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摘 要： 考虑了一类线性Volterra积分-微分方程（VIDEs）的多区间泰勒配置解法，其主要技术是将求解线性VIDEs转化为求解线性代数方程组. 该方法的优点是易于实现，适用于长时间的计算.采用基于残差函数的误差分析法分析了方法的误差，通过算例验证了所提出方法的适用性和有效性.
关键词： 线性Volterra积分-微分方程（VIDEs）; 泰勒配置方法; 多区间; 近似解
中图分类号： O 241 文献标志码： A 文章编号： 1000-5137（2021）01-0008-06
Abstract： In this paper，we consider a multiple interval Taylor collocation method for a class of linear Volterra integro-differential equations （VIDEs）. The main technique is to reduce the linear Volterra integro-differential equations （VIDEs） to a linear algebraic system. The advantage of this method is that it is easy to implement and suitable for long-time calculation. And we analyze the error of the method based on residual function. Finally，the applicability and effectiveness of the method are verified by an example.
Key words： linear Volterra integro-differential equations（VIDEs）; Taylor collocation method; multiple interval; approximation solution
0 引 言
积分-微分方程在物理和工程问题中都有许多应用，例如一维黏弹性问题、建立电子束器件场理论模型等 [1].此外，一些涉及具有记忆的材料的现象可用Volterra积分-微分方程的边值问题来描述[2].
通常方程（1）的精确解是不易获得的，因此，研究方程（1）的近似解十分必要.近几十年来，各种数值方法被用来分析一阶Volterra积分-微分方程.例如：BRUNNER[3]研究了Volterra积分-微分方程数值解的高阶方法，且采用多项式样条配置法分析了具有无界延迟的Volterra积分-微分方程和非线性Volterra积分-微分方程[4].YI[5-7]采用了连续Petrov-Galerkin方法研究了具有光滑和非光滑核的一阶Volterra积分-微分方程.此外，研究Volterra积分-微分方程的数值方法还有Euler法[8]、Runge-Kutta法[9]、线性多步法[10-11]和Galerkin法[12-13]等.
在近似计算中，泰勒配置法是一种简单又十分有效的方法，被广泛应用于求解各类微分、积分方程.例如：GOKMEN等[14]采用泰勒配置法研究了延迟捕食-被捕食系统的数值解.WANG等[15]采用泰勒配置法分析了Volterra-Fredhdm积分-方程的数值解，并分析了该方法的收敛性.
基于上述讨论，本研究的主要目的是用多区间泰勒配置法求解一类线性Volterra积分-微分方程的近似解.多区间泰勒配置法的优点是易于实现，适用于长时间计算.
1 算子矩阵
5 结论
本文作者提出了一种求解一类线性Volterra积分-微分方程（VIDEs）的多区间泰勒配置法，该法运用残差修正技术对近似解的精度进行检验.数值实验结果表明：多区间泰勒配置法是一种十分有效的计算方法，且算法簡单.同时该法可以有效地应用于各种类似问题，例如高阶微积分方程和Volterra积分方程等.
参考文献：
[1] BURTON T A.Volterra Integral and Differential Equations [M].New York：Academic Press，1983.
[2] AGARWAL R P，O’REGAN D.Integral and Integro-Differential Equations：Theory，Methods and Applications [M].Amsterdam：Gordon and Breach，2000，2.
[3] BRUNNER H.High-order methods for the numerical solution of Volterra integro-differential equations [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，1986，15（3）：301-309.
[4] BRUNNER H.Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations [M].Cambridge：Cambridge University Press，2004.
[5] YI L J.An h-p version of the continuous Petrov-Galerkin finite element method for nonlinear Volterra integro-differential equations [J].Journal of Scientific Computing，2015，65：715-734. [6] YI L J，GUO B Q.An h-p Petrov-Galerkin finite element method for linear Volterra integro-differential equations [J].Science China Mathematics，2014，57：2285-2300.
[7] YI L J，GUO B Q.An h-p version of the continuous Petrov-Galerkin finite element method for Volterra integro-differential equations with smooth and nonsmooth kernels [J].SIAM Journal on Numerial Analysis，2015，53：2677-2704.
