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梯形与平行四边形一样也是特殊的四边形，但因为它只有一组对边平行，这与平行四边形相比，在辅助线的做法方面就有了较多的选择余地，在解决相关题目时，我们往往利用辅助线将其分割，从而构造出例如平行四边形、三角形等图形，进而研究问题. 因此解决梯形的问题时，既要考虑到它与平行四边形之间明显的不同，又要学会利用平行四边形去解决梯形中的相关问题. 而构造辅助线把梯形分割成平行四边形及其他的图形则是非常常见的方法，它在计算或证明有关边、角、对角线、面积等有关问题时起到举足轻重的作用. 本文就梯形问题中常见的辅助线方法向大家做以介绍.
方法一 做一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形
例１ 如图1，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｄ ＝ ２∠Ｂ，ＡＤ ＝ ａ，ＣＤ ＝ ｂ，求ＡＢ.
解 过点Ｃ做ＣＥ∥ＡD，交ＡＢ于点Ｅ.
∵ ＡＢ∥ＣＤ，ＣＥ∥ＡD，
∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形，
∴ ∠Ｄ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ ２∠Ｂ，ＡＤ ＝ ＥＣ ＝ ａ，ＤＣ ＝ ＡＥ ＝ ｂ．
∵ ∠ＡＥＣ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠ＥＣＢ，∴∠Ｂ ＝ ∠ＥＣＢ，∴ ＥＣ ＝ ＥＢ ＝ ａ.
∴ ＡＢ ＝ ＡＥ ＋ ＥＢ ＝ ａ ＋ ｂ.
这个题目是梯形中最常见的辅助线做法之一，尤其是等腰梯形，通过这个辅助线的做法可以得到一个等腰三角形和一个平行四边形，进而利用平行四边形及等腰三角形的相关知识解决问题，这也就成为了较普遍的一组辅助线做法，是要求学生必须掌握的.
经典练习题１ 等腰梯形的两底之差为１２ ｃｍ，高为６ ｃｍ，则其锐角为＿＿＿＿.
经典练习题２ 梯形的两底长分别为１６ ｃｍ和２４ ｃｍ，下底角分别是６０°和３０°，求较短的腰长.
方法二 作出梯形的高，构造直角三角形和矩形
例２ 如图2，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ ＝ ４5°，∠Ｃ ＝ 120°，ＡＢ ＝ ８，求ＣＤ的长.
解 过点Ａ，Ｃ分别作ＡＥ⊥ＢＣ，ＣＦ⊥ＡD，垂足分别为点Ｅ，Ｆ.
∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＡＥ⊥ＢＣ，ＣＦ⊥ＡD，
∴四边形ＡＥＣＦ为矩形，∴ ＡＥ＝ＣＦ.
这也是梯形中最常见的辅助线做法之一，利用两平行线间距离处处相等，就可以得到学生比较熟悉的一个矩形和两个直角三角形，而矩形和直角三角形的性质在初中教学中是比较具体的，学生掌握的也比较好，所以利用这种辅助线将梯形进行分割，进而解决问题也是常见的方法，也要求学生熟练掌握.
经典练习题3 如图3，等腰梯形ＡＢＣＤ中，AB∥DC，AD = DC = 10，∠DAB = 60°，求此梯形的面积.
经典练习题4 已知如图3，在四边形ＡＢＣＤ中，AD < BC，∠DBC = ∠ACB，AC = BD，求证：四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形．
方法三 过顶点做一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形
例３ 如图4，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ⊥ＢＤ，且ＡＣ ＝ ５ ｃｍ，ＢＤ ＝ １２ ｃｍ，求该梯形的中位线长.
解 过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延长线于点Ｅ.
∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＤＥ∥ＡＣ，
∴ 四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，∴ ＡＤ ＝ ＣＥ，ＤＥ ＝ ＡＣ ＝ ５ ｃｍ .
