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人类的科学发现，社会的进步，是在人类不断苦苦探索，探求规律，总结规律，把握应用规律中进步。而数学作为重要的育人工具，在培养学生发现、探求、应用规律发挥着重要的作用。一般而言，它是经过对有限特殊的例子观察、猜想一般性的结论，再用这个结论去验证、证明，从而应用这个结论解决实际问题，这就是从特殊到一般地猜想归纳、综合总结，又从一般到特殊的应用演绎的过程。这一过程对培养学生能力至关重要。下面笔者就几个典型例题谈谈自己的心得。
例1，如图略由一些点组成的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n=2 n=3 n=4 n=5，n（n>1）个点，每个图形的总点数S是多少？当n=5，7、11时S是多少？
方法1、从特殊到一般，直接从数n猜想S。
先引导学生先列表：当n=2时，S=3当n=3时，S=6当n=4时，S=9当n=5时，S=12
…… ……
通过引导学生会发现3=3×2-3，6=3×3-3，9=3×4-3，12=3×4-3，……从而猜想S与n的关系S=3n-3，再去验证、应用。
方法2，用数形结合的数学方法。
教师可引导学生观察，如图是个三角形，每个三角形有三边，每条边上分别有2、3、4、5……个点，因此共有3×2，3×3，3×4，3×5，……而这样计算的话，重复记了三个点，因此最后都减去3，所以S=3n-3。
方法3、用函数的观点解答。
通过观察表1的数字，我们不难发现，当n值均等增加时，S值也依次均等增加一定的值（如后一项比前一项都增加3）因此，我们可以猜想，S与n成一次函数关系，可用待定系数法设S=kn+b（其中k、b为常数）可以求解。
例2（2009武汉14）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第一个图形有6个小圆、第2个图形有10个小圆、第三个图形有16个小圆、第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有____个小圆。
解决此题学生可以用例1中的第1、2种方法求解，对于用函数的观点来观察，我们发现当n=1时，m=6，当n=2时，m=10，当n=3时，m=16，当n=4时，m=24，可发现当n均等增长时，m值呈递加性增大，从而可以判定m与n成二次函数关系，用待定系数法设m=an2+bn+c（其中a、b为常数）可以求解。
例3如图，画3条射线，可得3个锐角，画4条不同射线，可得6个锐角，画3条不同的射线，可得10个锐角，……照此规律，画10条不同射线，可得锐角__________。
解决这类问题，需要有观察，猜想能力之外，还应有思考问题的策略。
策略1，我们可以用重复累计法，可以看出有n条射线时每条射线都能得到（n-1）个角，n条射线共有n（n-1），这样重复累计了，那么有个角。
策略2，我们也可用不重复计算法，通过观察我们发现对于第1条射线与其他射线组成（n-1）个角，第2条射线与其他组成（n-2）个角，最后一条射线与其他射线，只能形成1个角，所以总角的个数为n-1+ n-2+n-3+……+3+2+1，因此共有的角。其实策略1、策略2也是我们数学中经常用到的思想方法，需要学生掌握。
例4、已知an=（-1）n+1，当n=1时，a1=0，当n=2，a2=2，当n=3，a3=0，则a1+a2+a3+……+a2010的值。
解决这类问题仍然先列表，会发现它们是有周期循环出现的数值。
要让学生保持独立的持续探索的兴趣。
学习兴趣是一种学习的动机，是学习积极性中很现实很活跃的心理成分，它在学习中起着很重要的作用。苏霍姆林斯基说过：“课要上的有生趣，就要激发学生的情绪区，并且在学生的学习中运用知识时有所发现，力求使学生亲自去发现事物的本质和种种关系，使他们在发现中感到自己所有的进步，这就是兴趣，并作用于整个学习过程。”跨美纽斯说过：“燃起学生的求知欲望和学习热情这才能使学生积极探索、创新。”教学实践也证明，学生如果有对学习的好奇心，有求知的自信心，他们就会主动，心情愉快的学习。所以在数学教学中应注意挖掘教材的智力因素，凭借数学知识的“逻辑魅力”，保护学生的主体意识，审时度势，因势利导地激发学生的兴趣，创设良好的学习情境，在学习数学的过程中积极探索。
1.情感激趣 教师以积极进取的态度投入到学习活动中去，注重双边情感的交流，对思维过程给予肯定与热情的评价，从而“触及学生的情绪与意志领域，触及学生的精神需要，这种教学就会变得高度有效。”（赞可夫）。所以积极的情感可促进教与学的同频共振，促进情感共鸣，从而形成积极的教学移情，产生探索的心向。
2.情境激趣 学生在学习过程中通过努力获得成功后会表现出强烈的兴趣，所以在教学环节中教师可以把握有利时机，创造成功的情境
3.评价激趣 在教学中，教师如果能在教学语言，语速，语调和语气中幽默一些，对学生的答案、作业等学习成果给予富有情感和动力的评价，那么学生在学习过程中也可增强不少妙趣。在学习活动中渗透教与学的激情，从而教学双方积极参与，有效互动，诱导学生主动探索。
