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摘 要：点火器是运载火箭动力系统的重要组成部分。为了解决其高可靠性的评估问题，提出一种基于正态容许限法的点火器可靠性评估方法。首先选择点火冲量和压力峰值作为点火器输出敏感性能参数，然后提出采用W检验法对点火冲量和压力峰值数据进行正态分布检验，最后基于正态容许限系数给出了点火器点火可靠度和结构可靠度的点估计和区间估计。采用该方法对某点火器进行了可靠性评估，评估结果为该点火器点火可靠度和结构可靠度点估计约为0.999999，置信水平0.95下，点火可靠度下限为0.999998和结构可靠度下限为0.999999，表明该点火器具有较高的可靠性水平，达到了置信度为0.95，可靠度下限为0.9999的要求。本方法可为其他结构、功能相似的点火器高可靠性评估提供借鉴。
关键词：点火器 可靠性评估 正态容许限法 敏感性能参数
中图分类号：V444 文献标识码：A文章编号：1674-098X（2021）05（b）-005-05
Reliability Evaluation of Igniter Based on Normal Allowable Limit Method
DONG Haiping1 LIU Yang2 YUAN Shiyue2
（1.School of Mechatronical Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing， 100081 China;2. Beijing Aerospace Propulsion Institute， Beijing， 100076 China）
Abstract： The igniter is an important part of launch vehicle power system. In order to solve the problem of high reliability evaluation， a reliability evaluation method of igniter based on Normal Allowable Limit Method is proposed. First， the ignition impulse and pressure peak are selected as the igniter output sensitive performance parameters， and then the W test method is proposed to test the normal distribution of the ignition impulse and pressure peak data. Finally， the ignition reliability and structure reliability of the igniter are given based on the normal allowable limit coefficient. This method is used to evaluate the reliability of an igniter. The evaluation result is that the ignition reliability and structure reliability of the igniter are estimated to be about 0.999999， with a confidence level of 0.95， the lower limit of ignition reliability is 0.999998 and the lower limit of structure reliability is 0.999999， which shows that the igniter has a high level of reliability， reaching the requirement of a lower limit of reliability of 0.9999 with a confidence level of 0.95. This method can provide reference for high reliability evaluation of other igniters with similar structure and function.
Key Words： Igniter; Reliability evaluation; Normal allowable limit method; Sensitive performance parameter
火藥点火器（下文简称点火器）是火箭发动机的重要组成部分，其功能是利用固体推进剂的燃烧火焰持续点燃液体发动机燃气发生器内工作介质，使燃气发生器进入稳定工作阶段，驱动发动机的涡轮泵。它能否正常工作直接关系到火箭发射任务的成败，因此对其可靠性要求很高。在实际发射任务中，点火器必须经过可靠性评估，确信点火器的可靠性水平达到了规定的要求，才能装配到火箭发动机上，执行火箭发射任务。
