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分段计费问题是人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册的教学内容，在后继学习中可看作分段函数的问题。运用函数思想做好分段计费的教学，需要了解分段教学的基本思想，需要了解学生使用图象法学习的基础。
一、了解分段函数的基本思想
分段函数本身不是初等函数，但它是由若干个基本初等函数组合而成的。例如，人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册有如下的一道例题，其中 y与x的函数解析式可表示为y=[5x，0≤x≤24x+2，x>2]，其图象如图1所示。
例：“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折。
（1） 填写下表。
[购买量 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …… 付款金额/元 …… ]
（2） 写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象。
x=2是此分段函数的分段点，同时y（x）在x=2是连续的。而函数的连续性及其相关的证明通常是微积分的内容。
与上题相比，五年级分段计费的例题则是另一种表现形式的分段函数， y与x的函数解析式可表示为y=[7，0<x≤38.5， 3<x≤410，4<x≤511.5，5<x≤613，6<x≤7 。]
x=3、4、5、6是此分段函数的分段点，y（x）在x=3、4、5、6上也是连续的（如图2）。
其图形在x=3、4、5、6各点产生跳跃现象，我们称x=3、4、5、6为函数y（x）的跳跃点。
显然，学生画出这样的图形是不符合题意的（如图3），该图形用函数解析式表示为：
进一步来说，分段计费的例题是由若干常量函数组合而成的分段函数，学生画出的图形是由常量函数和正比例函数组合而成的，而八年级所学的则是由两个不同的正比例函数组合而成的。但这样的题目也存在于五年级的练习题，如“某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元;超过12吨的部分，每吨3.8元。小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？”
二、了解学生使用图象法的学习基础
一般来说，表示函数的方法有三种方法：解析式法、列表法和图象法。在五年级的教材里，仅在“回顾与反思”阶段要求学生用列表法检验解答的结果正确与否。从正向思维的角度来看，该表中的数据可以正确的结果，但从反向思维的角度来看该表中的数据既可以是图2的数据，也可以是图3的数据，或者说数据所表征的含义不是唯一的。为了正确理解题意，教学时需要运用图象法进行分析。从逻辑结构分析，线段图是图象法的最直接的表现，如图4所示。
线段图需要用线段的长度来表示具体的数量，而且图中线段的长短关系要符合题目的数量关系。借助线段图，学生建立了数学的直观模型。从另一个角度来说，条形统计图也是图象法的最直接的表现，只要作简单的转换条形统计图就变成了直角坐标系。进一步来说，两者的结合即是学生产生可理解的函数图象。
三、基于函数思想的教学设计
函数思想是构造函数（即“规定思想”）从而利用函数的性质（已知、未知和规定思想）来解题的一种思维策略。“已知”，就是指“定量”;而“未知”则是指“变量”;“规定思想”则是指根据事物的规律而人为的构造的一种客观的函数关系。基于这种思维策略，分段计费的教学可以这样设计。
（一）读题，画线段图，列式解答
出示主题图，读出题意：王叔叔乘坐出租车行驶6.3km。出租车的收费标准：3km以内7元;超过3km，每千米1.5元（不足1km按1km计算）。他要付多少钱？
引导画线段图，学生可能画出下列各种情形（图3也是其中的一种）。
不同的学生可能有不同的思考，或者是从车费的角度，或者从是路程的角度，他们从已有的知识经验出发，画出线段图，根据所蕴含的数量关系，正确地列式解答。但是，这并不代表他们已经完全地理解了分段计费的运算原理，特别是从函数思想的角度去思考问题。
（二）批判性思考，理解“定量”和“变量”的关系，画出图象
引导学生对解答过程进行批判性思考，并与之交流。
教师提问：你确信你的解法是正确的？然后，引导学生边读题边追问：①如果王叔叔只乘坐0.5km，要付多少钱？（7元）②如果王叔叔只付7元钱，他最多能乘坐多少km？（3km）③如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少钱？（8.5元。④如果王叔叔付了8.5元，他可能乘坐多少km？（4km。所以说，8.5元分为两段：7元，1.5元。）⑤如果王叔叔乘坐4.2km，要付多少钱？（10元。它分为三段：7元，1.5元，1.5元。）
