万有引力定律是力学领域的重要定律之一,又是天文学知识的基础,因此在高考中占有重要地位,纵观近几年的高考试题不难发现,高考试题对这一部分内容的考察,不是以选择题的形式出现,就是以计算题形式出现,每年必考,在高考备考中应引起重视。
　　《2009年考试大纲.物理》对本章要求的考点有:21.万有引力定律及其应用;人造地球卫星的运动(限于圆轨道);22.宇宙速度。对万有引力定律及其应用、地球卫星的运动均为Ⅱ类要求,对宇宙速度为Ⅰ类要求。
　　
　　一、知能梳理
　　
　　万有引力定律的应用主要体现在三个方面:
　　1.研究天体形成的引力场中某点的重力加速度,其基本方法是:质量为m的物体所受重力近似等于天体对它的万有引力,即GMmr2≈mg。
　　2.研究未知天体的质量和密度,其基本思路为:观测待测天体的一颗卫星的运动参量,比如周期T和半径r,由GMmr2=m4π2T2r得M=4π2r3GT2,再结合体积公式V=43πR3及密度公式ρ=MV得ρ=3πr3GT2R3,若卫星为近地卫星,则ρ=3πGT2,即只需要观测到周期即可。
　　3.研究卫星及行星的运动参量,其方法为:中心天体对卫星及行星的万有引力提供向心力,由GMmr2=mv2r=mrω2=m4π2T2r来分析运动参量。
　　
　　二、命题趋势
　　
　　从近几年高考试题来看,本部分内容常以天体问题(如双星、黑洞、恒星的演化等)或人类航天(如卫星发射、空间站、探测器登陆等)为背景,考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。试题呈现两个特点,一是开放性特点,二是实事性强。随着“嫦娥一号”的成功发射及我国深空探测技术的不断发展,这类以天体运动为背景的题目,必将成为高考命题的热点。
　　
　　三、例题精析
　　
　　例1.设同步卫星离地心的距离为r,运行速率为v1,加速度为a1;地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球的半径为R,则下列比值正确的是( )
　　A.v1v2=rRB.a1a2=rRC.a1a2=R2r2D.v1v2=rR
　　【解析】同步卫星与地球自转的角速度相同,由向心加速度公式a=ω2r,可得a1a2=rR,B选项正确;第一宇宙速度是在地球表面附近做匀速圆周运动的卫星具有的速度,计算方法和同步卫星的运行速率计算方法相同,即万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得GMmr2=mv21r,GMmR2=mv22R,解得v1v2=Rr。
　　答案 B
　　题后反思:本题考查对天体运动中公式的理解和应用。正确理解第一宇宙速度的概念,抓住近地卫星和同步卫星的特点,能够区别轨道半径和星球半径、离地高度等概念是解题的关键。本题易错选C答案,主要是误认为a1=GMr2;a2=GMR2。赤道上的物体随地球自转的向心加速度是由万有引力和地面的支持力共同提供的。
　　例2.我国在2007年发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设想嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动,测得其周期为T。飞船在月球上着陆后,自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P。已知引力常量为G,由以上数据可以求出的量有( )
　　A.月球的半径
　　B.月球的质量
　　C.月球表面的重力加速度
　　D.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
　　【解析】万有引力提供飞船做圆周运动的向心力,设飞船质量为mˊ,有GMm′R2=m′R4π2T2,又月球表面万有引力等于重力,GMmR2=P=mg月,两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度g月;故A、B、C都正确。
　　答案:ABC。
　　题后反思:本题以“嫦娥一号”绕月运动为背景,考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。试题设问呈现开放性特点,充分考察了万有引力定律在天文学上的应用,学生在分析本题时出现的主要问题是思维不全面,出现漏选现象。
　　例3.晴天晚上,人能看到卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面,卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道,赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它,之后极快地变暗而看不到了。已知地球的半径R=6.4×106m。试估算卫星轨道离地面的高度。
　　【解析】先画出从北极沿地轴下视的地球俯视图(如图所示)。
　　
　　设卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r(即卫星到地心的距离),在Q点日落后8小时时能看到卫星反射的太阳光,日落8小时Q点转过θ角,由题意得
　　θ=824×360°=120°,
　　则求出卫星轨道离地面的高度
　　h=r-R=Rcos60°-R=R=6.4×106m
　　题后反思:本题除了考察万用引力定律,还着重考察了学生的空间想象能力及构建模型的能力。是考察学生综合能力的好题。
　　例4.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息,让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为R和R1,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1,月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面,求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示,忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)。
　　【解析】如下图所示:
　　
　　设O和O′分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道平面上,A是地月连心线OO′与地月球表面的公切线ACD的交点,D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点.过A点在另一侧作地月球面的公切线,交卫星轨道于E点.卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡.
　　设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G,根据万有引力定律有:
　　GMmr2=m2πT2r
　　GMm0r21=m02πT12r
　　②式中,T1表示探月卫星绕月球转动的周期.
　　由以上两式可得:T1T2=Mmr1r3
　　设卫星的微波信号被遮挡的时间为t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动,
　　应有:tT1=α-βπ
　　上式中α=∠CO′A,β=∠CO′B.
　　由几何关系得:rcosα=R-R1
　　r1cosβ=R1
　　由以上公式得:t=TπMr31mr3arccosR-R1r-arccosR1r1
　　题后反思:本题以嫦娥一号绕月做圆周运动为背景,考察万有引力定律在天文学上的应用,顺利解答本题需要正确作出“嫦娥一号”的轨迹平面图,并找到相应的几何关系,考察了考生的数学能力。