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近几年的高考试题中，应用问题出现的频率有所提高，而新一轮的教学改革中，对学生的数学应用能力的要求也有所提高。据统计，高考中出现的应用题的得分率不高，本人认为其原因有：①数学阅读能力差，误解题意；②题目所涉及的问题情景较陌生，一部分同学感到难以下手；③问题本身比较复杂，学生又受思维定势的影响，方法比较单一，而寻找不到正确的方法。
若能在平时的教学过程中注意渗透数学建模的思想，肯定能够提高学生分析问题和解决问题的能力；提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，有兴趣积极主动地去寻找解决问题的新方法，发散数学思维。
实际问题是复杂多变的，数学建模需要较多的探索和创造性。数学常见的建模方法：涉及与自然数有关的变量问题建立数列模型；与计数概率有关的排列组合模型；涉及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中物体的测量，建立解直角三角形模型；涉及现实生活中普遍存在的等量关系（不等量关系），建立方程（不等式）模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型等。下面从两个具体的问题出发谈谈数学建模思想在解数学问题中的渗透。
一、数列中的数学建模思想
例1：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万
元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计
为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅
游业收入每年会比上年增加 。
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an、bn的表达式；
（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点，主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型。
解：
（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－ ）
万元，……，第n年投入为800×（1－ ）n-1万元，所以，n年
内的总投入为：
an =800+800×（1－ ）+…+800×（1－ ）n-1
= （1－ ）k-1
=4000×［1－（ ）n］
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×
（1+ ），……，第n年旅游业收入400×（1+ ）n-1万元。所以，
n年内的旅游业总收入为：
bn = 400+400×（1+ ）+…+400×（1+ ）k-1
= （ ）k-1
=1600×［（ ）n－1］
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
bn－an>0，即：1600×［（ ）n－1］－4000×［1－（ ）n］>0。
令x=（ ）n，代入上式得：5x2－7x+2>0。
解此不等式，得x< ，x>1（舍）。
即（ ）n< ，由此得n≥5。
至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入。
二、概率中的数学建模思想
例2：10件产品中，有2件是次品，挨个检查，直到次品全部查出，求5次能查完次品的概率。
例3：有8把钥匙，其中3把能打开房门，挨把试插，求5次试插出3把能打开房门的概率。
例4：盒中有10个彩签，其中3个带有中奖樗，从盒中摸出6个彩签，求摸完3个中奖标签的概率是多少。
以上三个例题出自不同的背景，实则均可用一种模型去解决，简称为摸球模型：袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，其他没有区别，现在随机地一只一只不放回地摸出来，
则k次能摸完黑球的概率为：P（A）= （a≤k≤a+b）。
证明一：把a只黑球，b只白球看作有区别的，对它们进行编号，放在一直线的a+b个位置上，共有n=（a+b）！种方法，k次摸完黑球，即前k个位置上放黑球，白球放在剩余的位置上，
有 ，故所求概率为P（A）= 。
证明二：把a只黑球，b只白球看作没有区别的，仍把摸出来的球放在一直线的a+b个位置上，若把a只黑球的位置固定下下，白球的位置也随之而定，因而有 种方法，以这种方法为样本点，k次摸完黑球，即前k个位置必须顺序放完a只黑
球，有 ，故所求的概率为P（A）= 。
利用以上的模型可快速解得上面例题的正确答案：
例2把次品当作黑球，正品当作白球，则有所求的概率为
。
例3：把能打开房门的钥匙当作黑球，不能打开房门的钥匙
当作白球，则所求的概率为 。
例4：把带有中奖标志的标签当作黑球，其余的当作白球，
则所求概率为 。
数学建模思想应用于中学数学教学之中是符合现代教育观念，适应社会发展方向的。新一轮的课程标准中也对数学建模提出了明确的要求：通过数学建模，学生将了解和体会解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力；学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验；高中阶段应至少为学生安排一次数学建模活动。在数学教学中把数学建模活动与综合实践活动有机地结合，注意加强建模意识的培养，注重数学建模思想的渗透，就能使学生自觉的应用数学知识、方法去观察、分析、解决实际问题，积极主动的建构自己的认知结构，促使学生由知识型向能力型转变，为推进素质教育作贡献，为培养新世纪的新型人才打下基础。