[8] XU D.On the discretization in time for a parabolic integro-differential equation with a weakly singular kernel（Ⅰ）：smooth initial data [J].Applied Mathematics and Computation，1993，58：1-27.
[9] BRUNNER H.Implicit Runge-Kutta methods of optimal order for Volterra integro-differential equations [J].Mathematics of Computation，1984，42：95-109.
[10] BAKKE V L，JACKIEWICZ Z.Stability of numerical methods for Volterra integro-differential equations of convolution type [J].Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik，1988，68：89-100.
[11] BAKKE V L，JACKIEWICZ Z.Stability analysis of multilag and modified multilag methods for Volterra integro-differential equations [J].SIAM Journal on Numerial Analysis，1992，12：243-257.
[12] LIN T，LIN Y P，RAO M，et al.Petrov-Galerkin methods for linear Volterra integro-differential equations [J].SIAM Journal on Numerial Analysis，2000，38：937-963.
[13] MUSTAPHA K.A superconvergent discontinuous Galerkin method for Volterra integro-differential equations，smooth and non-smooth kernels [J].Mathematics of Computation，2013，82：1987-2005.
[14] GOKMEN E，ISIK O R，SEZER M.Taylor collocation approach for delayed Lotka-Volterra predatora-prey system [J].Applied Mathematics and Computation，2015，268：671-684.
[15] WANG K Y，WANG Q S.Taylor collocation method and convergence analysis for the Volterra-Fredholm integral equations [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，260：294-300.
[16] MAHMOUD J P，RAHIMI-ARDABILI M Y，SHAHMORAD S.Numerical solution of the system of Fredholm integro-differantial equations by the τ method [J].Applied Mathematics and Computation，2005，168：465-478.
[17] SHAHMORAD S.Numerical solution of general form linear Fredholm-Volterra integro-differantial equations by the τ method with an error estimation [J].Applied Mathematics and Computation，2005，167（2）：1418-1429.
[18] ?ELIK I.Collacation method and residual correction using Chebyshev series [J].Applied Mathematics and Computation，2006，174：910-920.
[19] OLIVEIRA F A.Collacation and residual correction [J].Numerische Mathematik，1980，36：27-31.
（責任编辑：冯珍珍）
关键词： 线性Volterra积分-微分方程（VIDEs）; 泰勒配置方法; 多区间; 近似解
中图分类号： O 241 文献标志码： A 文章编号： 1000-5137（2021）01-0008-06
Abstract： In this paper，we consider a multiple interval Taylor collocation method for a class of linear Volterra integro-differential equations （VIDEs）. The main technique is to reduce the linear Volterra integro-differential equations （VIDEs） to a linear algebraic system. The advantage of this method is that it is easy to implement and suitable for long-time calculation. And we analyze the error of the method based on residual function. Finally，the applicability and effectiveness of the method are verified by an example.
Key words： linear Volterra integro-differential equations（VIDEs）; Taylor collocation method; multiple interval; approximation solution
0 引 言
积分-微分方程在物理和工程问题中都有许多应用，例如一维黏弹性问题、建立电子束器件场理论模型等 [1].此外，一些涉及具有记忆的材料的现象可用Volterra积分-微分方程的边值问题来描述[2].
通常方程（1）的精确解是不易获得的，因此，研究方程（1）的近似解十分必要.近几十年来，各种数值方法被用来分析一阶Volterra积分-微分方程.例如：BRUNNER[3]研究了Volterra积分-微分方程数值解的高阶方法，且采用多项式样条配置法分析了具有无界延迟的Volterra积分-微分方程和非线性Volterra积分-微分方程[4].YI[5-7]采用了连续Petrov-Galerkin方法研究了具有光滑和非光滑核的一阶Volterra积分-微分方程.此外，研究Volterra积分-微分方程的数值方法还有Euler法[8]、Runge-Kutta法[9]、线性多步法[10-11]和Galerkin法[12-13]等.
在近似计算中，泰勒配置法是一种简单又十分有效的方法，被广泛应用于求解各类微分、积分方程.例如：GOKMEN等[14]采用泰勒配置法研究了延迟捕食-被捕食系统的数值解.WANG等[15]采用泰勒配置法分析了Volterra-Fredhdm积分-方程的数值解，并分析了该方法的收敛性.