1 火工品可靠性评估方法研究现状分析
按《火工品可靠性评估方法》GJB 376-1987中的规定[1]，常用的火工品可靠性评估方法有两大类：一类是计数法，另一类是计量法。 计数法利用产品成败型数据，采用二项分布或超几何分布来评估，该方法简单、直观，但所需要的样本量大，对于要达到点火器的可靠性指标（置信度0.95，可靠度下限0.9999），即使采用超几何分布也远多于1000发，对点火器这种包含金属壳体、电点火器、点火药盒、推进剂等的复杂火工品来说，这么大的样本量，在工程中是无法承受的[2]。
另一类是计量法，即利用火工品试验所得的性能参数的计量信息，结合性能参数的上、下限值，采用正态容许限法对火工品的性能可靠性进行评估。计量法利用产品性能的计量型信息，与计数法比较而言，单发产品获得的可靠性信息更多，因此所需要的样本量比计数法要少得多，属于小样本可靠性评估。但计量法主要用来评估火工品输出可靠性，不能用来评估火工品的输入（发火）可靠性，只有当火工品输入可靠性保证在较高水平的情况下，才能采用计量法评估火工品输出可靠性以代替评估火工品可靠性。而且，计量法实施起来比计数法麻烦，首先它需要确定可测量的输出敏感性能参数，其次需要对计量数据进行正态分布检验，最后采用正态容许限法对火工品可靠性进行评估。
关于火工品可靠性小样本评估，许多科研工作者开展了研究工作，取得了不少成果。单聪明等提出计数与计量法相结合的Bayes可靠性验证方法，在很大程度上减少了试验样本量[3];冯蕴雯、张士峰等对小子样Bayes可靠性评定方法进行了改进，进一步减少了样本量;刘炳章等[4]提出“最大熵试验法”，初步解决了航天火工品高可靠性的小样本验证问题;董海平等引入信息理论，利用信息量等值原理建立火工品发火可靠性评估小样本方法[5-6]，比GJB 376规定的计数法极大地减少了样本量;程立等[7]提出基于感度分布均值，无需考虑感度标准差的火工品发火可靠性小样本评估方法，提高了小样本评估精度;董海平等采用加严试验的方法进行火工品发火可靠性评估，极大地降低了样本量。这些方法对小样本下火工品高可靠性验证和评估起到了很好的推动作用。
本型点火器的结构示意图如图1所示，该点火器包含金属壳体、两个并联的电点火器、点火药盒、推进剂、喷管、膜片等，由于该型点火器单件成本较高，平均年交付量较少，综合考虑生产周期、成本等因素，采用计数法来评估其可靠性，实施难度较大。另一方面，该点火器采用2个并联的电点火器的结构，保证了输入可靠性处于较高的水平，因此该点火器可靠性主要由其输出可靠性决定，因此可以采用计量法评估其输出性能可靠性代替评估点火器可靠性。本文在对点火器工作原理分析的基础上，提出把点火冲量和压力峰值作为输出敏感性能参数，通过点火试验获得点火冲量和压力峰值试验数据，并进行正态分布检验，然后采用正态容许限法对该点火器可靠性进行评估。
2 基于正态容许限法的点火器可靠性评估方法
2.1 敏感性能参数的确定
对点火器来说，推进剂正常点火的主要影响因素有：初温、压力、点火持续时间和燃烧流速。点火器壳体内压力对推进剂燃速影响显著，压力增大，推进剂燃速提高，进而直接影响发动机的内弹道性能。点火持续时间的增加可以使推进剂气相反应更加充分，同时延长固相区受热时间，使固相加热厚度增加，表层分解也更为充分，为推进剂自持燃烧提供足够的热量。在点火药量和环境温度一定的情况下，点火器壳体内气体压力和点火持续时间两者的综合作用直接影响推进剂能否正常点火和燃烧。另外，对大量点火器的压力-时间（P-t）曲线的统计分析，发现推进剂是否正常点火与点火阶段压力曲线与时间轴围成的积分面积有关，该积分面积越大，推进剂越容易点火。当该积分面积减小到某个下限值时，点火器的推进剂不能正常点火。根据上述的分析，考虑到压力和点火持续时间对点火过程的综合影响，本文把该积分面积定义为点火冲量，把它确定为表征点火器点火过程输出特性的敏感性能参量，点火冲量的定义示意图如图2所示。本文把以点火冲量为敏感性能参量的点火器可靠性评估称为点火可靠性评估。
点火器正常工作过程还必须考虑点火器点火过程的压力峰值必须在壳体强度允许的范围内，否则壳体会承受不了导致破坏，甚至引起爆炸。因此可以把压力峰值确定为保证点火器结构可靠的敏感性能参数，本文把以压力峰值为敏感性能参数的可靠性评估称为结构可靠性评估。
图2为点火器工作过程的P-t曲线图，点火冲量（点火阶段P-t曲线面积积分）和压力峰值（压力曲线对应的最高压力）的含义如图所示：
点火冲量I点火冲量综合了点火压力和点火时间两方面的因素，可用来表征点火器点火能力，其计算方法如下：
I点火冲量（1）
其中，为压力从峰值下降时出现的第一个凹坑点对应的时间，如图2所示。
2.2 正态分布检验
GJB376规定必须先对敏感性能参数进行正态分布检验，才能采用正态容许限法进行性能可靠性评估。正态分布检验方法有多种，如K-S检验法、W检验法、D检验法、A-D检验法等，不同的检验方法有不同的适用条件。考虑点火器各种试验条件下样本量较小的情况，本文选择W检验法[8]对点火冲量、压力峰值试验数据进行正态分布检验。
W检验属于非参数检验，与线性回归方法相同，检验其与回归曲线的残差，该方法在样本量较小时使用（样本容量3～50），专门用于检验数据是否服从正态分布。
假设H0：总体服从正态分布。
