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【摘要】职业类学校的学生的学习基础较普通高中的学生相去甚远，且对于学习没有兴趣，也无信心能学好数学.职业中学的数学课正处于学生不想学，教师就随便教的恶性循环中.本文以《复数的概念》这一节新课为例，探讨如何能使职业学校的数学课堂再有生机，提高职业学校数学课的有效性.
【关键词】复数的概念；课堂教学；教学有效性
职业类学校的学生的学习基础较普通高中的学生相去甚远，这是众所周知的.尤其是数学，许多学生正是由于数学成绩差，影响到中考的总分，被迫到职业学校学习.因此，在职业学校如何上好数学课，如何提高学生学习数学的兴趣，如何使学生在学习数学中有所得，这些问题一直都困扰着职业学校的数学教师.
目前，职业中学的数学课正处于学生不想学，教师就随便教的恶性循环中.数学学习的课堂就是老师一个人的课堂，学生没有积极参与思考，学生对学习数学采取的是一种抵制的态度.在期中、期末考试中，虽然试卷很简单，但学生的低分率很高，甚至出现了零分.
本文以《复数的概念》这一节新课为例，探讨如何能使职业学校的数学课堂再有生机，提高职业学校数学课的有效性.该节课是学校优质课评比中的一节内容，使用的教材为五年制高职《数学》第一册第六章第二节复数的概念.
1.复习回顾数的发展史（用时约为8分钟）
（课前让同学搜集整理资料并制作PPT）
第一组学生主要是从人类社会发展的生产生活需要来阐述数的发展史.
在人类社会初期，人们以结绳计数，绳结的个数、位置的不同表示不同的数，由此产生了自然数N.
古代生活中为了区别“收入和支出”“增加和减少”，出现了负数.自然数和负整数统称为整数.
中国是最早提出负数概念的国家，虽然无法断言负数概念在我国究竟是何时出现的，但至少在《九章算术》中已经正式提出了负数以及正负数运算.公元三世纪，我国古代最著名的数学家刘徽在注解《九章算术》时，正式给出了正负数的定义.
分数起源于分配问题和测量得不到整数的结果，分数和整数统称为有理数Q.
我国的《九章算术》是世界上最早系统讲述分数的著作，比欧洲早1400余年.在《九章算术》的“方田章”中，系统讲述了约分、通分、分数的四则运算、比较分数大小、求分数的平均数以及化带分数为假分数等方法.
由不可公度问题产生了无理数，有理数和无理数统称为实数.
古希腊的毕达哥拉斯学派的信条是：“万物皆数.”由于他们当时所认识的数只有整数和分数，因此他们虔诚地笃信：宇宙间的万事万物都能归结为整数或整数之比.但是，后来他们发现，有些线段之比，例如正方形的对角线与其边之比不能用整数之比来表示.不可公度线段的发现彻底动摇了毕达哥拉斯学派赖以生存的哲学信条，并引起恐慌.据说毕达哥拉斯学派的一名成员希帕苏斯由于透露不可公度量而遭到杀身之祸.无理数产生引起了数学的第一次危机.
由此可见，数的发展离不开人们的生活，数学与生活密切联系.数的发展也是一个漫长而曲折的过程.
另一组学生从方程的角度说数的发展.
学生：（从方程的角度来阐述）
方程x-2=1在自然数集N中有解，为x=3.
方程x+6=0在自然数集中无解，因此引入负数，将数集扩充成整数集Z，该方程有解为x=-6.
方程5x=1在整数集中无解，因此引入分数，将数集扩充成有理数集Q，该方程有解为x=15.
方程x2=50在有理数集中无解，因此引入无理数，将数集扩充成实数集R，该方程有解为x=52.
由此可见，数集的发展与方程的解密切相关，数集的扩充使得原本无解的方程在新扩充后的数集中都能找到相应的解.
