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【摘要】为了克服粒子群优化算法早熟收敛，本文提出了一种改进的小波变异粒子群优化算法，由于该算法每次迭代时以一定的概率选中粒子进行小波变异扰动，能够克服算法后期易发生早熟收敛和陷入局部最优的缺点。同时将改进的算法应用于天线阵列方向图综合问题中，综合效果好于现有文献。
【关键词】天线阵列；粒子群优化算法；小波变异；方向图综合
最近几年，阵列天线广泛应用与雷达、无线通信和电子对抗等领域，方向图综合作为阵列天线的关键技术，在抗干扰、截获率和参数估计等方面有着重要的作用。阵列天线方向图综合就是根据波束形状来或性能指标求解阵列天线激烈幅值、相位、单元间距的过程。由于天线优化问题中的目标函数或约束条件呈多参数、非线性、不可微甚至不连续，因而基于梯度寻优技术的传统数值优化方法无法有效地求得工程上满意的结果。虽然有很多的经典的优化方法如契比雪夫，泰勒，伍德福德等可以借用，但是这类方法都是针对某一类特定问题提出的，并且对于一些有约束条件的综合，经典方法很难实施。而智能优化算法[1-5]能很好地解决此类问题，如文献[1-2]将遗传算法应用于阵列天线方向图综合，取得了不错的结果，但是由于遗传算法求取全局最优解对目标搜索的单一性和排他性，就可能陷入局部最优。而文献[4-5]将粒子群优化算法应用于阵列天线方向图综合，也取得了不错的结果。本文提出的算法是在小波变异粒子群优化算法的基础上，对其进行改进得到的，同时将改进的小波变异粒子群优化算法应用于阵列天线方向图综合中。
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimiz-ation，PSO）是由James Kennedy和Russell Eberhart在1995年提出的一种基于种群搜索的智能优化算法，它源于对鸟群群体性行为的模拟[6]。PSO算法由于其算法的简单，易于实现，无需梯度信息，参数少等特点在连续优化问题和离散优化问题中都表现出良好的效果。但是在搜索过程的后期阶段其收敛速度饱和甚至停止，容易陷入局部最优，会出现早熟现象。为了改善PSO算法的性能，避免算法早熟收敛，可以将遗传算法中的变异操作加入到粒子群优化算法中，得到改进的粒子群优化算法。文献[7]中提出了一种基于小波变异的粒子群优化算法（PSOWM），该算法中采用了一种基于小波函数理论的新的变异操作，提高了算法的收敛速度和精度，能很好的避免粒子群优化算法陷入局部最优。本文对文献[7]中的算法进行了改进设计，得到一种新的小波变异粒子群优化算法（IPSOWM）。本文首先介绍IPSOWM算法及IPSOWM算法，然后利用该两种算法分别对阵列方向图连续幅值和连续相位进行优化。
1.小波变异粒子群算法及其改进
文献[7]给出了一种基于小波变异的粒子群算法，该算法的变异功能对粒子起到微调的作用。设每个粒子的变异概率为，的大小根据粒子的维数决定。假设是第k次迭代时选中的第i个要变异的粒子，是该粒子的第j维，是该粒子搜索空间的上限，是该粒子搜索空间的下限，则变异的公式如下：
本文用IPSOWM算法和PSOWM算法综合阵列直线阵，阵列单元数目20个，激励电流幅度和相位分别在[0，1][0，2π]范围内变化，假设其激励电流幅度和相位对称，则算法中每个粒子的维数是20（其中前10位表示激励电流幅度大小，后10位表示激励电流相位大小）。算法中种群大小设置为100个，学习因子，线性动态惯性权重，，两种变异算法的变异概率都取，粒子的最大速度。在PSOWM算法中形状参数， 。在IPSOWM算法中形状参数， 。
目标函数定义如下两种选取方式：
其中：MSLVL、MBW和NULL分别是算法优化得到的最高副瓣电平、零功率波瓣宽度和最大零陷深度，SLVL是目标副瓣电平，BW是目标零功率波瓣宽度，NLVL是目标零陷深度；η，a，b，c是各项的权重。第一个目标函数是针对没有零陷要求的方向图综合问题，包含了副瓣电平和半功率带宽两项指标，在实际仿真中，取，。第二个目标函数由三项组成，考虑了零陷的影响，第三项用于均衡多个零陷之深。在实际仿真中，取， ，。
例1：设计指标2N=20，SLVL=-35dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向。激励电流的相位均为0（边射阵），对电流幅值进行优化，代价函数选择式（8），IPSOWM算法和PSOWM算法分别迭代500次得到最优波束方向图如图1（a）所示，电流分布如表1第1列和第2列所示。
图1（a）是PSOWM和IPSOWM迭代500次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-35.2522dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-35.9483dB。从图1（a）中可以看出，用PSOWM和IPSOWM优化后的方向图的副瓣电平都已经压到了-35dB以下，但是IPSOWM优化后得到最大副瓣电平比PSOWM得到的低0.6741dB。
例2：设计指标2N=20，SLVL=-30dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-150dB，60°、70°方向形成零陷。激励电流的相位均为0（边射阵），对电流幅值进行优化，代价函数选择式（9），迭代1000次得到最优波束方向图如图1（b）所示，电流分布如表1第3列和第4列所示。
