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摘要:在数学教学中渗透数学建模思想,有利于提高学生的实践能力,激发学生学习数学的积极性,从而提高学生的自身素质和数学素养. 本文阐述了在新课程下数学建模的现实意义以及数学建模的培养方法.
关键词:数学;建模;模型;培养
数学新课标指出:初中阶段的教学应结合具体的数学内容,采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解和掌握数学知识. 数学建模,一是数学学习的要求,二是数学知识与技能的体现,是应用——拓展的前提. 所以,初中数学教学应特别重视学生建模能力的培养.
■数学建模的案例
例1(2008山东青岛)某学校共有18个教学班,每班的学生人数都是40人. 为了解学生课余时间上网情况,学校打算作一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全校最少需抽取多少名学生?
建立模型为解决上面的实际问题,我们先建立并研究下面“从口袋中摸球”的数学模型.
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个同色,则最少须摸出多少个小球?
为了找到解决问题的办法,我们可以把上述问题简单化:
(1)首先考虑最简单的情况:要确保从口袋中摸出的小球至少有两个同色,则最少须摸出多少个小球.
假若从袋中随机摸出3个小球,它们的颜色可能会出现多种情况,其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同,那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有两个小球同色,即最少须摸出小球的个数是1 3=4(如图1).
需要注意的是:数学建模的问题往往不是一个单纯的数学问题,它涉及其他学科知识以及生活知识. 数学建模的过程是一个多学科的合作过程,它促使学生把从各门课程中学到的知识加以融会贯通,促使学生根据需要查阅资料、获取知识,促使学生围绕问题收集信息,深化对问题的了解,并在此基础上解决问题. 数学建模还可以培养学生推演、探索、猜想、计算以及使用计算器、计算机等的能力.
■数学建模解题的几点要求
1. 理解实质,注意变式. 抓住模型的组成结构、性质、特征,摒除本质以外的东西,特别要掌握几何中大量的基本定理、公式模型.
2. 加强比较,注重联系. 条件或图形的丝毫改变,都可能涉及模型的改变. 有时一个题目往往是多个模型的综合运用,这就要求我们一方面狠抓基础,另一方面要多练综合题.
3. 归纳总结. 模型不只是书本上的,更多的是我们在练习中归纳总结出来的. 平时练习中发现重要的结论或规律时,大家要注意把它提炼成一个模型.
■数学建模的教学方式
数学建模教学的教学方式主要有下述两种方式:
1. 数学建模应结合常用的数学内容进行切入. 以教材为载体,以改革教学方法为突破口,通过对教学内容的科学加工、处理,达到“在学中用,在用中学”的目的,从而进一步培养学生的数学应用意识以及分析和解决实际问题的能力.
例2在学完《三角形》后,出题目:
有一池塘,要测量池塘两端A,B的距离,直接测量有障碍,用什么方法能够测出AB的长度?
(1)若从A市运往汶川的赈灾物资为x t,求完成以上运输所需总耗油量y(L)与x(t)的函数关系式.
(2)请你设计一种最佳运输方案,使总耗油量最少,并求出完成以上方案至少需要多少升油.
解析(1)由题意得,y=0.5x (500-x)×0.8 (400-x)×1.0 [300-(400-x)]×0.4=760-0.9x(100≤x≤400).
(2)要使y最小,则要x取最大值,即x=400,代入上式得
y=760-0.9×400=400(L).
故方案是从A市运送400 t物资到汶川,其余物资全部运送到北川. 完成以上方案至少需要400 L油.
点评本题以汶川大地震为背景,可以高度提升学生的注意力,重点考查了学生建立一次函数模型和不等式模型的知识. 掌握一次函数的性质是解答本题的关键.
■对中学数学建模的意见
1. 数学建模作业的评价应以创新性、现实性、真实性、合理性、有效性等几个方面作为标准,对建模的要求不可太高.
2. 数学建模问题难度应适中,不要摘一些脱离中学生实际的建模教学.
3. 建模教学应当涉及高考应用问题. 鉴于当前中学数学教学的实际,保持一定比例的高考应用问题是必要的. 这样有助于调动师生参与建模教学的积极性,促进中学数学建模教学的进一步发展.
4. 建议继续为中学数学教师开设“数学模型”课程,师范类高等院校专业有必要把“数学模型”列为必修课程. 中学教师只有通过对数学建模的系统学习和研究,才能准确地把握数学建模问题的深度和难度,更好地推动中学数学建模的发展.