2.给出问题引入新课
（简述“虚数的由来”，时间约8分钟）
N负数Z分数Q无理数R？
数的发展在实数集就停下脚步了吗？方程x2=-1没有实数解，是否有新的数集产生使得方程有解呢？
我们知道负实数不可以开方.第一个勇敢地对负数施行开方运算的数学家是卡尔丹.他于1545年在求解“把10分成两部分，使其乘积为40”的问题时，即求解方程x2-10x+40=0的根时，断然将10分为5+-15和5--15，并说“不管会受到多大的良心责备”，这两个式子毕竟是满足问题要求的.这里，卡尔丹不但首次提出了负数的平方根概念，而且最早给出了它的一种表示方法和一些运算方法.然而，他只能形式地这样做，并没有认识到这是一种新的数，而且囿于传统观念，卡尔丹称负数的平方根为“诡辩量”，并怀疑其运算的合法性.欧拉于1777年首次用i表示-1，其中i为infinitus（无穷大）第一个字母（因为欧拉早期用i表示无穷大量），这种用法后来为高斯进一步采用.从卡尔丹到欧拉虚数经历了两百多年.引入虚数单位i后负数可以开方，-15=15×-1=15i，并由此产生了一类新的数，称为虚数.实数与虚数统称为复数，复数集用C表示.
复数概念的最终形成标志着人们关于数概念的认识已进入一个相对比较完善的阶段.
N负数Z分数Q无理数R虚数复数C
3.新课讲解尝试指导（用时约8分钟）
教师：虚数单位i的性质
性质1：i2=-1.
性质2：i与实数在一起，可以按照实数的四则运算法则进行运算，原有的加法、乘法运算律仍成立.
教师请同学们列举一些实数.如-2,35，π，-3，0，04，根据虚数单位i的性质2“i与实数在一起，可以按照实数的四则运算法则进行运算”，可以得-2i,-2+i,35i,π-i,πi,-3i,0i,04i,04+2i等数（0乘以任何数仍然为0，因此0×i=0，0属于实数）.这些数中都含有虚数单位i.我们把这些含有虚数单位i的数称为虚数，将虚数进一步分类，并说明分类的依据.
-2i,35i，πi，-3i,04i为一类，都是实数与虚数单位i的乘积；-2+i,π-i,04+2i为另一类，是实数与虚数单位进行加减运算所得.
设实数b，由性质2，将i与实数b相乘得到bi.特别的，当b=0时，即0•i=0∈R；当b≠0时，称数bi为纯虚数.将纯虚数bi与实数a(a≠0)相加得a+bi(a≠0，b≠0)，a+bi称为非纯虚数.纯虚数和非纯虚数统称为虚数.
（小结）
虚数的定义：形如a+bi(b≠0)的数称为虚数，虚数可以分为纯虚数和非纯虚数.
虚数a+bi(b≠0)非纯虚数：a+bi(a≠0，b≠0)纯虚数：bi(a=0，b≠0)
实数也可以用a+bi的形式表示，条件为b=0.所以形如a+bi的数可以表示实数，也可以表示虚数.
复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.复数可以分为实数和虚数.
复数a+bi(a,b∈R).
实数：a+bi(b=0)虚数：a+bi(b≠0)非纯虚数：a+bi(a≠0，b≠0)纯虚数：bi(a=0，b≠0)
3.例题讲解巩固概念（用时约为18分钟）
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，哪些是复数.
2+3i，-3+12i，-13i，（-3-5）i，-2i+3.14，0，9，i2，1i.
（学生口答，答案略）
例2 已知复数a+bi(a，b∈R)，请将下列数（数集）与其所对应的条件用直线连接起来.
变式练习：
实数m取何值时，复数z=m2+3m+2+(m2-m-2)i是：(1)纯虚数；(2)零？
思考 若是将题目改为：“m取何值时，复数z=m+1+(m-1)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？”其解答过程是否与例3一致？
4.课堂小结(用时约为3分钟)
目前，我们学习的最大数集就是复数集，复数都可以用a+bi(a，b∈R)的形式表示.重点掌握复数的分类并正确说出它们的条件.一开始数学家们对复数的认识也是持怀疑态度，但随着科学技术的发展，虚数的应用也随之广泛，学生可以再收集一些虚数应用的实例，“虚数不虚”已被事实证明.
5.课后作业（略）
【参考文献】
［1］顾浩.五年制高等职业教育教材数学（第一册）［M］.苏州：苏州大学出版社，1998，149-169.