图1（b）是PSOWM和IPSOWM迭代1000次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-31.4680dB，60°和70°位置零陷深度分别为-150.0802dB和-150.0257dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-33.9976dB，60°和70°位置零陷分别为-150.4084dB和-150.1797dB。从图1（b）中可以看出，用PSOWM和IPSOWM优化后的方向图的副瓣电平都已经压到了-30dB以下，60°和70°位置零陷都达到了指标，但是与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平降低2.5296dB，60°和70°位置零陷深度分别降低0.3282dB和0.154dB。 例3：设计指标2N=20，SLVL=-30dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-140dB，64°、70°、76°方向形成零陷。激励电流的相位均为0（边射阵），对电流幅值进行优化，代价函数选择式（9），迭代1000次得到最优波束方向图如图2所示，电流分布如表3第5列和第6列所示。
图2是PSOWM和IPSOWM迭代1000次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-27.0908dB，64°、70°和76°位置零陷深度分别为-139.9999.dB、-139.9999dB和-140.0000dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-32.0051dB，64°、70°和74°位置零陷深度分别为-140.0093dB、-139.9767dB和-140.0236dB。
可知与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平降低4.9143dB，对于64°、70°和76°位置零陷深度，IPSOWM和PSOWM都符合指标要求。该例说明在副瓣区域产生多个深零点时，用IPSOWM好于PSOWM优化得到的结果。IPSOWM的最大副瓣电平较之文献[5]中低17dB以上，副瓣零陷深度较之文献[5]中低60dB以上，说明该改进算法的有效性。
例4：设计指标2N=20，SLVL=-12dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-100dB，64°方向形成零陷。激励电流的幅度均为1，对电流相位进行优化，代价函数选择式（9），迭代500次得到最优波束方向图如图3（a）所示，电流分布如表2第1列和第2列所示。
图3（a）是PSOWM和IPSOWM迭代500次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-11.1851dB，64°位置零陷深度分别为-100.2302dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-12.1522dB，64°位置零陷深度分别为-91.6174dB。可知与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平降低0.9671dB，64°位置零陷深度分别增加8.6128dB。
IPSOWM的最大副瓣电平较之文献[3]中低0.1562dB，副瓣64°位置零陷深度较之文献[3]中低28.4371dB，说明IPSOWM算法的有效性。
例5：设计指标2N=20，SLVL=-12dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-80dB，64°、70°方向形成零陷。激励电流的幅度均为1，对电流相位进行优化，代价函数选择式（9），迭代500次得到最优波束方向图如图3（b）所示，电流分布如表2第3列和第4列所示。
图3（b）IPSOWM算法和PSOWM算法图6是PSOWM和IPSOWM迭代500次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-15.0588dB，64°、70°位置零陷深度分别为-16.5733dB、-16.5190dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-11.3143dB，64°、70°位置零陷深度分别为-78.5425dB、-77.9403dB。可知与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平增加3.7445dB，64°、70°位置零陷深度分别降低61.9692dB、61.4213dB。该例说明在副瓣区域产生两个深零点时，IPSOWM比PSOWM更加有效。
IPSOWM的最大副瓣电平跟文献[3]中基本相同，副瓣64°和70°位置零陷深度较之文献[3]中分别低19.2565dB和24.2943dB，说明IPSOWM算法的有效性（如表1、2所示）。
通过比较IPSOWM算法和PSOWM算法对连续幅值或连续相位的优化，可知基本上用IPSOWM算法和PSOWM算法都能很好的控制副瓣电平，但是对于在副瓣区域形成多个指定零点时，IPSOWM算法比PSOWM算法更加有效。
3.结论
本文针对PSO算法易发生早熟收敛、陷入局部最优的缺点以及收敛精度低的问题，对文献[7]中给出的PSOWM算法进行了改进，得到改进的小波变异粒子群（IPSOWM）算法。然后分别用PSOWM算法和IPSOWM算法对连续的电流幅值和相位优化，IPSOWM算法优化得到的天线阵列方向图比较好，证明了IPSOWM算法的有效性。
参考文献
[1]马云辉.基于遗传算法的唯相位控制方向图零点生成[J].微波学报，2001，17（2）：41-46.
