江苏大丰高级中学224100
　　
　　摘要：本文通过几个例题分析说明了数列中前n项和（或积）的不等式证明问题的常用的解决策略和处理手段.
　　关键词：数列；不等式；解决策略；处理手段
　　
　　数列中前n项和（或积）的不等式证明问题是一个难点，根据问题的特征，一般解决的策略有：①通过构造、放缩等手段转化为等差数列或等比数列的求和问题，如例1、例4、例5；②通过放缩来拆项求和，如例1、例2；③构造函数考虑其单调性，如例2、例3、例5.
　　例1 已知Sn为数列an
　　的前n项和，且Sn=2an+n2－3n－2，n∈N+.
　　（Ⅰ）求证数列｛an－2n｝为等比数列；
　　（Ⅱ）数列｛cn｝中，cn=，其前n项和为Tn，求证：Tn<．
　　解析（Ⅰ）由题意得a1=S1=2a1+12－3×1－2，所以a1=4.
　　因为Sn=2an+n2－3n－2，Sn-1=2an-1+n2－5n+2（n≥2），
　　所以an=Sn－Sn-1=2an－2an-1+2n－4（n≥2）⇒an=2an-1－2n+4
　　⇒an－2n=2［an-1－2（n－1）］.
　　又a1－2=2，
　　所以｛an-2n｝构成等比数列，an－2n=2n，即an=2n+2n.
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cn=.
　　解法1 通过放缩构造等比数列（可有选择地保留前几项）.
　　有cn=<（n∈N+），
　　Tn=++…+（n∈N+），
　　验证得T1=<.
　　n≥2时，Tn≤+++…+=+<+=<.
　　解法2 通过放缩构造裂项效果（可有选择地保留前几项）.
　　有cn=≤（2n≥n2，n≥4），
　　T1=，T2=，T3=++=均小于.
　　n≥4，cn≤=－.
　　n≥4时，Tn≤+++++…+=+－=－<（n∈N+）.
　　例2 数列｛an｝中，an=（n∈N+），数列｛an｝的前n项和记为Sn. 求证：Sn>（n∈N+）.
　　证明解法1 构造函数考虑其单调性.
　　欲证Sn>，即证Sn>·－.
　　构造数列｛g（n）｝，g（n）=Sn－·+（n∈N+），
　　则g（n-1）=Sn-1－+（n≥2）.
　　g（n）－g（n-1）=an+－=－>－=0.
　　所以｛g（n）｝为递增数列.
　　所以g（n）≥g（1）=S1－+=1+－>0.
　　故Sn>－.
　　解法2 放缩法构造裂项效果.
　　=> =（n≥1）.
　　Sn=>==（n∈N+）.
　　例3 数列｛an｝满足an=（n∈N+），记｛an｝的前n项积为Tn. 求证：Tn≥.
　　解析 构造函数f（n）=，即证f（n）≥1.
　　下证f（n）为递增数列.
　　=·=·.
　　欲证·>1
　　⇔>
　　⇔
　　1+3>1+
　　⇔1+3·+3·
　　2+
　　3>1+.
　　而3·+3·
　　2>
　　⇔>
　　⇔（9n+9）（19n+8）>19（3n+2）2
　　⇔15n>4.
　　15n>4显然成立，则≥1.
　　所以f（n）≥f（1）=1.
　　即Tn≥.
　　例4 数列｛xn｝满足xn+1=，x1=1.
　　（Ⅰ）试比较xn与2的大小关系；
　　（Ⅱ）设an=xn－2，求证：当n≥2时，a1+a2+…+an<2－21-n.
　　解析 （Ⅰ）因为xn+1==+1，x1=1，所以n≥2时，xn≥1.
　　又因为xn+1－2=－2=，
　　所以=－<0.
　　即xn－2与xn+1－2异号.
　　又x1－2=－1<0，则n为奇数时，xn<2；n为偶数时，xn>2.
　　（Ⅱ）n>1时，xn+1=+1>1，
　　an+1=xn+1－2=
　　－2=
　　==an .
　　所以=<.
　　则an　　2an-2<…<
　　n-1a1=
　　n-1.
　　所以n≥2时，a1+a2+…+an<1++…+
　　n-1=21－
　　=2－21-n.
　　例5 数列｛an｝中，设an=（n∈N+），g（n）=ai，试证明：　　解析（1）先证g（n）≤.
　　g（n）=++…+（共n+2项）.
　　g（n+1）=++…+++（共n+3项）.
　　g（n+1）－g（n）=+－<+－=0.
　　所以｛g（n）｝为递减数列.
　　所以g（n）≤g（1）=1++=.
　　（2）再证g（n）>.
　　g（n）=++…+（共n+2项）
　　>++…+==+>.
　　放缩过度，寻求他法.
　　g（n）=+++…+（共n+2项）.
　　g（n）=+++…+（共n+2项）.
　　所以2g（n）=+++…+.
　　因为x·y≤
　　2（x>0，y>0），
　　所以2g（n）>（n+2）=>.
　　所以g（n）>.