总之，引导学生探求规律、发现规律，是提高学生观察、猜想、归纳、验证、证明等能力的重要途径，正确地引导学生观察、思考，在解决问题中反思、积累，把学生的素质真正提高，是我们教育者特别数学教育者必须思考的问题。
例1，如图略由一些点组成的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n=2 n=3 n=4 n=5，n（n>1）个点，每个图形的总点数S是多少？当n=5，7、11时S是多少？
方法1、从特殊到一般，直接从数n猜想S。
先引导学生先列表：当n=2时，S=3当n=3时，S=6当n=4时，S=9当n=5时，S=12
…… ……
通过引导学生会发现3=3×2-3，6=3×3-3，9=3×4-3，12=3×4-3，……从而猜想S与n的关系S=3n-3，再去验证、应用。
方法2，用数形结合的数学方法。
教师可引导学生观察，如图是个三角形，每个三角形有三边，每条边上分别有2、3、4、5……个点，因此共有3×2，3×3，3×4，3×5，……而这样计算的话，重复记了三个点，因此最后都减去3，所以S=3n-3。
方法3、用函数的观点解答。
通过观察表1的数字，我们不难发现，当n值均等增加时，S值也依次均等增加一定的值（如后一项比前一项都增加3）因此，我们可以猜想，S与n成一次函数关系，可用待定系数法设S=kn+b（其中k、b为常数）可以求解。
例2（2009武汉14）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第一个图形有6个小圆、第2个图形有10个小圆、第三个图形有16个小圆、第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有____个小圆。
解决此题学生可以用例1中的第1、2种方法求解，对于用函数的观点来观察，我们发现当n=1时，m=6，当n=2时，m=10，当n=3时，m=16，当n=4时，m=24，可发现当n均等增长时，m值呈递加性增大，从而可以判定m与n成二次函数关系，用待定系数法设m=an2+bn+c（其中a、b为常数）可以求解。
例3如图，画3条射线，可得3个锐角，画4条不同射线，可得6个锐角，画3条不同的射线，可得10个锐角，……照此规律，画10条不同射线，可得锐角__________。
解决这类问题，需要有观察，猜想能力之外，还应有思考问题的策略。
策略1，我们可以用重复累计法，可以看出有n条射线时每条射线都能得到（n-1）个角，n条射线共有n（n-1），这样重复累计了，那么有个角。
策略2，我们也可用不重复计算法，通过观察我们发现对于第1条射线与其他射线组成（n-1）个角，第2条射线与其他组成（n-2）个角，最后一条射线与其他射线，只能形成1个角，所以总角的个数为n-1+ n-2+n-3+……+3+2+1，因此共有的角。其实策略1、策略2也是我们数学中经常用到的思想方法，需要学生掌握。
例4、已知an=（-1）n+1，当n=1时，a1=0，当n=2，a2=2，当n=3，a3=0，则a1+a2+a3+……+a2010的值。
解决这类问题仍然先列表，会发现它们是有周期循环出现的数值。
要让学生保持独立的持续探索的兴趣。
学习兴趣是一种学习的动机，是学习积极性中很现实很活跃的心理成分，它在学习中起着很重要的作用。苏霍姆林斯基说过：“课要上的有生趣，就要激发学生的情绪区，并且在学生的学习中运用知识时有所发现，力求使学生亲自去发现事物的本质和种种关系，使他们在发现中感到自己所有的进步，这就是兴趣，并作用于整个学习过程。”跨美纽斯说过：“燃起学生的求知欲望和学习热情这才能使学生积极探索、创新。”教学实践也证明，学生如果有对学习的好奇心，有求知的自信心，他们就会主动，心情愉快的学习。所以在数学教学中应注意挖掘教材的智力因素，凭借数学知识的“逻辑魅力”，保护学生的主体意识，审时度势，因势利导地激发学生的兴趣，创设良好的学习情境，在学习数学的过程中积极探索。
1.情感激趣 教师以积极进取的态度投入到学习活动中去，注重双边情感的交流，对思维过程给予肯定与热情的评价，从而“触及学生的情绪与意志领域，触及学生的精神需要，这种教学就会变得高度有效。”（赞可夫）。所以积极的情感可促进教与学的同频共振，促进情感共鸣，从而形成积极的教学移情，产生探索的心向。
2.情境激趣 学生在学习过程中通过努力获得成功后会表现出强烈的兴趣，所以在教学环节中教师可以把握有利时机，创造成功的情境
3.评价激趣 在教学中，教师如果能在教学语言，语速，语调和语气中幽默一些，对学生的答案、作业等学习成果给予富有情感和动力的评价，那么学生在学习过程中也可增强不少妙趣。在学习活动中渗透教与学的激情，从而教学双方积极参与，有效互动，诱导学生主动探索。
总之，引导学生探求规律、发现规律，是提高学生观察、猜想、归纳、验证、证明等能力的重要途径，正确地引导学生观察、思考，在解决问题中反思、积累，把学生的素质真正提高，是我们教育者特别数学教育者必须思考的问题。