程应是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。本节课利用几何画板，在课前向学生展示动态的优美曲线，让学生对曲线与方程有感性的认识，体会数学的奇异美，让学生面对的不再是静态图像，而是充满活力的动态过程，再次点燃学生的学习欲望，让学生有兴趣地讨论、思考，学生不仅在能力上，而且在情感上都会获得成功的体验，更有助于学生建立正确的数学学习观。当然，可以将让学生欣赏的曲线进行美化，比如可以制作成曲线由生活中或者是科技中的事物提炼而成（如花朵中的螺线等），更能贴近生活，激发热情。
2.变被动为主动，确立学生的主体性。知识的获得是一种主动的认知活动。任何一个新知的习得，必须在学生积极思维的参与下，经历认知结构的调整和重新组合，最终把新知同化后纳入原认知结构中。在传统教学中，学生少主动参与，多被动接受；少自我意识，多依附性。而本节课利用几何画板的可操作性，在教师的引导下，为学生在概念的生成与理解、成果的分享与交流创设平台。①对概念的生成进行探索，揭示概念的本质。“曲线的方程”、“方程的曲线”这对概念是本节课的难点，如果学生没有理解到位，会对后面如何求曲线的方程产生思维盲点，直线与圆是学生已学的知识，是形成“曲线与方程”概念的实际模型，教师利用几何画板，动态显示了直线与圆上动点与其方程的关系，为学生搭建了主动探究新知识的平台，让学生在“观察—猜想—验证—类比—归纳”中流利地表述新概念。这样的学习，不仅为学生提供了更多的参与机会，使学生学得生动、记得牢同。同时，也使学生学会了观察分析问题的方法，提高观察分析问题的能力。②对成果进行分享，提升对解题方法的认知。反思例题2，一方面让学生自主操作，体会求曲线方程的五个步骤，尤其是步骤4的同解变形，如果不能做到同解变形，就要对特殊情况做出说明。另一方面，学生在求曲线方程的过程中有不同的建系方法，会得到不同的答案，如何理解不同的成果，怎样建系会更有助于解题，是本例的另一个功能。学生分享自己的解题思路也能使教师与其他同学在思路上有所借鉴，教师因势利导，根据学生的建系方案，利用几何画板动态生成两条曲线，得到三点收获：第一，两种建系方案以及所得的成果都符合“曲线与方程”概念的本质；第二，生成的曲线都在定直线上，所以在最后的结果中要“扣点”；第三，学生在解题时要大胆尝试，当然，也要总结出如何建系才是最合理的。
3.化抽象为形象，提高学生数学素养。高度抽象是数学学科的特点，也是学习数学的难点。本节课中曲线的方程与方程的曲线两个概念高度抽象，因此，笔者从直线的方程与方程的直线、圆的方程与方程的圆谈起，并且利用几何画板的可操作性，拖动曲线上的点，观察其坐标是否满足方程。由学生说点的坐标，再绘制出点，验证其在不在曲线上，给学生直观的体验。在自主运用环节，通过几何画板变化建系方式，加深学生对曲线与方程本质关系的理解。这样，不仅可以帮助学生理解和接受抽象知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分的发挥。
本案例通过合理融入几何画板，提高了课堂教学的有效性，但这并不意味着所有教学内容都适合融入几何画板，能用则用，不能用则不用。所以，教师要根据学生的认知水平，结合教材，寻找最佳融合点，将几何画板有效融入到高中数学日常教学中。几何画板通过动画、过程演示等手段，充分体现了数学内容呈现方式直观化、探索过程多样化和抽象问题具体化等优势，但我们不能一味的用。“直观化、具体化”取代抽象的数学思维，用直观演示取代空间想象，否则将不利于学生动手画图、空间想象、抽象思维能力的培养。