通过反思，学生会理解行程在0 教师示范：现在，把线段图的第一段，3km以内7元，画到新的图上。（如图5）
教师提问：第二段、第三段应该怎样画呢？学生尝试画出这两个线段，并推理画出第四、五段。师生合作共同把线段图转换为分段函数的图象。（如图2）
通过画图，学生理解x=3、4、5、6是函数的跳跃点。更进一步，学生直观地理解这是由5个常量函数组合而成的分段函数，所以，列式计算是：7+1.5×4=13（元）。
教师提问：你能完成出租车的价格表吗？学生独立填写出下表。
[行驶的里程/km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出租车费/元 7 7 7 8.5 10 11.5 13 14.5 16 17.5 ]
教师还可以继续引导学生用查表法，进一步理解“定量”和“变量”的关系，如7km要付13元。
（三）辩证思考，理解新的“变量”，画出新的图象
教师提问：如果去掉括号里的要求，题目变成“王叔叔乘坐出租车行驶6.3km。出租车的收费标准：3km以内7元;超过3km，每千米1.5元。他要付多少钱？”其解法会一样吗？
引导学生理解第一段“3km以内7元”是一样的。但接着发生的事就不一样了。
①如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少钱？（7+1.5×0.1=7.15元。）②王叔叔乘坐6.3km，要付多少钱？（7+1.5×3.3=11.95元。）
图象要相应地进行修改，教师画出新的图象（如图2），描出点（6.3，11.95）的位置。然后，告诉学生这条线被分成两段，x=3是它的分段点。
（四）巩固练习，用类比法判断出不同函数所相应的图象
教师可以先出示习题。某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元;超过12吨的部分，每吨3.8元。
（1）小云家上个月的用水量为11吨，应缴水费多少元？
（2）小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？
要求学生读题，画出相应的图象，得出结论：第（1）题用水量在12吨以内，只画一条线段;第（2）题分段计费不同于图2，也不同于图3，是新的图形（与图1类似）。
参考文獻：
[1][德]菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）[M].舒湘芹，陈义章，杨钦樑，译.上海：复旦大学出版社，2008.
课题项目：本文系福建省教育科学“十三五”规划2019年度课题“教育现代化2035视域下农村义务教育优质均衡发展的策略研究”的研究成果之一。课题编号FJJKCG19-089。
（责任编辑：杨强）
一、了解分段函数的基本思想
分段函数本身不是初等函数，但它是由若干个基本初等函数组合而成的。例如，人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册有如下的一道例题，其中 y与x的函数解析式可表示为y=[5x，0≤x≤24x+2，x>2]，其图象如图1所示。
例：“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折。
（1） 填写下表。
[购买量 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …… 付款金额/元 …… ]
（2） 写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象。
x=2是此分段函数的分段点，同时y（x）在x=2是连续的。而函数的连续性及其相关的证明通常是微积分的内容。
与上题相比，五年级分段计费的例题则是另一种表现形式的分段函数， y与x的函数解析式可表示为y=[7，0<x≤38.5， 3<x≤410，4<x≤511.5，5<x≤613，6<x≤7 。]
x=3、4、5、6是此分段函数的分段点，y（x）在x=3、4、5、6上也是连续的（如图2）。
其图形在x=3、4、5、6各点产生跳跃现象，我们称x=3、4、5、6为函数y（x）的跳跃点。
显然，学生画出这样的图形是不符合题意的（如图3），该图形用函数解析式表示为：
进一步来说，分段计费的例题是由若干常量函数组合而成的分段函数，学生画出的图形是由常量函数和正比例函数组合而成的，而八年级所学的则是由两个不同的正比例函数组合而成的。但这样的题目也存在于五年级的练习题，如“某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元;超过12吨的部分，每吨3.8元。小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？”
二、了解学生使用图象法的学习基础