［2］张楠.对数学史与数学教育的思考［J］.数学教育学报，2006年8月第15卷第3期：72-75.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】复数的概念；课堂教学；教学有效性
职业类学校的学生的学习基础较普通高中的学生相去甚远，这是众所周知的.尤其是数学，许多学生正是由于数学成绩差，影响到中考的总分，被迫到职业学校学习.因此，在职业学校如何上好数学课，如何提高学生学习数学的兴趣，如何使学生在学习数学中有所得，这些问题一直都困扰着职业学校的数学教师.
目前，职业中学的数学课正处于学生不想学，教师就随便教的恶性循环中.数学学习的课堂就是老师一个人的课堂，学生没有积极参与思考，学生对学习数学采取的是一种抵制的态度.在期中、期末考试中，虽然试卷很简单，但学生的低分率很高，甚至出现了零分.
本文以《复数的概念》这一节新课为例，探讨如何能使职业学校的数学课堂再有生机，提高职业学校数学课的有效性.该节课是学校优质课评比中的一节内容，使用的教材为五年制高职《数学》第一册第六章第二节复数的概念.
1.复习回顾数的发展史（用时约为8分钟）
（课前让同学搜集整理资料并制作PPT）
第一组学生主要是从人类社会发展的生产生活需要来阐述数的发展史.
在人类社会初期，人们以结绳计数，绳结的个数、位置的不同表示不同的数，由此产生了自然数N.
古代生活中为了区别“收入和支出”“增加和减少”，出现了负数.自然数和负整数统称为整数.
中国是最早提出负数概念的国家，虽然无法断言负数概念在我国究竟是何时出现的，但至少在《九章算术》中已经正式提出了负数以及正负数运算.公元三世纪，我国古代最著名的数学家刘徽在注解《九章算术》时，正式给出了正负数的定义.
分数起源于分配问题和测量得不到整数的结果，分数和整数统称为有理数Q.
我国的《九章算术》是世界上最早系统讲述分数的著作，比欧洲早1400余年.在《九章算术》的“方田章”中，系统讲述了约分、通分、分数的四则运算、比较分数大小、求分数的平均数以及化带分数为假分数等方法.
由不可公度问题产生了无理数，有理数和无理数统称为实数.
古希腊的毕达哥拉斯学派的信条是：“万物皆数.”由于他们当时所认识的数只有整数和分数，因此他们虔诚地笃信：宇宙间的万事万物都能归结为整数或整数之比.但是，后来他们发现，有些线段之比，例如正方形的对角线与其边之比不能用整数之比来表示.不可公度线段的发现彻底动摇了毕达哥拉斯学派赖以生存的哲学信条，并引起恐慌.据说毕达哥拉斯学派的一名成员希帕苏斯由于透露不可公度量而遭到杀身之祸.无理数产生引起了数学的第一次危机.
由此可见，数的发展离不开人们的生活，数学与生活密切联系.数的发展也是一个漫长而曲折的过程.
另一组学生从方程的角度说数的发展.
学生：（从方程的角度来阐述）
方程x-2=1在自然数集N中有解，为x=3.
方程x+6=0在自然数集中无解，因此引入负数，将数集扩充成整数集Z，该方程有解为x=-6.
方程5x=1在整数集中无解，因此引入分数，将数集扩充成有理数集Q，该方程有解为x=15.
方程x2=50在有理数集中无解，因此引入无理数，将数集扩充成实数集R，该方程有解为x=52.
由此可见，数集的发展与方程的解密切相关，数集的扩充使得原本无解的方程在新扩充后的数集中都能找到相应的解.