∵ ＡＣ⊥ＢＤ， ＤＥ∥ＡＣ，∴ＤＥ⊥ＢＤ.
在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＢＤ ＝ １２ ｃｍ，ＤＥ ＝ ５ ｃｍ.
∴ ＢＥ ＝ １３ ｃｍ，即ＣＥ ＋ ＢＣ ＝ １３ ｃｍ.
∴ ＡＤ ＋ ＢＣ ＝ １３ ｃｍ，∴ 这个梯形的中位线等于６．５ ｃｍ.
这种辅助线常见于梯形的两条对角线已经知道的情况下，尤其是对对角线互相垂直的梯形，通过这种辅助线则可以构造出一个直角三角形和一个平行四边形，相当于把一条对角线进行了平移，从而可以把两条对角线置于同一个直角三角形内，利用勾股定理则可以轻松求出第三条边长， 进而解决问题，这种辅助线因为对对角线互相垂直的题目应用相当方便，所以要让学生对此类问题形成规律性的理解和记忆. 经典练习题5 等腰梯形的对角线为１７，底边长为１０和２０，则梯形的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿.
经典练习题6 一个等腰梯形的对角线互相垂直，梯形的高为2cm，则梯形面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.
方法四 延长两腰交于一点，构造两个相似三角形
例４ 已知：如图5，在梯形ＡＢＣＤ中，AD∥BC，AD < BC，Ｅ，Ｆ分别是AD，ＢＣ的中点，且EF⊥BC． 求证：∠B = ∠C.
解 如图，分别延长ＢＡ，ＣＤ，相交于点Ｈ，由题意可知，ＡＢ与ＤＣ关于ＥＦ对称，则点Ｈ必在ＥＦ上，
∴ ＨＦ为ＢＣ的垂直平分线，
∴ ＨＢ ＝ ＨＣ，∴ ∠B = ∠C.
梯形中除了以上常见的几种辅助线做法外，还常用到以下辅助线：
① 连接上底的一端与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形，如图6.
② 构造平行四边形，如图7.
总之，数学是思维的体操，对学生的思维要求比较高. 在具体的教学过程中，教师一定要引导学生对上述方法灵活应用，万不可用一些固定的模式要求学生死记硬背. 所以以上各种方法仅是对教学过程中梯形相关问题的常规解决方法的一种探索，具体问题还需具体分析、具体解决.
方法一 做一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形
例１ 如图1，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｄ ＝ ２∠Ｂ，ＡＤ ＝ ａ，ＣＤ ＝ ｂ，求ＡＢ.
解 过点Ｃ做ＣＥ∥ＡD，交ＡＢ于点Ｅ.
∵ ＡＢ∥ＣＤ，ＣＥ∥ＡD，
∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形，
∴ ∠Ｄ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ ２∠Ｂ，ＡＤ ＝ ＥＣ ＝ ａ，ＤＣ ＝ ＡＥ ＝ ｂ．
∵ ∠ＡＥＣ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠ＥＣＢ，∴∠Ｂ ＝ ∠ＥＣＢ，∴ ＥＣ ＝ ＥＢ ＝ ａ.
∴ ＡＢ ＝ ＡＥ ＋ ＥＢ ＝ ａ ＋ ｂ.
这个题目是梯形中最常见的辅助线做法之一，尤其是等腰梯形，通过这个辅助线的做法可以得到一个等腰三角形和一个平行四边形，进而利用平行四边形及等腰三角形的相关知识解决问题，这也就成为了较普遍的一组辅助线做法，是要求学生必须掌握的.
经典练习题１ 等腰梯形的两底之差为１２ ｃｍ，高为６ ｃｍ，则其锐角为＿＿＿＿.
经典练习题２ 梯形的两底长分别为１６ ｃｍ和２４ ｃｍ，下底角分别是６０°和３０°，求较短的腰长.
方法二 作出梯形的高，构造直角三角形和矩形
例２ 如图2，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ ＝ ４5°，∠Ｃ ＝ 120°，ＡＢ ＝ ８，求ＣＤ的长.