利用W检验法检验原假设H0的步骤如下：
（1）把n个样本观测值按由小到大的次序排列成：
（2）
（2）W检验法的检验统计量为
（3）
其中χ表示样本均值，可查表得到，表示数的整数部分，即
n为偶数（4）
n為奇数
（3）将n个样本数据代入检验统计量式子计算检验统计量W的值。
（4）根据给定的检验水平α和样本容量n查表得统计量W的α分位数。 （5）作出判断，若，则拒绝，即认为总体不服从正态分布;若，则不拒绝，接受总体服从正态分布。
2.3 试验数据统计计算公式
如果点火冲量和压力峰值试验数据通过了正态分布检验，则按式（5）、式（6）分别计算点火冲量和压力峰值的样本均值μ和样本标准差σ。
（5）
（6）
2.4 按正态容许限法评估点火器点火可靠性和结构可靠性
对输出敏感性能参数来说，产品技术指标一般要求单独满足下限或上限，或者同时满足下限和上限。只需要单独满足上限或下限的可靠性，称为单边可靠性;同时要求满足上限、下限的可靠性，称为双边可靠性[9-10]。当某产品性能参数试验数据经过正态分布检验后，可以采用如下正态容许限理论评估其单边可靠性或双边可靠性。
（1）若性能试验数据，其单边下限为L，则下侧单边可靠度为
（7）
（2）若其单边上限为U，则上侧单边可靠度为
（8）
（3）若其下限及上限分别为L及U，则其双边可靠度为
（9）
式（7）、式（8）和式（9）为性能可靠度点估计的评估模型，下面给出可靠度置信区间估计评估模型。
若允许下限为L，则为正态单边容许限系数。根据试验数n，系数K，置信水平γ，查正态单边容许限系数表GB4885-1985，并利用线性插值求出可靠度下限RL。也可以通过下式先计算出可靠度下限RL对应的XL，然后利用计算出可靠度下限RL[3]。
（10）
式中，n为试验样本量， ， ——参数为的伽玛函数，为标准正态分布函数，γ为置信水平，σ为样本标准差，h为积分变量。
若允许下限为L，上限为U，则及为正态双边容许限系数。根据试验数n，K1、K2，置信水平，查正态双边容许限系数表，并利用线性插值求出与 K1、K2对应的R1L、R2L，或利用式（10）分别求出R1L、R2L，再利用下式求得性能可靠度双边置信下限为
（11）
对于点火器点火可靠度来说，点火可靠度随着点火冲量的减小而降低，当点火冲量低于某个值时，点火器不能正常点火，因此点火冲量存在一个下限值，不存在上限值;对于结构可靠度来说，结构可靠度随着压力峰值的增加而降低，当压力峰值高于某个值时，会超出壳体承载范围，造成结构失效，因此压力峰值存在一个上限值，不存在下限值。因此，基于点火冲量的点火可靠性和基于压力峰值的结构可靠性都属于单边可靠性的情形。
3 某点火器点火可靠性和结构可靠性评估
3.1 获得点火冲量和压力峰值数据
根据点火器实际使用环境温度，一般在0℃～10℃左右，为了评估点火器在实际使用条件下的可靠性水平，选择在0℃进行点火试验，样本量为6发，根据测得的各发产品的P-t曲线图，采用ORIGIN软件对P-t曲线中的点火冲量进行积分计算，得到各发产品的点火冲量和压力峰值如表1所示。
3.2 点火冲量与压力峰值正态分布检验及统计计算
采用W检验法的样本量允许范围为3～50，本次试验样本量为6，在允许范围内，可以采用W检验法对该点火器的点火冲量和压力峰值进行正态分布检验，检验结果如表2所示。
表2表明点火冲量和压力峰值都通过了正态分布检验，可按式（5）和式（6）分别对点火冲量和压力峰值的均值和标准差进行计算，结果如表3所示。
3.3 点火器点火可靠性和结构可靠性评估
在评估点火可靠性时，需要先确定点火冲量的下限值。根据大量的试验数据分析结果和工程经验，确定点火冲量的下限值为MPa.s;经计算，在安全系数为1.7的前提下，点火器结构强度上限值为 。
按式（7）和式（8），代入点火冲量和压力峰值的均值和标准差，计算出点火R点火可靠度和结构可靠度R结构的点估计为：
然后根据正态单边容许限系数，或，分别代入点火冲量和压力峰值的均值和标准差，计算得到点火冲量的正态容许限系数，压力峰值的正态容许限系数。根据试验数量，系数K，置信水平，查GB/T 4885-1985正态单边容许限系数表，并利用线性插值分别求得该点火器点火可靠度下限，结构可靠度下限。
根据该可靠性评估结果，表明该点火器点火可靠性和结构可靠性在置信度为0.95的情况下，可靠度下限达到了0.9999以上，能够满足可靠性指标要求。该点火器在工程设计上通过较大的点火裕度和结构强度裕度保证其高可靠性水平，可靠性评估结果与工程实际相符。
4 结语
本文针对某型液体火箭发动机点火器可靠性的评估需求和产品特点，提出采用正态容许限法评估点火器可靠性。通过点火器工作原理的分析，选择点火冲量与压力峰值作为敏感性能参数，然后采用W检验法对点火冲量和压力峰值试验数据进行正态分布检验，最后根据正态容许限系数对点火器点火可靠性和结构可靠性进行了评估，验证了该点火器在置信水平0.95时，其可靠度下限达到0.9999以上，能满足实用要求。同时，本文方法也可为行业内其他小型固体火箭发动机可靠性评估提供借鉴。
参考文献
[1] 国防科工委.GJB376-1987火工品可靠性评估方法[S].北京：国防科工委军标出版发行部，1987.
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[3] 单聪明.多点非电起爆网络可靠性与环境试验研究[D].南京：南京理工大学，2018.