基于上述讨论，本研究的主要目的是用多区间泰勒配置法求解一类线性Volterra积分-微分方程的近似解.多区间泰勒配置法的优点是易于实现，适用于长时间计算.
1 算子矩阵
5 结论
本文作者提出了一种求解一类线性Volterra积分-微分方程（VIDEs）的多区间泰勒配置法，该法运用残差修正技术对近似解的精度进行检验.数值实验结果表明：多区间泰勒配置法是一种十分有效的计算方法，且算法簡单.同时该法可以有效地应用于各种类似问题，例如高阶微积分方程和Volterra积分方程等.
参考文献：
[1] BURTON T A.Volterra Integral and Differential Equations [M].New York：Academic Press，1983.
[2] AGARWAL R P，O’REGAN D.Integral and Integro-Differential Equations：Theory，Methods and Applications [M].Amsterdam：Gordon and Breach，2000，2.
[3] BRUNNER H.High-order methods for the numerical solution of Volterra integro-differential equations [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，1986，15（3）：301-309.
[4] BRUNNER H.Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations [M].Cambridge：Cambridge University Press，2004.
[5] YI L J.An h-p version of the continuous Petrov-Galerkin finite element method for nonlinear Volterra integro-differential equations [J].Journal of Scientific Computing，2015，65：715-734. [6] YI L J，GUO B Q.An h-p Petrov-Galerkin finite element method for linear Volterra integro-differential equations [J].Science China Mathematics，2014，57：2285-2300.
[7] YI L J，GUO B Q.An h-p version of the continuous Petrov-Galerkin finite element method for Volterra integro-differential equations with smooth and nonsmooth kernels [J].SIAM Journal on Numerial Analysis，2015，53：2677-2704.
[8] XU D.On the discretization in time for a parabolic integro-differential equation with a weakly singular kernel（Ⅰ）：smooth initial data [J].Applied Mathematics and Computation，1993，58：1-27.
[9] BRUNNER H.Implicit Runge-Kutta methods of optimal order for Volterra integro-differential equations [J].Mathematics of Computation，1984，42：95-109.
[10] BAKKE V L，JACKIEWICZ Z.Stability of numerical methods for Volterra integro-differential equations of convolution type [J].Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik，1988，68：89-100.
[11] BAKKE V L，JACKIEWICZ Z.Stability analysis of multilag and modified multilag methods for Volterra integro-differential equations [J].SIAM Journal on Numerial Analysis，1992，12：243-257.
[12] LIN T，LIN Y P，RAO M，et al.Petrov-Galerkin methods for linear Volterra integro-differential equations [J].SIAM Journal on Numerial Analysis，2000，38：937-963.
[13] MUSTAPHA K.A superconvergent discontinuous Galerkin method for Volterra integro-differential equations，smooth and non-smooth kernels [J].Mathematics of Computation，2013，82：1987-2005.
[14] GOKMEN E，ISIK O R，SEZER M.Taylor collocation approach for delayed Lotka-Volterra predatora-prey system [J].Applied Mathematics and Computation，2015，268：671-684.
[15] WANG K Y，WANG Q S.Taylor collocation method and convergence analysis for the Volterra-Fredholm integral equations [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，260：294-300.
[16] MAHMOUD J P，RAHIMI-ARDABILI M Y，SHAHMORAD S.Numerical solution of the system of Fredholm integro-differantial equations by the τ method [J].Applied Mathematics and Computation，2005，168：465-478.
[17] SHAHMORAD S.Numerical solution of general form linear Fredholm-Volterra integro-differantial equations by the τ method with an error estimation [J].Applied Mathematics and Computation，2005，167（2）：1418-1429.
[18] ?ELIK I.Collacation method and residual correction using Chebyshev series [J].Applied Mathematics and Computation，2006，174：910-920.
[19] OLIVEIRA F A.Collacation and residual correction [J].Numerische Mathematik，1980，36：27-31.
（責任编辑：冯珍珍）