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本文研究了k非常极凸和k非常极光滑空间的问题．利用Banach空间理论的方法，证明了k非常极凸空间和k非常极光滑空间是一对对偶概念，并且k非常极凸空间（k非常极光滑空间）是严格介于k一致极凸空间和k非常凸空间（k一致极光滑空间和k非常光滑空间）之间的一类新的Banach空间，得到了k非常极凸空间和k非常极光滑空间的若干等价刻画以及k非常极凸（k非常极光滑性）与其它凸性（光滑性）之间的蕴涵关系，推广了非常极凸空间和非常极光滑空间，完善了k非常极凸空间及其对偶空间的研究．