[4] 刘炳章，丁同才.小子样验证高可靠性的可靠性评估方法及其应用[J].质量与可靠性，2004（1）：19-22.
[5] 董海平，赵霞，蔡瑞娇.基于信息量等值的火工品可靠性评估小样本方法[J].兵工学报，2011，32（5）： 554-558.
[6] 董海平.加严条件下火工品高可靠性试验验证[J].北京理工大学学报，2013，3（3）：222-224.
[7] 程立，董海平，穆慧娜，等.基于感度分布均值的火工品发火可靠性小样本评估方法[J].兵工学报，2020，41（12）：2444-2450.
[8] Ahmad Afaq，Elchalakani Mohamed，Elmesalami Nouran. Reliability analysis of strength models for short-concrete columns under concentric loading with FRP rebars through Artificial Neural Network[J].Journal of Building Engineering，Volume 42， 2021：32-36.
[9] 官鹏，王峰.小型固体火箭发动机點火器试验研究[J].兵器装备工程学报，2018，39（8）：34-39.
[10] 张子骏，洪东跑，徐子健，等.多组件式机械分离装置可靠性试验与评估方法[J].兵器装备工程学报，2020，41（7）：49-52.
关键词：点火器 可靠性评估 正态容许限法 敏感性能参数
中图分类号：V444 文献标识码：A文章编号：1674-098X（2021）05（b）-005-05
Reliability Evaluation of Igniter Based on Normal Allowable Limit Method
DONG Haiping1 LIU Yang2 YUAN Shiyue2
（1.School of Mechatronical Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing， 100081 China;2. Beijing Aerospace Propulsion Institute， Beijing， 100076 China）
Abstract： The igniter is an important part of launch vehicle power system. In order to solve the problem of high reliability evaluation， a reliability evaluation method of igniter based on Normal Allowable Limit Method is proposed. First， the ignition impulse and pressure peak are selected as the igniter output sensitive performance parameters， and then the W test method is proposed to test the normal distribution of the ignition impulse and pressure peak data. Finally， the ignition reliability and structure reliability of the igniter are given based on the normal allowable limit coefficient. This method is used to evaluate the reliability of an igniter. The evaluation result is that the ignition reliability and structure reliability of the igniter are estimated to be about 0.999999， with a confidence level of 0.95， the lower limit of ignition reliability is 0.999998 and the lower limit of structure reliability is 0.999999， which shows that the igniter has a high level of reliability， reaching the requirement of a lower limit of reliability of 0.9999 with a confidence level of 0.95. This method can provide reference for high reliability evaluation of other igniters with similar structure and function.