2.给出问题引入新课
（简述“虚数的由来”，时间约8分钟）
N负数Z分数Q无理数R？
数的发展在实数集就停下脚步了吗？方程x2=-1没有实数解，是否有新的数集产生使得方程有解呢？
我们知道负实数不可以开方.第一个勇敢地对负数施行开方运算的数学家是卡尔丹.他于1545年在求解“把10分成两部分，使其乘积为40”的问题时，即求解方程x2-10x+40=0的根时，断然将10分为5+-15和5--15，并说“不管会受到多大的良心责备”，这两个式子毕竟是满足问题要求的.这里，卡尔丹不但首次提出了负数的平方根概念，而且最早给出了它的一种表示方法和一些运算方法.然而，他只能形式地这样做，并没有认识到这是一种新的数，而且囿于传统观念，卡尔丹称负数的平方根为“诡辩量”，并怀疑其运算的合法性.欧拉于1777年首次用i表示-1，其中i为infinitus（无穷大）第一个字母（因为欧拉早期用i表示无穷大量），这种用法后来为高斯进一步采用.从卡尔丹到欧拉虚数经历了两百多年.引入虚数单位i后负数可以开方，-15=15×-1=15i，并由此产生了一类新的数，称为虚数.实数与虚数统称为复数，复数集用C表示.
复数概念的最终形成标志着人们关于数概念的认识已进入一个相对比较完善的阶段.
N负数Z分数Q无理数R虚数复数C
3.新课讲解尝试指导（用时约8分钟）
教师：虚数单位i的性质
性质1：i2=-1.
性质2：i与实数在一起，可以按照实数的四则运算法则进行运算，原有的加法、乘法运算律仍成立.
教师请同学们列举一些实数.如-2,35，π，-3，0，04，根据虚数单位i的性质2“i与实数在一起，可以按照实数的四则运算法则进行运算”，可以得-2i,-2+i,35i,π-i,πi,-3i,0i,04i,04+2i等数（0乘以任何数仍然为0，因此0×i=0，0属于实数）.这些数中都含有虚数单位i.我们把这些含有虚数单位i的数称为虚数，将虚数进一步分类，并说明分类的依据.
-2i,35i，πi，-3i,04i为一类，都是实数与虚数单位i的乘积；-2+i,π-i,04+2i为另一类，是实数与虚数单位进行加减运算所得.
设实数b，由性质2，将i与实数b相乘得到bi.特别的，当b=0时，即0•i=0∈R；当b≠0时，称数bi为纯虚数.将纯虚数bi与实数a(a≠0)相加得a+bi(a≠0，b≠0)，a+bi称为非纯虚数.纯虚数和非纯虚数统称为虚数.
（小结）
虚数的定义：形如a+bi(b≠0)的数称为虚数，虚数可以分为纯虚数和非纯虚数.
虚数a+bi(b≠0)非纯虚数：a+bi(a≠0，b≠0)纯虚数：bi(a=0，b≠0)
实数也可以用a+bi的形式表示，条件为b=0.所以形如a+bi的数可以表示实数，也可以表示虚数.
复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.复数可以分为实数和虚数.
复数a+bi(a,b∈R).
实数：a+bi(b=0)虚数：a+bi(b≠0)非纯虚数：a+bi(a≠0，b≠0)纯虚数：bi(a=0，b≠0)
3.例题讲解巩固概念（用时约为18分钟）
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，哪些是复数.
2+3i，-3+12i，-13i，（-3-5）i，-2i+3.14，0，9，i2，1i.
（学生口答，答案略）
例2 已知复数a+bi(a，b∈R)，请将下列数（数集）与其所对应的条件用直线连接起来.
变式练习：
实数m取何值时，复数z=m2+3m+2+(m2-m-2)i是：(1)纯虚数；(2)零？
思考 若是将题目改为：“m取何值时，复数z=m+1+(m-1)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？”其解答过程是否与例3一致？
4.课堂小结(用时约为3分钟)
目前，我们学习的最大数集就是复数集，复数都可以用a+bi(a，b∈R)的形式表示.重点掌握复数的分类并正确说出它们的条件.一开始数学家们对复数的认识也是持怀疑态度，但随着科学技术的发展，虚数的应用也随之广泛，学生可以再收集一些虚数应用的实例，“虚数不虚”已被事实证明.
5.课后作业（略）
【参考文献】
［1］顾浩.五年制高等职业教育教材数学（第一册）［M］.苏州：苏州大学出版社，1998，149-169.
［2］张楠.对数学史与数学教育的思考［J］.数学教育学报，2006年8月第15卷第3期：72-75.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文