解 过点Ａ，Ｃ分别作ＡＥ⊥ＢＣ，ＣＦ⊥ＡD，垂足分别为点Ｅ，Ｆ.
∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＡＥ⊥ＢＣ，ＣＦ⊥ＡD，
∴四边形ＡＥＣＦ为矩形，∴ ＡＥ＝ＣＦ.
这也是梯形中最常见的辅助线做法之一，利用两平行线间距离处处相等，就可以得到学生比较熟悉的一个矩形和两个直角三角形，而矩形和直角三角形的性质在初中教学中是比较具体的，学生掌握的也比较好，所以利用这种辅助线将梯形进行分割，进而解决问题也是常见的方法，也要求学生熟练掌握.
经典练习题3 如图3，等腰梯形ＡＢＣＤ中，AB∥DC，AD = DC = 10，∠DAB = 60°，求此梯形的面积.
经典练习题4 已知如图3，在四边形ＡＢＣＤ中，AD < BC，∠DBC = ∠ACB，AC = BD，求证：四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形．
方法三 过顶点做一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形
例３ 如图4，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ⊥ＢＤ，且ＡＣ ＝ ５ ｃｍ，ＢＤ ＝ １２ ｃｍ，求该梯形的中位线长.
解 过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延长线于点Ｅ.
∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＤＥ∥ＡＣ，
∴ 四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，∴ ＡＤ ＝ ＣＥ，ＤＥ ＝ ＡＣ ＝ ５ ｃｍ .
∵ ＡＣ⊥ＢＤ， ＤＥ∥ＡＣ，∴ＤＥ⊥ＢＤ.
在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＢＤ ＝ １２ ｃｍ，ＤＥ ＝ ５ ｃｍ.
∴ ＢＥ ＝ １３ ｃｍ，即ＣＥ ＋ ＢＣ ＝ １３ ｃｍ.
∴ ＡＤ ＋ ＢＣ ＝ １３ ｃｍ，∴ 这个梯形的中位线等于６．５ ｃｍ.
这种辅助线常见于梯形的两条对角线已经知道的情况下，尤其是对对角线互相垂直的梯形，通过这种辅助线则可以构造出一个直角三角形和一个平行四边形，相当于把一条对角线进行了平移，从而可以把两条对角线置于同一个直角三角形内，利用勾股定理则可以轻松求出第三条边长， 进而解决问题，这种辅助线因为对对角线互相垂直的题目应用相当方便，所以要让学生对此类问题形成规律性的理解和记忆. 经典练习题5 等腰梯形的对角线为１７，底边长为１０和２０，则梯形的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿.
经典练习题6 一个等腰梯形的对角线互相垂直，梯形的高为2cm，则梯形面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.
方法四 延长两腰交于一点，构造两个相似三角形
例４ 已知：如图5，在梯形ＡＢＣＤ中，AD∥BC，AD < BC，Ｅ，Ｆ分别是AD，ＢＣ的中点，且EF⊥BC． 求证：∠B = ∠C.
解 如图，分别延长ＢＡ，ＣＤ，相交于点Ｈ，由题意可知，ＡＢ与ＤＣ关于ＥＦ对称，则点Ｈ必在ＥＦ上，
∴ ＨＦ为ＢＣ的垂直平分线，
∴ ＨＢ ＝ ＨＣ，∴ ∠B = ∠C.
梯形中除了以上常见的几种辅助线做法外，还常用到以下辅助线：
① 连接上底的一端与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形，如图6.
② 构造平行四边形，如图7.
总之，数学是思维的体操，对学生的思维要求比较高. 在具体的教学过程中，教师一定要引导学生对上述方法灵活应用，万不可用一些固定的模式要求学生死记硬背. 所以以上各种方法仅是对教学过程中梯形相关问题的常规解决方法的一种探索，具体问题还需具体分析、具体解决.