Key Words： Igniter; Reliability evaluation; Normal allowable limit method; Sensitive performance parameter
火藥点火器（下文简称点火器）是火箭发动机的重要组成部分，其功能是利用固体推进剂的燃烧火焰持续点燃液体发动机燃气发生器内工作介质，使燃气发生器进入稳定工作阶段，驱动发动机的涡轮泵。它能否正常工作直接关系到火箭发射任务的成败，因此对其可靠性要求很高。在实际发射任务中，点火器必须经过可靠性评估，确信点火器的可靠性水平达到了规定的要求，才能装配到火箭发动机上，执行火箭发射任务。
1 火工品可靠性评估方法研究现状分析
按《火工品可靠性评估方法》GJB 376-1987中的规定[1]，常用的火工品可靠性评估方法有两大类：一类是计数法，另一类是计量法。 计数法利用产品成败型数据，采用二项分布或超几何分布来评估，该方法简单、直观，但所需要的样本量大，对于要达到点火器的可靠性指标（置信度0.95，可靠度下限0.9999），即使采用超几何分布也远多于1000发，对点火器这种包含金属壳体、电点火器、点火药盒、推进剂等的复杂火工品来说，这么大的样本量，在工程中是无法承受的[2]。
另一类是计量法，即利用火工品试验所得的性能参数的计量信息，结合性能参数的上、下限值，采用正态容许限法对火工品的性能可靠性进行评估。计量法利用产品性能的计量型信息，与计数法比较而言，单发产品获得的可靠性信息更多，因此所需要的样本量比计数法要少得多，属于小样本可靠性评估。但计量法主要用来评估火工品输出可靠性，不能用来评估火工品的输入（发火）可靠性，只有当火工品输入可靠性保证在较高水平的情况下，才能采用计量法评估火工品输出可靠性以代替评估火工品可靠性。而且，计量法实施起来比计数法麻烦，首先它需要确定可测量的输出敏感性能参数，其次需要对计量数据进行正态分布检验，最后采用正态容许限法对火工品可靠性进行评估。
关于火工品可靠性小样本评估，许多科研工作者开展了研究工作，取得了不少成果。单聪明等提出计数与计量法相结合的Bayes可靠性验证方法，在很大程度上减少了试验样本量[3];冯蕴雯、张士峰等对小子样Bayes可靠性评定方法进行了改进，进一步减少了样本量;刘炳章等[4]提出“最大熵试验法”，初步解决了航天火工品高可靠性的小样本验证问题;董海平等引入信息理论，利用信息量等值原理建立火工品发火可靠性评估小样本方法[5-6]，比GJB 376规定的计数法极大地减少了样本量;程立等[7]提出基于感度分布均值，无需考虑感度标准差的火工品发火可靠性小样本评估方法，提高了小样本评估精度;董海平等采用加严试验的方法进行火工品发火可靠性评估，极大地降低了样本量。这些方法对小样本下火工品高可靠性验证和评估起到了很好的推动作用。
本型点火器的结构示意图如图1所示，该点火器包含金属壳体、两个并联的电点火器、点火药盒、推进剂、喷管、膜片等，由于该型点火器单件成本较高，平均年交付量较少，综合考虑生产周期、成本等因素，采用计数法来评估其可靠性，实施难度较大。另一方面，该点火器采用2个并联的电点火器的结构，保证了输入可靠性处于较高的水平，因此该点火器可靠性主要由其输出可靠性决定，因此可以采用计量法评估其输出性能可靠性代替评估点火器可靠性。本文在对点火器工作原理分析的基础上，提出把点火冲量和压力峰值作为输出敏感性能参数，通过点火试验获得点火冲量和压力峰值试验数据，并进行正态分布检验，然后采用正态容许限法对该点火器可靠性进行评估。
2 基于正态容许限法的点火器可靠性评估方法
2.1 敏感性能参数的确定