一般来说，表示函数的方法有三种方法：解析式法、列表法和图象法。在五年级的教材里，仅在“回顾与反思”阶段要求学生用列表法检验解答的结果正确与否。从正向思维的角度来看，该表中的数据可以正确的结果，但从反向思维的角度来看该表中的数据既可以是图2的数据，也可以是图3的数据，或者说数据所表征的含义不是唯一的。为了正确理解题意，教学时需要运用图象法进行分析。从逻辑结构分析，线段图是图象法的最直接的表现，如图4所示。
线段图需要用线段的长度来表示具体的数量，而且图中线段的长短关系要符合题目的数量关系。借助线段图，学生建立了数学的直观模型。从另一个角度来说，条形统计图也是图象法的最直接的表现，只要作简单的转换条形统计图就变成了直角坐标系。进一步来说，两者的结合即是学生产生可理解的函数图象。
三、基于函数思想的教学设计
函数思想是构造函数（即“规定思想”）从而利用函数的性质（已知、未知和规定思想）来解题的一种思维策略。“已知”，就是指“定量”;而“未知”则是指“变量”;“规定思想”则是指根据事物的规律而人为的构造的一种客观的函数关系。基于这种思维策略，分段计费的教学可以这样设计。
（一）读题，画线段图，列式解答
出示主题图，读出题意：王叔叔乘坐出租车行驶6.3km。出租车的收费标准：3km以内7元;超过3km，每千米1.5元（不足1km按1km计算）。他要付多少钱？
引导画线段图，学生可能画出下列各种情形（图3也是其中的一种）。
不同的学生可能有不同的思考，或者是从车费的角度，或者从是路程的角度，他们从已有的知识经验出发，画出线段图，根据所蕴含的数量关系，正确地列式解答。但是，这并不代表他们已经完全地理解了分段计费的运算原理，特别是从函数思想的角度去思考问题。
（二）批判性思考，理解“定量”和“变量”的关系，画出图象
引导学生对解答过程进行批判性思考，并与之交流。
教师提问：你确信你的解法是正确的？然后，引导学生边读题边追问：①如果王叔叔只乘坐0.5km，要付多少钱？（7元）②如果王叔叔只付7元钱，他最多能乘坐多少km？（3km）③如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少钱？（8.5元。④如果王叔叔付了8.5元，他可能乘坐多少km？（4km。所以说，8.5元分为两段：7元，1.5元。）⑤如果王叔叔乘坐4.2km，要付多少钱？（10元。它分为三段：7元，1.5元，1.5元。）
通过反思，学生会理解行程在0
教师提问：第二段、第三段应该怎样画呢？学生尝试画出这两个线段，并推理画出第四、五段。师生合作共同把线段图转换为分段函数的图象。（如图2）
通过画图，学生理解x=3、4、5、6是函数的跳跃点。更进一步，学生直观地理解这是由5个常量函数组合而成的分段函数，所以，列式计算是：7+1.5×4=13（元）。
教师提问：你能完成出租车的价格表吗？学生独立填写出下表。
[行驶的里程/km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出租车费/元 7 7 7 8.5 10 11.5 13 14.5 16 17.5 ]
教师还可以继续引导学生用查表法，进一步理解“定量”和“变量”的关系，如7km要付13元。
（三）辩证思考，理解新的“变量”，画出新的图象
教师提问：如果去掉括号里的要求，题目变成“王叔叔乘坐出租车行驶6.3km。出租车的收费标准：3km以内7元;超过3km，每千米1.5元。他要付多少钱？”其解法会一样吗？
引导学生理解第一段“3km以内7元”是一样的。但接着发生的事就不一样了。
①如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少钱？（7+1.5×0.1=7.15元。）②王叔叔乘坐6.3km，要付多少钱？（7+1.5×3.3=11.95元。）
图象要相应地进行修改，教师画出新的图象（如图2），描出点（6.3，11.95）的位置。然后，告诉学生这条线被分成两段，x=3是它的分段点。
（四）巩固练习，用类比法判断出不同函数所相应的图象
教师可以先出示习题。某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元;超过12吨的部分，每吨3.8元。
（1）小云家上个月的用水量为11吨，应缴水费多少元？
（2）小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？
要求学生读题，画出相应的图象，得出结论：第（1）题用水量在12吨以内，只画一条线段;第（2）题分段计费不同于图2，也不同于图3，是新的图形（与图1类似）。
参考文獻：
[1][德]菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）[M].舒湘芹，陈义章，杨钦樑，译.上海：复旦大学出版社，2008.
课题项目：本文系福建省教育科学“十三五”规划2019年度课题“教育现代化2035视域下农村义务教育优质均衡发展的策略研究”的研究成果之一。课题编号FJJKCG19-089。
（责任编辑：杨强）