[2]李翔麟，庞伟正，钱坤.基于遗传算法的天线阵方向图零点生成[J].信息技术，2008（8）：119-120.
[3]叶剑锋，王玉峰，庞伟正等.基于免疫算法的相位控制方向图零点生成[J].现代雷达，2007，29（12）：65-68.
[4]金荣洪，袁智皓，耿军平等.基于改进粒子群算法的天线方向图综合技术[J].电波科学学报，2006，21（6）：873-878.
[5]王维博，冯全源.粒子群算法在阵列天线方向图综合中的应用[J].西安电子科技大学学报，2011，28（3）：175-180.
[6]J.Kennedy，R.C.Eberhart.Particle Swarm Optimization[C].Proc of the IEEE International Conference on Neural Networks.Piscataway，NJ：IEEE Service Center，1995：1942-1948.
[7]S.H.Ling，H.H.C.Iu，K.Y.Chan.Hybird Particle Swarm Optimization With Wavelet Mutation and Its Industrial Applications[J].IEEE Transactions on Systems，2008，38（3）：743-763.
作者简介：
佘俊，男，江苏科技大学电子信息学院硕士研究生，研究方向：计算智能算法。
刘维亭，男，江苏科技大学电子信息学院教授，研究方向：智能算法和控制系统。
【关键词】天线阵列；粒子群优化算法；小波变异；方向图综合
最近几年，阵列天线广泛应用与雷达、无线通信和电子对抗等领域，方向图综合作为阵列天线的关键技术，在抗干扰、截获率和参数估计等方面有着重要的作用。阵列天线方向图综合就是根据波束形状来或性能指标求解阵列天线激烈幅值、相位、单元间距的过程。由于天线优化问题中的目标函数或约束条件呈多参数、非线性、不可微甚至不连续，因而基于梯度寻优技术的传统数值优化方法无法有效地求得工程上满意的结果。虽然有很多的经典的优化方法如契比雪夫，泰勒，伍德福德等可以借用，但是这类方法都是针对某一类特定问题提出的，并且对于一些有约束条件的综合，经典方法很难实施。而智能优化算法[1-5]能很好地解决此类问题，如文献[1-2]将遗传算法应用于阵列天线方向图综合，取得了不错的结果，但是由于遗传算法求取全局最优解对目标搜索的单一性和排他性，就可能陷入局部最优。而文献[4-5]将粒子群优化算法应用于阵列天线方向图综合，也取得了不错的结果。本文提出的算法是在小波变异粒子群优化算法的基础上，对其进行改进得到的，同时将改进的小波变异粒子群优化算法应用于阵列天线方向图综合中。
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimiz-ation，PSO）是由James Kennedy和Russell Eberhart在1995年提出的一种基于种群搜索的智能优化算法，它源于对鸟群群体性行为的模拟[6]。PSO算法由于其算法的简单，易于实现，无需梯度信息，参数少等特点在连续优化问题和离散优化问题中都表现出良好的效果。但是在搜索过程的后期阶段其收敛速度饱和甚至停止，容易陷入局部最优，会出现早熟现象。为了改善PSO算法的性能，避免算法早熟收敛，可以将遗传算法中的变异操作加入到粒子群优化算法中，得到改进的粒子群优化算法。文献[7]中提出了一种基于小波变异的粒子群优化算法（PSOWM），该算法中采用了一种基于小波函数理论的新的变异操作，提高了算法的收敛速度和精度，能很好的避免粒子群优化算法陷入局部最优。本文对文献[7]中的算法进行了改进设计，得到一种新的小波变异粒子群优化算法（IPSOWM）。本文首先介绍IPSOWM算法及IPSOWM算法，然后利用该两种算法分别对阵列方向图连续幅值和连续相位进行优化。
1.小波变异粒子群算法及其改进
文献[7]给出了一种基于小波变异的粒子群算法，该算法的变异功能对粒子起到微调的作用。设每个粒子的变异概率为，的大小根据粒子的维数决定。假设是第k次迭代时选中的第i个要变异的粒子，是该粒子的第j维，是该粒子搜索空间的上限，是该粒子搜索空间的下限，则变异的公式如下：
本文用IPSOWM算法和PSOWM算法综合阵列直线阵，阵列单元数目20个，激励电流幅度和相位分别在[0，1][0，2π]范围内变化，假设其激励电流幅度和相位对称，则算法中每个粒子的维数是20（其中前10位表示激励电流幅度大小，后10位表示激励电流相位大小）。算法中种群大小设置为100个，学习因子，线性动态惯性权重，，两种变异算法的变异概率都取，粒子的最大速度。在PSOWM算法中形状参数， 。在IPSOWM算法中形状参数， 。