对点火器来说，推进剂正常点火的主要影响因素有：初温、压力、点火持续时间和燃烧流速。点火器壳体内压力对推进剂燃速影响显著，压力增大，推进剂燃速提高，进而直接影响发动机的内弹道性能。点火持续时间的增加可以使推进剂气相反应更加充分，同时延长固相区受热时间，使固相加热厚度增加，表层分解也更为充分，为推进剂自持燃烧提供足够的热量。在点火药量和环境温度一定的情况下，点火器壳体内气体压力和点火持续时间两者的综合作用直接影响推进剂能否正常点火和燃烧。另外，对大量点火器的压力-时间（P-t）曲线的统计分析，发现推进剂是否正常点火与点火阶段压力曲线与时间轴围成的积分面积有关，该积分面积越大，推进剂越容易点火。当该积分面积减小到某个下限值时，点火器的推进剂不能正常点火。根据上述的分析，考虑到压力和点火持续时间对点火过程的综合影响，本文把该积分面积定义为点火冲量，把它确定为表征点火器点火过程输出特性的敏感性能参量，点火冲量的定义示意图如图2所示。本文把以点火冲量为敏感性能参量的点火器可靠性评估称为点火可靠性评估。
点火器正常工作过程还必须考虑点火器点火过程的压力峰值必须在壳体强度允许的范围内，否则壳体会承受不了导致破坏，甚至引起爆炸。因此可以把压力峰值确定为保证点火器结构可靠的敏感性能参数，本文把以压力峰值为敏感性能参数的可靠性评估称为结构可靠性评估。
图2为点火器工作过程的P-t曲线图，点火冲量（点火阶段P-t曲线面积积分）和压力峰值（压力曲线对应的最高压力）的含义如图所示：
点火冲量I点火冲量综合了点火压力和点火时间两方面的因素，可用来表征点火器点火能力，其计算方法如下：
I点火冲量（1）
其中，为压力从峰值下降时出现的第一个凹坑点对应的时间，如图2所示。
2.2 正态分布检验
GJB376规定必须先对敏感性能参数进行正态分布检验，才能采用正态容许限法进行性能可靠性评估。正态分布检验方法有多种，如K-S检验法、W检验法、D检验法、A-D检验法等，不同的检验方法有不同的适用条件。考虑点火器各种试验条件下样本量较小的情况，本文选择W检验法[8]对点火冲量、压力峰值试验数据进行正态分布检验。
W检验属于非参数检验，与线性回归方法相同，检验其与回归曲线的残差，该方法在样本量较小时使用（样本容量3～50），专门用于检验数据是否服从正态分布。
假设H0：总体服从正态分布。
利用W检验法检验原假设H0的步骤如下：
（1）把n个样本观测值按由小到大的次序排列成：
（2）
（2）W检验法的检验统计量为
（3）
其中χ表示样本均值，可查表得到，表示数的整数部分，即
n为偶数（4）
n為奇数
（3）将n个样本数据代入检验统计量式子计算检验统计量W的值。
（4）根据给定的检验水平α和样本容量n查表得统计量W的α分位数。 （5）作出判断，若，则拒绝，即认为总体不服从正态分布;若，则不拒绝，接受总体服从正态分布。
2.3 试验数据统计计算公式
如果点火冲量和压力峰值试验数据通过了正态分布检验，则按式（5）、式（6）分别计算点火冲量和压力峰值的样本均值μ和样本标准差σ。
（5）
（6）
2.4 按正态容许限法评估点火器点火可靠性和结构可靠性
对输出敏感性能参数来说，产品技术指标一般要求单独满足下限或上限，或者同时满足下限和上限。只需要单独满足上限或下限的可靠性，称为单边可靠性;同时要求满足上限、下限的可靠性，称为双边可靠性[9-10]。当某产品性能参数试验数据经过正态分布检验后，可以采用如下正态容许限理论评估其单边可靠性或双边可靠性。
（1）若性能试验数据，其单边下限为L，则下侧单边可靠度为
（7）
（2）若其单边上限为U，则上侧单边可靠度为
（8）
（3）若其下限及上限分别为L及U，则其双边可靠度为
（9）
式（7）、式（8）和式（9）为性能可靠度点估计的评估模型，下面给出可靠度置信区间估计评估模型。