关键词:数学;建模;模型;培养
数学新课标指出:初中阶段的教学应结合具体的数学内容,采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解和掌握数学知识. 数学建模,一是数学学习的要求,二是数学知识与技能的体现,是应用——拓展的前提. 所以,初中数学教学应特别重视学生建模能力的培养.
■数学建模的案例
例1(2008山东青岛)某学校共有18个教学班,每班的学生人数都是40人. 为了解学生课余时间上网情况,学校打算作一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全校最少需抽取多少名学生?
建立模型为解决上面的实际问题,我们先建立并研究下面“从口袋中摸球”的数学模型.
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个同色,则最少须摸出多少个小球?
为了找到解决问题的办法,我们可以把上述问题简单化:
(1)首先考虑最简单的情况:要确保从口袋中摸出的小球至少有两个同色,则最少须摸出多少个小球.
假若从袋中随机摸出3个小球,它们的颜色可能会出现多种情况,其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同,那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有两个小球同色,即最少须摸出小球的个数是1 3=4(如图1).
需要注意的是:数学建模的问题往往不是一个单纯的数学问题,它涉及其他学科知识以及生活知识. 数学建模的过程是一个多学科的合作过程,它促使学生把从各门课程中学到的知识加以融会贯通,促使学生根据需要查阅资料、获取知识,促使学生围绕问题收集信息,深化对问题的了解,并在此基础上解决问题. 数学建模还可以培养学生推演、探索、猜想、计算以及使用计算器、计算机等的能力.
■数学建模解题的几点要求
1. 理解实质,注意变式. 抓住模型的组成结构、性质、特征,摒除本质以外的东西,特别要掌握几何中大量的基本定理、公式模型.
2. 加强比较,注重联系. 条件或图形的丝毫改变,都可能涉及模型的改变. 有时一个题目往往是多个模型的综合运用,这就要求我们一方面狠抓基础,另一方面要多练综合题.
3. 归纳总结. 模型不只是书本上的,更多的是我们在练习中归纳总结出来的. 平时练习中发现重要的结论或规律时,大家要注意把它提炼成一个模型.
■数学建模的教学方式
数学建模教学的教学方式主要有下述两种方式:
1. 数学建模应结合常用的数学内容进行切入. 以教材为载体,以改革教学方法为突破口,通过对教学内容的科学加工、处理,达到“在学中用,在用中学”的目的,从而进一步培养学生的数学应用意识以及分析和解决实际问题的能力.
例2在学完《三角形》后,出题目:
有一池塘,要测量池塘两端A,B的距离,直接测量有障碍,用什么方法能够测出AB的长度?
(1)若从A市运往汶川的赈灾物资为x t,求完成以上运输所需总耗油量y(L)与x(t)的函数关系式.
(2)请你设计一种最佳运输方案,使总耗油量最少,并求出完成以上方案至少需要多少升油.
解析(1)由题意得,y=0.5x (500-x)×0.8 (400-x)×1.0 [300-(400-x)]×0.4=760-0.9x(100≤x≤400).
(2)要使y最小,则要x取最大值,即x=400,代入上式得
y=760-0.9×400=400(L).
故方案是从A市运送400 t物资到汶川,其余物资全部运送到北川. 完成以上方案至少需要400 L油.
点评本题以汶川大地震为背景,可以高度提升学生的注意力,重点考查了学生建立一次函数模型和不等式模型的知识. 掌握一次函数的性质是解答本题的关键.
■对中学数学建模的意见
1. 数学建模作业的评价应以创新性、现实性、真实性、合理性、有效性等几个方面作为标准,对建模的要求不可太高.
2. 数学建模问题难度应适中,不要摘一些脱离中学生实际的建模教学.
3. 建模教学应当涉及高考应用问题. 鉴于当前中学数学教学的实际,保持一定比例的高考应用问题是必要的. 这样有助于调动师生参与建模教学的积极性,促进中学数学建模教学的进一步发展.
4. 建议继续为中学数学教师开设“数学模型”课程,师范类高等院校专业有必要把“数学模型”列为必修课程. 中学教师只有通过对数学建模的系统学习和研究,才能准确地把握数学建模问题的深度和难度,更好地推动中学数学建模的发展.