目标函数定义如下两种选取方式：
其中：MSLVL、MBW和NULL分别是算法优化得到的最高副瓣电平、零功率波瓣宽度和最大零陷深度，SLVL是目标副瓣电平，BW是目标零功率波瓣宽度，NLVL是目标零陷深度；η，a，b，c是各项的权重。第一个目标函数是针对没有零陷要求的方向图综合问题，包含了副瓣电平和半功率带宽两项指标，在实际仿真中，取，。第二个目标函数由三项组成，考虑了零陷的影响，第三项用于均衡多个零陷之深。在实际仿真中，取， ，。
例1：设计指标2N=20，SLVL=-35dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向。激励电流的相位均为0（边射阵），对电流幅值进行优化，代价函数选择式（8），IPSOWM算法和PSOWM算法分别迭代500次得到最优波束方向图如图1（a）所示，电流分布如表1第1列和第2列所示。
图1（a）是PSOWM和IPSOWM迭代500次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-35.2522dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-35.9483dB。从图1（a）中可以看出，用PSOWM和IPSOWM优化后的方向图的副瓣电平都已经压到了-35dB以下，但是IPSOWM优化后得到最大副瓣电平比PSOWM得到的低0.6741dB。
例2：设计指标2N=20，SLVL=-30dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-150dB，60°、70°方向形成零陷。激励电流的相位均为0（边射阵），对电流幅值进行优化，代价函数选择式（9），迭代1000次得到最优波束方向图如图1（b）所示，电流分布如表1第3列和第4列所示。
图1（b）是PSOWM和IPSOWM迭代1000次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-31.4680dB，60°和70°位置零陷深度分别为-150.0802dB和-150.0257dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-33.9976dB，60°和70°位置零陷分别为-150.4084dB和-150.1797dB。从图1（b）中可以看出，用PSOWM和IPSOWM优化后的方向图的副瓣电平都已经压到了-30dB以下，60°和70°位置零陷都达到了指标，但是与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平降低2.5296dB，60°和70°位置零陷深度分别降低0.3282dB和0.154dB。 例3：设计指标2N=20，SLVL=-30dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-140dB，64°、70°、76°方向形成零陷。激励电流的相位均为0（边射阵），对电流幅值进行优化，代价函数选择式（9），迭代1000次得到最优波束方向图如图2所示，电流分布如表3第5列和第6列所示。
图2是PSOWM和IPSOWM迭代1000次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-27.0908dB，64°、70°和76°位置零陷深度分别为-139.9999.dB、-139.9999dB和-140.0000dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-32.0051dB，64°、70°和74°位置零陷深度分别为-140.0093dB、-139.9767dB和-140.0236dB。
可知与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平降低4.9143dB，对于64°、70°和76°位置零陷深度，IPSOWM和PSOWM都符合指标要求。该例说明在副瓣区域产生多个深零点时，用IPSOWM好于PSOWM优化得到的结果。IPSOWM的最大副瓣电平较之文献[5]中低17dB以上，副瓣零陷深度较之文献[5]中低60dB以上，说明该改进算法的有效性。
例4：设计指标2N=20，SLVL=-12dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-100dB，64°方向形成零陷。激励电流的幅度均为1，对电流相位进行优化，代价函数选择式（9），迭代500次得到最优波束方向图如图3（a）所示，电流分布如表2第1列和第2列所示。