若允许下限为L，则为正态单边容许限系数。根据试验数n，系数K，置信水平γ，查正态单边容许限系数表GB4885-1985，并利用线性插值求出可靠度下限RL。也可以通过下式先计算出可靠度下限RL对应的XL，然后利用计算出可靠度下限RL[3]。
（10）
式中，n为试验样本量， ， ——参数为的伽玛函数，为标准正态分布函数，γ为置信水平，σ为样本标准差，h为积分变量。
若允许下限为L，上限为U，则及为正态双边容许限系数。根据试验数n，K1、K2，置信水平，查正态双边容许限系数表，并利用线性插值求出与 K1、K2对应的R1L、R2L，或利用式（10）分别求出R1L、R2L，再利用下式求得性能可靠度双边置信下限为
（11）
对于点火器点火可靠度来说，点火可靠度随着点火冲量的减小而降低，当点火冲量低于某个值时，点火器不能正常点火，因此点火冲量存在一个下限值，不存在上限值;对于结构可靠度来说，结构可靠度随着压力峰值的增加而降低，当压力峰值高于某个值时，会超出壳体承载范围，造成结构失效，因此压力峰值存在一个上限值，不存在下限值。因此，基于点火冲量的点火可靠性和基于压力峰值的结构可靠性都属于单边可靠性的情形。
3 某点火器点火可靠性和结构可靠性评估
3.1 获得点火冲量和压力峰值数据
根据点火器实际使用环境温度，一般在0℃～10℃左右，为了评估点火器在实际使用条件下的可靠性水平，选择在0℃进行点火试验，样本量为6发，根据测得的各发产品的P-t曲线图，采用ORIGIN软件对P-t曲线中的点火冲量进行积分计算，得到各发产品的点火冲量和压力峰值如表1所示。
3.2 点火冲量与压力峰值正态分布检验及统计计算
采用W检验法的样本量允许范围为3～50，本次试验样本量为6，在允许范围内，可以采用W检验法对该点火器的点火冲量和压力峰值进行正态分布检验，检验结果如表2所示。
表2表明点火冲量和压力峰值都通过了正态分布检验，可按式（5）和式（6）分别对点火冲量和压力峰值的均值和标准差进行计算，结果如表3所示。
3.3 点火器点火可靠性和结构可靠性评估
在评估点火可靠性时，需要先确定点火冲量的下限值。根据大量的试验数据分析结果和工程经验，确定点火冲量的下限值为MPa.s;经计算，在安全系数为1.7的前提下，点火器结构强度上限值为 。
按式（7）和式（8），代入点火冲量和压力峰值的均值和标准差，计算出点火R点火可靠度和结构可靠度R结构的点估计为：
然后根据正态单边容许限系数，或，分别代入点火冲量和压力峰值的均值和标准差，计算得到点火冲量的正态容许限系数，压力峰值的正态容许限系数。根据试验数量，系数K，置信水平，查GB/T 4885-1985正态单边容许限系数表，并利用线性插值分别求得该点火器点火可靠度下限，结构可靠度下限。
根据该可靠性评估结果，表明该点火器点火可靠性和结构可靠性在置信度为0.95的情况下，可靠度下限达到了0.9999以上，能够满足可靠性指标要求。该点火器在工程设计上通过较大的点火裕度和结构强度裕度保证其高可靠性水平，可靠性评估结果与工程实际相符。
4 结语
本文针对某型液体火箭发动机点火器可靠性的评估需求和产品特点，提出采用正态容许限法评估点火器可靠性。通过点火器工作原理的分析，选择点火冲量与压力峰值作为敏感性能参数，然后采用W检验法对点火冲量和压力峰值试验数据进行正态分布检验，最后根据正态容许限系数对点火器点火可靠性和结构可靠性进行了评估，验证了该点火器在置信水平0.95时，其可靠度下限达到0.9999以上，能满足实用要求。同时，本文方法也可为行业内其他小型固体火箭发动机可靠性评估提供借鉴。
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