若能在平时的教学过程中注意渗透数学建模的思想，肯定能够提高学生分析问题和解决问题的能力；提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，有兴趣积极主动地去寻找解决问题的新方法，发散数学思维。
实际问题是复杂多变的，数学建模需要较多的探索和创造性。数学常见的建模方法：涉及与自然数有关的变量问题建立数列模型；与计数概率有关的排列组合模型；涉及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中物体的测量，建立解直角三角形模型；涉及现实生活中普遍存在的等量关系（不等量关系），建立方程（不等式）模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型等。下面从两个具体的问题出发谈谈数学建模思想在解数学问题中的渗透。
一、数列中的数学建模思想
例1：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万
元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计
为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅
游业收入每年会比上年增加 。
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an、bn的表达式；
（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点，主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型。
解：
（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－ ）
万元，……，第n年投入为800×（1－ ）n-1万元，所以，n年
内的总投入为：
an =800+800×（1－ ）+…+800×（1－ ）n-1
= （1－ ）k-1
=4000×［1－（ ）n］
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×
（1+ ），……，第n年旅游业收入400×（1+ ）n-1万元。所以，
n年内的旅游业总收入为：
bn = 400+400×（1+ ）+…+400×（1+ ）k-1
= （ ）k-1
=1600×［（ ）n－1］
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
bn－an>0，即：1600×［（ ）n－1］－4000×［1－（ ）n］>0。
令x=（ ）n，代入上式得：5x2－7x+2>0。
解此不等式，得x< ，x>1（舍）。
即（ ）n< ，由此得n≥5。
至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入。
二、概率中的数学建模思想
例2：10件产品中，有2件是次品，挨个检查，直到次品全部查出，求5次能查完次品的概率。
例3：有8把钥匙，其中3把能打开房门，挨把试插，求5次试插出3把能打开房门的概率。
例4：盒中有10个彩签，其中3个带有中奖樗，从盒中摸出6个彩签，求摸完3个中奖标签的概率是多少。
以上三个例题出自不同的背景，实则均可用一种模型去解决，简称为摸球模型：袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，其他没有区别，现在随机地一只一只不放回地摸出来，
则k次能摸完黑球的概率为：P（A）= （a≤k≤a+b）。
证明一：把a只黑球，b只白球看作有区别的，对它们进行编号，放在一直线的a+b个位置上，共有n=（a+b）！种方法，k次摸完黑球，即前k个位置上放黑球，白球放在剩余的位置上，
有 ，故所求概率为P（A）= 。
证明二：把a只黑球，b只白球看作没有区别的，仍把摸出来的球放在一直线的a+b个位置上，若把a只黑球的位置固定下下，白球的位置也随之而定，因而有 种方法，以这种方法为样本点，k次摸完黑球，即前k个位置必须顺序放完a只黑
球，有 ，故所求的概率为P（A）= 。
利用以上的模型可快速解得上面例题的正确答案：
例2把次品当作黑球，正品当作白球，则有所求的概率为
。
例3：把能打开房门的钥匙当作黑球，不能打开房门的钥匙
当作白球，则所求的概率为 。
例4：把带有中奖标志的标签当作黑球，其余的当作白球，
则所求概率为 。
数学建模思想应用于中学数学教学之中是符合现代教育观念，适应社会发展方向的。新一轮的课程标准中也对数学建模提出了明确的要求：通过数学建模，学生将了解和体会解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力；学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验；高中阶段应至少为学生安排一次数学建模活动。在数学教学中把数学建模活动与综合实践活动有机地结合，注意加强建模意识的培养，注重数学建模思想的渗透，就能使学生自觉的应用数学知识、方法去观察、分析、解决实际问题，积极主动的建构自己的认知结构，促使学生由知识型向能力型转变，为推进素质教育作贡献，为培养新世纪的新型人才打下基础。