图3（a）是PSOWM和IPSOWM迭代500次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-11.1851dB，64°位置零陷深度分别为-100.2302dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-12.1522dB，64°位置零陷深度分别为-91.6174dB。可知与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平降低0.9671dB，64°位置零陷深度分别增加8.6128dB。
IPSOWM的最大副瓣电平较之文献[3]中低0.1562dB，副瓣64°位置零陷深度较之文献[3]中低28.4371dB，说明IPSOWM算法的有效性。
例5：设计指标2N=20，SLVL=-12dB，d=λ/2，零功率波瓣宽度2θ0=20°，要求主瓣对准90°方向，NLVL=-80dB，64°、70°方向形成零陷。激励电流的幅度均为1，对电流相位进行优化，代价函数选择式（9），迭代500次得到最优波束方向图如图3（b）所示，电流分布如表2第3列和第4列所示。
图3（b）IPSOWM算法和PSOWM算法图6是PSOWM和IPSOWM迭代500次得到的结果，PSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-15.0588dB，64°、70°位置零陷深度分别为-16.5733dB、-16.5190dB；IPSOWM的零功率波瓣宽度为20°，最大副瓣电平-11.3143dB，64°、70°位置零陷深度分别为-78.5425dB、-77.9403dB。可知与PSOWM相比，IPSOWM的最大副瓣电平增加3.7445dB，64°、70°位置零陷深度分别降低61.9692dB、61.4213dB。该例说明在副瓣区域产生两个深零点时，IPSOWM比PSOWM更加有效。
IPSOWM的最大副瓣电平跟文献[3]中基本相同，副瓣64°和70°位置零陷深度较之文献[3]中分别低19.2565dB和24.2943dB，说明IPSOWM算法的有效性（如表1、2所示）。
通过比较IPSOWM算法和PSOWM算法对连续幅值或连续相位的优化，可知基本上用IPSOWM算法和PSOWM算法都能很好的控制副瓣电平，但是对于在副瓣区域形成多个指定零点时，IPSOWM算法比PSOWM算法更加有效。
3.结论
本文针对PSO算法易发生早熟收敛、陷入局部最优的缺点以及收敛精度低的问题，对文献[7]中给出的PSOWM算法进行了改进，得到改进的小波变异粒子群（IPSOWM）算法。然后分别用PSOWM算法和IPSOWM算法对连续的电流幅值和相位优化，IPSOWM算法优化得到的天线阵列方向图比较好，证明了IPSOWM算法的有效性。
参考文献
[1]马云辉.基于遗传算法的唯相位控制方向图零点生成[J].微波学报，2001，17（2）：41-46.
[2]李翔麟，庞伟正，钱坤.基于遗传算法的天线阵方向图零点生成[J].信息技术，2008（8）：119-120.
[3]叶剑锋，王玉峰，庞伟正等.基于免疫算法的相位控制方向图零点生成[J].现代雷达，2007，29（12）：65-68.
[4]金荣洪，袁智皓，耿军平等.基于改进粒子群算法的天线方向图综合技术[J].电波科学学报，2006，21（6）：873-878.
[5]王维博，冯全源.粒子群算法在阵列天线方向图综合中的应用[J].西安电子科技大学学报，2011，28（3）：175-180.
[6]J.Kennedy，R.C.Eberhart.Particle Swarm Optimization[C].Proc of the IEEE International Conference on Neural Networks.Piscataway，NJ：IEEE Service Center，1995：1942-1948.
[7]S.H.Ling，H.H.C.Iu，K.Y.Chan.Hybird Particle Swarm Optimization With Wavelet Mutation and Its Industrial Applications[J].IEEE Transactions on Systems，2008，38（3）：743-763.
作者简介：
佘俊，男，江苏科技大学电子信息学院硕士研究生，研究方向：计算智能算法。
刘维亭，男，江苏科技大学电子信息学院教授，研究方向：智能算法和控制系统。